দৃ sound়তা কেন ধারাবাহিকতা বোঝায়?

12

আমি ধারাবাহিকতা এবং সম্পূর্ণতা ইম্প্লিড সাউন্ডনেস প্রশ্নটি পড়ছিলাম ? এবং এতে প্রথম বিবৃতিতে বলা হয়েছে:

আমি বুঝতে পারি যে দৃ sound়তা ধারাবাহিকতা বোঝায়।

যা নিয়ে আমি বেশ বিস্মিত হয়েছিলাম কারণ আমি ভেবেছিলাম যে ধারাবাহিকতার চেয়ে সাবলীলতা একটি দুর্বল বক্তব্য (যেমন আমি ভেবেছিলাম ধারাবাহিক সিস্টেমগুলি সাবলীল হতে হবে তবে আমি অনুমান করি যে এটি সত্য নয়)। আমি স্কট অ্যারনসন তার .0.০ 18৪ / ১৮.৪০০ কোর্সে এমআইটি-তে সামঞ্জস্যতা এবং সুরক্ষার জন্য অনানুষ্ঠানিক সংজ্ঞাটি ব্যবহার করছিলাম :

সাউন্ডনেস = একটি প্রুফ সিস্টেম হ'ল যদি এটি প্রমাণিত সমস্ত বিবৃতি সত্য হয় (প্রমাণযোগ্য সমস্ত কিছুই সত্য)। যেমন IF ( প্রমাণযোগ্য) lies ( সত্য)। সুতরাং যদি (কোনও সূত্রের পথ রয়েছে) তখন (সেই সূত্রটি সত্য) $\phi$ $\implies$ $\phi$
ধারাবাহিকতা = একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ সিস্টেম কখনই A এবং NOT (A) প্রমাণ করে না। সুতরাং শুধুমাত্র একটি এ বা এর প্রত্যাখ্যান সত্য হতে পারে।

এই (সম্ভবত অনানুষ্ঠানিক) সংজ্ঞাগুলি মাথায় রেখে আমি নীচের উদাহরণটি তৈরি করেছি তা প্রমাণ করার জন্য যে এমন একটি সিস্টেম আছে যা শব্দগত তবে তাত্পর্যপূর্ণ নয়:

C h a r l i e S y s t e m ≜ {A x i o m s = {A, \neg A}, I n f e r e n c e R u l e s = {N O T (\cdot)}}

$CharlieSystem \triangleq \{ Axioms=\{A, \neg A \}, InferenceRules=\{NOT(\cdot) \} \}$

যে কারণে এটি আমি ভেবেছিলাম এটি একটি শব্দ ব্যবস্থা ছিল কারণ অনুমিতি দ্বারা অক্ষগুলি সত্য the সুতরাং এ এবং না এ দুটোই সত্য (হ্যাঁ আমি জানি বাদিত মাঝের আইনটি অন্তর্ভুক্ত নয়)। যেহেতু একমাত্র অনুমানের নিয়ম হ'ল অবহেলা হ'ল আমরা পেয়েছি যে আমরা অক্ষরেখাগুলি থেকে 'এ' না হয়ে উভয়ই পৌঁছাতে পারি এবং একে অপরকে পৌঁছাতে পারি। সুতরাং, আমরা কেবল এই ব্যবস্থার প্রতি শ্রদ্ধা রেখে সত্য বিবৃতিতে পৌঁছে যাই। তবে অবশ্যই সিস্টেমটি সুসংগত নয় কারণ আমরা সিস্টেমে একমাত্র বিবৃতিটিকে অস্বীকার করে প্রমাণ করতে পারি। অতএব, আমি প্রমাণ করেছি যে একটি সাউন্ড সিস্টেমটি সামঞ্জস্যপূর্ণ নাও হতে পারে। এই উদাহরণটি কেন ভুল? আমি কি ভুল করছি?

