গ্রাফের একটি অপ্রয়োজনীয় অটোমোর্ফিজম আছে কি না তা নির্ধারণের জন্য কি কোনও কার্যকর অ্যালগরিদম আছে?

আমি লাতিন স্কোয়ার সম্পর্কিত একটি সমস্যা নিয়ে কাজ করছি এবং সিদ্ধান্তের সমস্যায় মূলত কী উত্সাহিত হয় তার জন্য আমি একটি পদ্ধতি চাই:

ইনপুট : একটি সীমাবদ্ধ, সরল গ্রাফ জি
আউটপুট : YESযদি জি এর একটি তুচ্ছ-স্বতন্ত্র স্বয়ংক্রিয়তা থাকে, NOঅন্যথায়।

অত: পর ...

প্রশ্ন : গ্রাফের একটি অপ্রয়োজনীয় অটোমোরফিজম আছে কি না তা নির্ধারণের জন্য কোনও কার্যকর অ্যালগরিদম আছে কি?

পুরো অটোমোরফিজম গ্রুপটি গণনা করার জন্য আমরা নাটি বা ব্লাইস (এবং সম্ভবত কিছু অন্যান্য প্যাকেজ) ব্যবহার করতে পারি, তবে আমার এটির প্রয়োজন নেই; আমাকে যা নির্ধারণ করতে হবে তা হ'ল এটি তুচ্ছ বা না।

এই সিদ্ধান্ত সমস্যাটি কোনওভাবেই "সম্পূর্ণ অটোমোরফিজম গ্রুপটি গণনা" করার জটিলতার ক্ষেত্রে তাত্ত্বিকভাবে সমতুল্য possible আমি নিশ্চিত নই.

আমার উদ্দেশ্যটির জন্য, "দক্ষ" বলতে মূলত "সম্পূর্ণ অটোমোরফিজম গ্রুপের তুলনা করার চেয়ে অনুশীলনে দ্রুত", তবে এর পিছনে তত্ত্বটিতেও আমি আগ্রহী।

— রেবেকা জে স্টোনস
সূত্র

এটি গ্রাফ আইসোমরফিজমের সমতুল্য।

— যুবাল ফিল্মাস

@ ইউভালফিল্মাস যতদূর আমি সচেতন, "ইজ" থেকে কোনও কমতি নেই

G_{1}

$G_1$ isomorphic to

G_{2}

$G_2$ "থেকে" না

G

$G$ একটি অনানুষ্ঠানিক স্বশাসন আছে "" অবশ্যই, যদি

G_{1} ≃ G_{2}

$G_1\simeq G_2$ তারপরে তাদের মতবিরোধী ইউনিয়নে একটি স্বতঃস্ফূর্ত অটোমোরফিজম থাকে (অদলবদল)

G_{1}

$G_1$ এবং

G_{2}

$G_2$ ) তবে কোনও অনিয়ন্ত্রিত অটোমোরফিজম

G_{1}

$G_1$ এছাড়াও একটি ননড্রাইভিয়াল অটোমরফিজম হবে

G_{1} + G_{2}

$G_1+G_2$ ।

— ডেভিড রিচারবি

আপনার শেষ প্রশ্নের বিষয়ে, যদি জিএ-কে কোনও ওরাকল দেওয়া হয় তবে বহুগুণে, অটোমোরফিজম গ্রুপের একটি উত্পন্ন সেট খুঁজে পেতে পারে, তবে জিআই জিআর কাছে টুরিং হ্রাসযোগ্য, যা আমি নিশ্চিত নই যে এটি জানা যায়।

— এরিয়েল

নিচের কাগজ সম্পর্কে কি? sciencedirect.com/science/article/pii/...

— ইউভাল Filmus

@ ইউভালফিল্মস ঠিক আছে, তাই আপনি টুরিং হ্রাস ব্যবহার করছেন এবং আমি একাধিক হ্রাস ব্যবহার করছি। এবং আমি অনুমান করি যে প্রকৃতপক্ষে সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করছেন এমন কারও সাথে টুরিং হ্রাস হ্রাস বেশি প্রাসঙ্গিক।

— ডেভিড রিচারবি

যেহেতু আপনি এর পেছনের তত্ত্বটিতেও আগ্রহী, তাই আমি আপনার সমস্যার জন্য একটি অর্ধ-বহু-কালীন অ্যালগরিদম দেব।

প্রতিটি জোড়ের জন্য $u\neq v$ (একই ডিগ্রী) মধ্যে $G$ , আমরা এটি অদলবদল করা সম্ভব কিনা তা দেখার চেষ্টা করি $u$ এবং $v$ ।

এটি করার জন্য, একটি অনুলিপি করুন $G$ , ডাকা $G'$ । এখন, মুছুন $u$ থেকে $G$ , মুছে দিন (অনুলিপি) $v$ থেকে $G'$ ।

তারপরে, প্রতিটি জন্য $w\in N(u)$ এটি একটি দীর্ঘ দীর্ঘ পথ সংযুক্ত করুন, তবে কেবল বহুগুণে দীর্ঘ ।

তারপরে, প্রত্যেকের জন্য (অনুলিপি) $w\in N(copy\ of\ v)$ এটি একটি দীর্ঘ দীর্ঘ পথ সংযুক্ত করুন, তবে কেবল বহুগুণে দীর্ঘ ।

উপরে উল্লিখিত সমস্ত খুব দীর্ঘ পথ, তবে বহুপদীভাবে দীর্ঘ , একই দৈর্ঘ্যের হওয়া উচিত।

এই নতুন উত্পাদিত জোড়া গ্রাফের ইনপুটটিতে বাবাইয়ের অ্যালগরিদমকে কল করুন।

যদি কোনও জুটির জন্য $(u, v)$ , আমরা একটি $YES$ বাবাই এর উত্তর, উত্তর $YES$ এবং থাম

কেউ যদি না ফেরায় a $YES$ উত্তর, উত্তর $NO$ এবং থাম

স্পষ্টতই, সমস্ত উল্লম্ব সাথে সংযুক্ত করা $N(u)$ এবং $N(v)$ বাবাই তার অ্যালগোরিদমের অভ্যন্তরীণ কার্যনির্বাহীকরণের গ্রাফ আইসোমরফিজমকে কেবলমাত্র উল্লম্ব মানচিত্রের জন্য চাপ দেয় $N(u)$ প্রতি $N(v)$ । এইভাবে, বাবাইয়ের উত্তর যদি হয় $YES$ তারপরে আমরা নিরাপদে পিছনে প্লাগ ইন করতে পারি $u$ এবং $v$ একটি অপ্রচলিত অটোমোরফিজম আছে $G$ , থেকে $G'$ এর একটি অনুলিপি $G$ ।

রান-টাইম জটিলতা এখনও অর্ধ-বহু।

— থিনহ ডি এনগুইন
সূত্র