আমার মাথায় এটি স্বজ্ঞাগতভাবে অর্থবোধ করে কারণ সুরতা কেবলমাত্র বলে যে একবার আমরা যখন শুরু করি এবং axiom করি এবং অনুমানের নিয়মগুলি ক্র্যাঙ্ক করি তখন আমরা কেবল গন্তব্যগুলিতে পৌঁছায় (অর্থাত্ বিবৃতি) যা সত্য। তবে, আমরা কোন গন্তব্যে পৌঁছেছি তা সত্যই বলা যায় না। তবে ধারাবাহিকতা বলছে যে আমরা কেবল এমন গন্তব্যে পৌঁছে যেতে পারি যা পৌঁছনো হয় বা (উভয়ই নয়)। সুতরাং প্রতিটি ধারাবাহিক সিস্টেমে অবশ্যই বাদ দেওয়া মাঝের আইনটি অ্যাকোমিক হিসাবে অন্তর্ভুক্ত করা উচিত, যা অবশ্যই আমি করিনি এবং তারপরে কেবলমাত্র অ্যাক্সিয়ামটির অবহেলাটিকে কেবলমাত্র অন্যান্য অক্ষরেখার মতো অন্তর্ভুক্ত করেছিল। সুতরাং মনে হচ্ছে না যে আমি খুব চতুর কিছু করেছি, তবে কোনওরকম কিছু ভুল হয়েছে? $A$ $\neg A$

আমি কেবল বুঝতে পারি এটি কোনও সমস্যা হতে পারে কারণ আমি স্কটের অনানুষ্ঠানিক সংজ্ঞা ব্যবহার করছি। প্রশ্নটি লেখার আগেও আমি উইকিপিডিয়া চেক করেছিলাম তবে তাদের সংজ্ঞাটি আমার কাছে আসেনি। বিশেষত যে অংশটি তারা বলে:

সিস্টেমের শব্দার্থবিজ্ঞানের প্রতি শ্রদ্ধা সহ

তাদের সম্পূর্ণ উদ্ধৃতিটি হ'ল:

সিস্টেমে প্রমাণিত হতে পারে এমন প্রতিটি সূত্রটি সিস্টেমের শব্দার্থবিজ্ঞানের সাথে যুক্তিযুক্তভাবে বৈধ।

— চার্লি পার্কার
সূত্র

সকল ব্যবস্থা আমরা থেকে করতে পারেন আহরণ অসঙ্গতি প্রতি আগ্রহ দেখিয়েছেন এবং ।

A

$A$

\neg A

$\lnot A$

— যুবাল ফিল্মাস

@ ইউভালফিল্মাস আমি আপনার মন্তব্যটির অর্থ কী তা আমি বুঝতে পেরেছি বলে মনে করি না ... এর অর্থ কি এই নয় যে আমার স্বাক্ষর দিয়ে আপনি সর্বদা একটি বৈপরীত্য অর্জন করতে পারেন? এটা আমার বিন্দু সাজানোর ছিল? দুঃখিত আমি এটি পেলাম না। আমি মনে করি আমার প্রশ্নটি কেবল "শব্দ" এবং "ধারাবাহিকতা" শব্দটির শব্দার্থতত্ত্ব সম্পর্কে যেহেতু আমার উদাহরণটি কেবলমাত্র "লজিক সিস্টেম "টিকে শ্রেণিবদ্ধ করার সাথে সম্পর্কিত।

— চার্লি পার্কার 5

এর অর্থ হল যে আপনার সিস্টেমটি তেমন আকর্ষণীয় নয়। সমস্ত সিস্টেমে যে গবেষণায় উঠে আসে তারা এই সেটিংটিতে বৈপরীত্য অর্জনের পক্ষে যথেষ্ট শক্তিশালী।

— যুবাল ফিল্মস

1

@ ইউভালফিল্মাস আমার সিস্টেমটি বাস্তব গণিত করার জন্য "আকর্ষণীয়" বলে মনে হচ্ছে না, অবশ্যই আমি এটি জানি। আমার প্রশ্নটি আমার প্রশ্নটি পরিষ্কার এবং সহজ করার জন্য শিক্ষাগতভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল এবং আমার দৃ sound়তা এবং ধারাবাহিকতার ক্ষেত্রে যে বিভ্রান্তি রয়েছে তা স্পষ্ট করে দিতে হবে। তবে আমি যে বক্তৃতায় যুক্ত ছিলাম, স্কট পরে বলেছে যে যেহেতু শব্দ "সত্য" সত্যের কথা বলছে, তা অবশ্যই সামঞ্জস্যপূর্ণ হতে হবে কারণ সত্যকে নিজের সাথে সামঞ্জস্য রাখতে হবে (অর্থাত সত্য সত্যের সাথে সমান হতে পারে না)। সুতরাং মনে হচ্ছে যে সাউন্ড সিস্টেমটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে বাদ দেওয়া মাঝের অ্যাক্সিম দ্বারা উত্তরাধিকার সূত্রে প্রাপ্ত। আমার বর্তমান বোঝাপড়া।

— চার্লি পার্কার 14

হয় এবং উভয় সত্য? তা না হলে কেমন লাগছে?

A

$A$

\neg A

$\neg A$

— ব্যবহারকারী 253751

16

আমি অস্পষ্ট, হস্ত-avyেউয়ের বিবরণ ছাড়িয়ে আনুষ্ঠানিক যুক্তি সন্ধান করার পরামর্শ দিই। এটি কম্পিউটার বিজ্ঞানের সাথে আকর্ষণীয় এবং অত্যন্ত প্রাসঙ্গিক। দুর্ভাগ্যক্রমে, আনুষ্ঠানিক যুক্তি সম্পর্কে বিশেষত পাঠ্যপুস্তকের পরিভাষা এবং সংকীর্ণ ফোকাস যুক্তিটি কী তা বোঝার একটি চিত্রিত চিত্র উপস্থাপন করতে পারে। বিষয়টি হ'ল বেশিরভাগ সময় যখন গণিতবিদরা "যুক্তি" সম্পর্কে কথা বলেন তখন তারা (প্রায়শই স্পষ্টভাবে) ক্লাসিকাল প্রপোজেশনাল লজিক বা ক্লাসিকাল ফার্স্ট-অর্ডার যুক্তি বোঝায়। যদিও এটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ লজিক্যাল সিস্টেম, এগুলি যুক্তির প্রস্থের কাছাকাছি কোথাও নেই। যাইহোক, আমি যা বলতে যাচ্ছি তা সেই সংকীর্ণ প্রেক্ষাপটে ঘটে, তবে আমি এটি স্পষ্ট করে বলতে চাই যে এটি একটি নির্দিষ্ট প্রসঙ্গে ঘটছে এবং এর বাইরে সত্য হওয়া দরকার না।

প্রথমত, যদি ধারাবাহিকতাটিকে এবং উভয়ই প্রমাণ করে না হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে আমাদের যুক্তিটির অবজ্ঞা না থাকলে বা $A$ $\neg A$ $\neg$ মানে অন্য কিছু? স্পষ্টতই, ধারাবাহিকতার এই ধারণাটি এটি পরিচালনা করে এমন যৌক্তিক প্রসঙ্গে কিছু ধারণা তৈরি করে ump সাধারণত, এটি হ'ল আমরা শাস্ত্রীয় প্রপোজাল লজিক বা এর কিছু সম্প্রসারণ যেমন শাস্ত্রীয় প্রথম-আদেশ যুক্তি হিসাবে কাজ করছি। একাধিক উপস্থাপনা রয়েছে, অর্থাত্ অ axioms এবং নিয়মের তালিকাগুলি, যা ক্লাসিকাল প্রপোজিশনাল / ফার্স্ট-অর্ডার লজিক বলা যেতে পারে তবে আমাদের উদ্দেশ্যে, যা আসলেই কিছু যায় আসে না। তারা কিছু উপযুক্ত অর্থে সমান। সাধারণত, যখন আমরা একটি লজিকাল সিস্টেমের কথা বলি তখন আমরা একটি (শাস্ত্রীয়) প্রথম-ক্রমের তত্ত্বকে বোঝায়। এটি ক্লাসিকাল প্রথম-ক্রমের যুক্তির নিয়ম এবং (যৌক্তিক) অক্ষর দিয়ে শুরু হয়, যেখানে আপনি প্রদত্ত ফাংশন প্রতীক, প্রাক্কলিত চিহ্ন এবং অ্যাকিয়োমস (যাকে অ-লজিকাল অ্যাক্সিমগুলি বলা হয়) যুক্ত করেন। এই প্রথম-আদেশের তত্ত্বগুলি সাধারণত আমাদের যা হয় '

এরপরে, স্বচ্ছতা বলতে সাধারণত শব্দার্থবিজ্ঞানের প্রতি শ্রদ্ধা হয়। ধারাবাহিকতা একটি সিনট্যাকটিক সম্পত্তি যা আমরা কীভাবে আনুষ্ঠানিক প্রমাণ তৈরি করতে পারি তার সাথে সম্পর্কযুক্ত। সাউন্ডনেস এমন একটি শব্দার্থক সম্পত্তি যা আমাদের কীভাবে সূত্রগুলি, ফাংশন সিম্বলগুলি এবং গাণিতিক অবজেক্ট এবং বিবৃতিতে প্রতীকগুলি বোঝা যায় তার সাথে সম্পর্কিত। এমনকি সাউন্ডনেস সম্পর্কে কথা বলতে শুরু করার জন্য, আপনাকে একটি শব্দার্থবিজ্ঞান দেওয়া প্রয়োজন, অর্থাৎ উপরোক্ত বিষয়গুলির ব্যাখ্যা interpretation আবার, আমাদের লজিকাল সংযোগকারী এবং লজিকাল অ্যাকিমিয়াম এবং ফাংশন প্রতীক, প্রতীক চিহ্ন এবং অ-লজিকাল অক্ষগুলির মধ্যে একটি বিচ্ছেদ রয়েছে। শব্দার্থক দৃষ্টিকোণ থেকে সংযোগকারীকে যুক্তিযুক্ত এবং লজিক্যাল অ্যাকিয়োমগুলি লজিক্যাল অ্যাকোমিয়ামগুলি কী করে তোলে তা হ'ল ফাংশন প্রতীক, প্রতীকী চিহ্ন এবং অ-লজিক্যাল অক্ষগুলি না করে তারা শব্দার্থবিজ্ঞানের দ্বারা বিশেষভাবে আচরণ করে। $[\![\varphi\land\psi]\!]=[\![\varphi]\!]\cap[\![\psi]\!]$ যেখানে আমি ব্যবহার সূত্রের ব্যাখ্যা হিসাবে । বিশেষত, যেখানে ডোমেন সেট। ধারণাটি একটি সূত্রটি সূত্রকে সন্তুষ্টকারী ডোমেন উপাদানগুলির সেট (টিপলস) এর সেট হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়। একটি বদ্ধ সূত্র (অর্থাত্ কোনও মুক্ত ভেরিয়েবলগুলির সাথে একটি) একটি নুলারি সম্পর্ক হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয় যা কেবলমাত্র সিঙ্গলটন বা খালি সেট হতে পারে এমন একটি সিঙ্গেলন সেটের একটি উপসেট বলে। একটি বদ্ধ সূত্রটি "সত্য" যদি এটি খালি সেট হিসাবে ব্যাখ্যা না করা হয়। শব্দহীনতা হ'ল বিবৃতিটি হ'ল প্রতিটি প্রমাণযোগ্য (বন্ধ) সূত্র উপরোক্ত অর্থে "সত্য" is $[\![\varphi]\!]$ $\varphi$ $[\![\neg\varphi]\!]=D\setminus[\![\varphi]\!]$ $D$

এখান থেকে এমনকি আমি যে স্কেচটি দিয়েছি তা থেকে এটি সহজ, যা প্রমাণ করার জন্য সাউন্ডনেস ধারাবাহিকতা বোঝায় (ক্লাসিকাল প্রথম-ক্রমের লজিকস এবং আমি যে শব্দার্থতাকে চিত্রিত করেছি তার প্রেক্ষাপটে)। যদি আপনার যুক্তি না থাকে শব্দ, তারপর একটি খালি সেট হিসাবে যে প্রতিপাদ্য সূত্র ব্যাখ্যা করে, কিন্তু হয় সবসময় কোন ব্যাপার কি সূত্র ফাঁকা সেট হিসেবে ব্যাখ্যা , এবং তাই এটি প্রমাণযোগ্য হতে পারে না, যেমন আপনার যুক্তি সুসংগত।

[[φ \land \neg φ]] = [[φ]] \cap (D ∖ [[φ]]) = \emptyset

$[\![\varphi\land\neg\varphi]\!]=[\![\varphi]\!]\cap(D\setminus[\![\varphi]\!])=\varnothing$

[[φ \land \neg φ]]

$[\![\varphi\land\neg\varphi]\!]$

φ

$\varphi$

— ডেরেক এলকিন্স এসই ছেড়েছেন
সূত্র

2

আমাকে যুক্তি সম্পর্কিত একটি বই সুপারিশ করতে নির্দ্বিধায়, আমি সত্যিই বুঝতে পারি না একটি ভাল রেফারেন্স কী, বিশেষত যুক্তির সূচনাকারীদের জন্য। মজার বিষয় হ'ল আমার কাছে অ্যালগরিদম এবং বাস্তব বিশ্লেষণ আছে, তাই আমি যুক্তি সম্পর্কে নিজেই কখনও কড়া ভাবিনি।

— চার্লি পার্কার 14

1

আকর্ষণীয়, আমি সর্বদা ভেবেছিলাম যে "সত্য" এর অর্থ আমরা বুলিয়ান মান 0 এবং 1 তে একটি বিবৃতি ম্যাপ করেছি তবে এটি মনে হয় এটি ভুল ছিল। আমি অনুমান করি যে আমরা খালি সেট মানচিত্রটি 0-এ এবং খালিটি 1-এ রেখে আমার ভুল মডেলটি ঠিক করতে পারি না অন্যথায়, আমি নিশ্চিত না যে কেউ কীভাবে আপনার প্রমাণকে "সত্য হিসাবে আমার সংজ্ঞা" এ ফাংশন হিসাবে লিখতে সক্ষম হবে 1 বা 0 "তে ম্যাপিং।

— চার্লি পার্কার

1

এটি শাস্ত্রীয় প্রস্তাবমূলক যুক্তির জন্য সাধারণ শব্দার্থবিজ্ঞান , যা শাস্ত্রীয় প্রথম-আদেশ যুক্তির একটি বিশেষ ক্ষেত্র হিসাবে দেখা যেতে পারে যেখানে সমস্ত পূর্বাভাস নালার হয়। বুলিয়ান "সত্য" মানগুলি প্রকৃতপক্ষে এই দৃশ্যে খালি সেট এবং একক সেটকে মানচিত্র করে। আমার প্রথম অনুচ্ছেদের একটি অপ্রতিরোধ্য পয়েন্টগুলির মধ্যে একটি হ'ল পরামর্শ দেওয়া হয়েছিল যে বিভিন্ন লজিকের শব্দার্থবিজ্ঞানের আলাদা ধারণা রয়েছে। এমনকি একটি নির্দিষ্ট যুক্তির জন্যও, একাধিক সম্ভাব্য শব্দার্থবিজ্ঞান রয়েছে যা এর জন্য দেওয়া যেতে পারে। আমি "সাধারণ শব্দার্থবিজ্ঞান" বলার কারণ রয়েছে এবং কেবল "শব্দার্থবিজ্ঞান" নয়।

— ডেরেক এলকিন্স

1

ডেরেক, আপনার যদি সময় থাকে তবে আপনি সম্ভবত ডোমেনের একটি সুনির্দিষ্ট উদাহরণ তৈরি করতে আপত্তি করেন এবং কীভাবে এটি সত্যিকার অর্থে খালি সেটকে নিয়ে যায়? (আপনি যদি পছন্দ করেন তবে নতুন প্রশ্ন তৈরি করতে পেরে আমিও খুশি) আমার একটি উদাহরণ মনে ছিল তবে কীভাবে এটি সম্পূর্ণ করতে হয় তা আমি জানতাম না। উদাহরণটি দেখিয়েছিল যে 2টি যুক্তিযুক্ত এবং 2 হ'ল খালি সেটটিতে যুক্তিযুক্ত লিড (বা q বর্গ )। আমার মনে ছিল ডি পূর্ণসংখ্যার টুপল। তারপরে ম্যাপ করা হয়েছে তবে আমি নিশ্চিত নই যে ম্যাপ করা হয়েছে)। আপনি কি জানেন যে কীভাবে এই উদাহরণটি বুদ্ধিমান উপায়ে শেষ করতে হবে? বা আমাকে একটি উদাহরণের দিকে নির্দেশ করুন?

\sqrt{2}

$\sqrt 2$

[[2 is rational]]

$[\![ 2 \text{ is rational} ]\!]$

(2, 1)

$(2,1)$

[[2 is irrational]]

$[\![ 2 \text{ is irrational }]\!]$

— চার্লি পার্কার

1

সেখানেই গণিতের দর্শন আসতে পারে Pla তর্কসাপেক্ষ তাদের জন্য, সেট তত্ত্বীয় এক্সপ্রেশন হয় লজিক্যাল সূত্রের অর্থ। ফর্মালিস্টরা শব্দার্থক পদ্ধতির পরিবর্তে সিনট্যাকটিক ব্যবহার করবেন, যেমন "সত্য" = "প্রমাণযোগ্য"। গঠনবাদীদের "সত্য" এর আলাদা ধারণা আছে এবং তাদের মধ্যে আরও গণনা-ভিত্তিক উপ-বিদ্যালয় একটি প্রোগ্রামের মাধ্যমে "সত্য" প্রত্যক্ষ করবে।

— ডেরেক এলকিন্স

3

দৃness়তা এবং ধারাবাহিকতা হ্রাসকারী সিস্টেমের বৈশিষ্ট্য। দৃness়তা কেবলমাত্র কিছু শব্দার্থবিজ্ঞানের ক্ষেত্রে শ্রদ্ধার সাথে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যা অনুমিত সিস্টেম থেকে স্বাধীনভাবে দেওয়া হয় বলে মনে করা হয়।

শব্দার্থের ক্ষেত্রের ক্ষেত্রে দুটি বৈশিষ্ট্য সম্পর্কিত

সংজ্ঞা 1 ( সাউন্ডনেস [শব্দার্থবিজ্ঞান] - উইকিপিডিয়া থেকে ধার্য করা ) একটি কর্তনকারী সিস্টেমের সাউন্ডনেস এমন সম্পত্তি যা সেই অনুশাসনীয় সিস্টেমে প্রযোজ্য যে কোনও বাক্যও সেই তত্ত্বটির ভাষার জন্য শব্দার্থক তত্ত্বের সমস্ত ব্যাখ্যা বা কাঠামোর ক্ষেত্রে সত্য which ভিত্তি করে.

সংজ্ঞা 2 ( ধারাবাহিকতা [শব্দার্থবিজ্ঞান) ) A language ভাষার বাক্যগুলির যদি সামঞ্জস্য হয় এবং কেবল যদি ভাষার কোনও কাঠামো থাকে তবে যা সমস্ত সন্তুষ্ট করে । যদি কোনও কাঠামো থাকে যা এতে কার্যকরযোগ্য সমস্ত সূত্রকে সন্তুষ্ট করে তবে একটি ডিডুকটিভ সিস্টেমটি সামঞ্জস্যপূর্ণ। $A$ $\mathfrak{L}$ $\mathfrak{L}$ $A$

উপরোক্ত দুটি সংজ্ঞার সাথে এটি স্পষ্ট যে দৃ .়তা ধারাবাহিকতা বোঝায়। অর্থাত্ যদি সমস্ত প্রমাণযোগ্য বাক্যগুলির সেটটি ভাষার সমস্ত কাঠামোয় ধারণ করে তবে কমপক্ষে একটি কাঠামো রয়েছে যা সেগুলি সন্তুষ্ট করে।

— দিমিত্রি চুবারভ
সূত্র

1

প্রকৃতপক্ষে আমি উইকিপিডিয়া স্পষ্টভাবে এড়িয়ে গেছি কারণ "শব্দার্থবিজ্ঞানের সম্মানের সাথে" অর্থ কী তা আমি বুঝতে পারি না। এর অর্থ কী তা বোঝাতে আপনি আপত্তি করেন? এছাড়াও কি আপনার আরও স্পষ্টভাবে ব্যাখ্যা করার কারণ মনে হচ্ছে এর পরিষ্কার সাবলীলতা ধারাবাহিকতা বোঝায় কেন? অবশ্যই এই প্রশ্নটি উপস্থিত থাকার কারণে এটি আমার কাছে পরিষ্কার নয়: পি

— চার্লি পার্কার

@ চর্লিপারপার্কার আমি অন্যান্য মন্তব্যগুলির অধীনে আপনার মন্তব্যগুলি পড়েছি। আমি নিশ্চিত না যে প্রবর্তনকারীদের জন্য এমন একটি পাঠ্য রয়েছে যা প্রমাণ সিস্টেম এবং মডেল তত্ত্বের বুনিয়াদি হজসের "মডেল থিওরি" এর প্রবর্তক অধ্যায়গুলির চেয়ে আরও ভালভাবে ব্যাখ্যা করে। একই লেখকের "এ শর্টার মডেল থিওরি" হওয়া একটি ব্যতিক্রম। আমি স্বীকার করি, আমার পোস্টে আমি প্রতারণা করেছি এবং ধারাবাহিকতাটিকে সন্তুষ্টিযোগ্যতা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছি , কারণ ধারাবাহিকতা সম্পর্কে কথা বলার বিষয়টি হচ্ছে প্রুফ সিস্টেমের মধ্যে সন্তুষ্টির একটি বৈশিষ্ট্য।

— দিমিত্রি চুবারভ

ধন্যবাদ! আমি তাদের চেক আউট করব! আসলে, আমার একটি "শিক্ষানবিশ বই" দরকার নেই এবং ভাল বইটি ভাল is বইটি যদি কেবল প্রমাণের চেয়ে অন্তর্দৃষ্টি এবং ধারণাগুলিকেও জোর দেয় তবে আরও ভাল হবে!

— চার্লি পার্কার 21

2

$A$ $A \equiv \top$ $\lnot A \equiv \bot$

— যুবাল ফিল্ম
সূত্র

T r u t h (\cdot)

$Truth(\cdot)$

A

$A$

\neg A

$\neg A$

সত্যের একটি অর্থগত সংজ্ঞা রয়েছে: সমস্ত সত্য কার্যভারের অধীনে সত্যের কাছে মূল্যায়ন। আপনি এই শব্দটি কীভাবে সংজ্ঞায়িত করবেন তা বেছে নিতে পারবেন না।

— যুবাল ফিল্মাস

সম্ভবত আমার প্রশ্নটি যেখানে আমি বিভ্রান্ত হয়েছি সেখানেই ts যদিও টেকনিক্যালি স্কট উল্লেখ করেছেন সত্যকে গাণিতিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় না ... তবে যুক্তির খাতিরে সেই প্রযুক্তিটিকে উপেক্ষা করতে দিন যাতে আমি বিষয়টি বুঝতে পারি। সত্যের অর্থ কী আপনি আবার ব্যাখ্যা করতে পারবেন? আপনার ধৈর্য্যের জন্য ধন্যবাদ. :)

— চার্লি পার্কার 14

1

প্রস্তাবিত যুক্তির প্রসঙ্গে, একটি সূত্রটি হ'ল টাউটোলজি যদি এটি সমস্ত সত্য কার্যভারের অধীনে সত্য হয়। প্রস্তাবিত প্রুফ সিস্টেমটি সুদৃ formula় হয় যদি এটি প্রমাণিত সমস্ত সূত্রগুলি টোটোলজিক্যাল হয়।

— যুবাল ফিল্মাস

আমি আপনার সাহায্য করার চেষ্টা জানি এবং আমি এটির প্রশংসা করি তবে কোনওভাবেই আপনার প্রমাণটি খুব ছোট না যে আমাকে আসল পোস্টে আমার উদাহরণটিতে কী ভুল হয়েছে তা ব্যাখ্যা করতে। আপনি যদি স্পষ্ট করতে পারেন তবে তা দুর্দান্ত। আমার অনুমান আমার প্রশ্ন হ'ল, আমার প্রস্তাবিত সিস্টেমে কোন সত্য কার্যভারগুলি সমস্যা নিয়ে আসে?

— চার্লি পার্কার 21

2

প্রায়শই যখন আমরা লজিক্যাল সিস্টেম নিয়ে আসি, তারা পূর্ব-বিদ্যমান ঘটনাটি বর্ণনা করার প্রয়াস দ্বারা প্রেরণা লাভ করে। উদাহরণস্বরূপ, পেরানো পাটিগণিত হ'ল প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি সংযোজন এবং গুণণের ক্রিয়াকলাপকে অবিচলিত করার চেষ্টা।

আপনি যে প্রবণতাটি বর্ণনা করার চেষ্টা করছেন তার সাথে সামঞ্জস্যতা কেবলমাত্র সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে এবং মূলত এর অর্থ হল যে আপনার অ্যাক্সিমগুলি এবং অনুমানের বিধিগুলি সত্যই প্রশ্নযুক্ত জিনিসটিকে বর্ণনা করে। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, পানো পাথের গাণিতিকগুলি যথাযথ কারণ এর অ্যাকিমিয়াম এবং অনুমানের নিয়মগুলি প্রাকৃতিক সংখ্যার ক্ষেত্রে সত্য true

এটি অবশ্যই বোঝায় যে আপনার কাছে "প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি" তাদের পেনোর সংজ্ঞার বাইরেও রয়েছে এবং কোনও নির্দিষ্ট অট্টালিকার সেট থেকে এই সত্যগুলি প্রাপ্ত না করে প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য কী সত্য বা মিথ্যা কিছু ধারণা রয়েছে। এই সত্যগুলি কোথা থেকে এসেছে বা কীভাবে সেগুলি যাচাই করা যায় তা দার্শনিক উত্তপ্ত জলে আপনাকে অবতরণ করতে পারে তা বোঝানোর চেষ্টা করা। তবে যদি আপনি এটি নির্দিষ্ট হিসাবে বিবেচনা করেন যে সেখানে প্রাকৃতিক সংখ্যা রয়েছে এবং সেগুলি সম্পর্কে কিছু সত্য তথ্য সংগ্রহ রয়েছে, তবে আপনি অ্যাক্টিওমাইটিজেশন প্রকল্পটিকে কেবল একটি সংক্ষিপ্ত আনুষ্ঠানিক স্পেসিফিকেশন নিয়ে আসার প্রচেষ্টা হিসাবে দেখতে পারেন যা থেকে অনেকগুলি গুরুত্বপূর্ণ সত্য প্রাপ্ত করা যেতে পারে। তারপরে একটি অডিওম্যাটাইজেশন সত্য হয় যদি এটি প্রমাণ করতে পারে এমন সমস্ত কিছু সত্যের পূর্বনির্ধারিত সংগ্রহে রয়েছে,

(বিশেষ করে আপনার আনুষ্ঠানিক স্পেসিফিকেশন প্রমাণ যাচ্ছে না নোট সবকিছু যে প্রাকৃতিক সংখ্যার সম্পর্কে সত্য, এবং তাছাড়া করা হবে না স্বতন্ত্র স্বাভাবিক সংখ্যার বর্ণনা যে অন্যান্য কাঠামো, স্বাভাবিক সংখ্যার থেকে আলাদা, যা Peano এর উপপাদ্য ব্যবহার হয় সত্য।)

প্রথম ক্রমের যুক্তিতে কমপক্ষে কোনও থিওরি সামঞ্জস্যপূর্ণ যদি এর কোনও মডেল থাকে। দৃness়তা মানে এটির যে নির্দিষ্ট মডেলটি আপনি চেয়েছিলেন সেটি রয়েছে: আপনি যে তত্ত্বটি আপনার তত্ত্বের সাথে বর্ণনা করার চেষ্টা করেছিলেন তা সত্যই আপনার তত্ত্বের একটি মডেল। এই দৃষ্টিকোণ থেকে, এটি পরিষ্কার যে কেন দৃ sound়তা ধারাবাহিকতা বোঝায়।

$\neg$

$\neg$ $\mathbb N$

$\neg$

আরও একটি বিষয়: আমরা অনুমান করি না যে সংজ্ঞাগুলি সংজ্ঞা অনুসারে সত্য। সমস্ত অখণ্ডতা সংজ্ঞা অনুসারে প্রমাণের মূল ভিত্তি মাত্র। এগুলি কেবলমাত্র দাবি: নির্দিষ্ট গাণিতিক বিষয়গুলিতে প্রয়োগ করা হলে এগুলি কেবল সত্য বা মিথ্যা। আপনার কাছে ভুয়া অক্ষর থাকতে পারে, এটি কেবল বেশ নির্বোধ, কারণ আপনার সিস্টেমটি তখন অগত্যা এবং তত্ক্ষণাত শব্দ হবে না।

— বেন মিলউড
সূত্র

1

একটি সংক্ষিপ্ত (এবং স্বজ্ঞাত) উত্তর পেতে আমি স্কট অ্যারনসন তার .0.০ 18৪ / ১৮.৪০০ এমআইটি বক্তৃতায় যা বলেছিলাম তা চিত্রিত করব। তিনি এরকম কিছু বলেছেন:

দৃness়তা মানে যা প্রমাণযোগ্য তা সত্য। যেহেতু ধারাবাহিকতার অর্থ সত্য এবং সত্যের ধারণার সাথে ইতিমধ্যে জড়িত কোনও দ্বন্দ্ব নেই এবং দৃness়তা অবশ্যই সামঞ্জস্যপূর্ণ হতে হবে (অর্থাত্ সত্য! = মিথ্যা), তার অর্থ অবশ্যই সাউন্ড সিস্টেমগুলিও সুসংগত। সুতরাং দৃness়তা স্থিরতা বোঝায় কারণ (সত্যই) সত্য জিনিসগুলির দ্বন্দ্ব নেই।

এখন আমি প্রতিফলিত হয়ে আমি বুঝতে পারি যে আমার কিছু ভুল অনুমান / ধারণা ছিল:

আমি বুঝতে পারি নি যে শব্দার্থকতা শব্দার্থবিজ্ঞানের বিষয়ে। সুতরাং, আমি বুঝতে অক্ষম হয়েছি যে অলঙ্কারগুলি থেকে কেবল অনুমানের নিয়ম ব্যবহার করা সত্য পরিণতির দিকে পরিচালিত করার পক্ষে যথেষ্ট নয় (এবং এটির গ্যারান্টিও দেয় না, যা আমি যতক্ষণ না অক্ষর থেকে শুরু করেছিলাম ততক্ষণ পরস্পরবিরোধী জিনিসগুলি পৌঁছানো অসম্ভব বলে মনে হয়েছিল এবং বৈধ অনুমানের নিয়ম ব্যবহার করা হয়েছে)।
আমি ভেবেছিলাম যে যতক্ষণ না অক্ষগুলি সত্য ছিল এবং অনুমানের বিধিগুলি অনুধাবন করেছে যে এগিয়ে যাওয়া সমস্ত কিছুই সত্য হবে। আমি এখন যা বুঝতে পেরেছি তা সত্য না হতে পারে যেহেতু আমাদের কাছে কেবল অলঙ্কারগুলির একটি বৃহত তালিকা রয়েছে এবং অনুমানগুলি যদি এরপরে যা কিছু ঘটে থাকে সেগুলি সত্য হয় কিনা তা যুক্তিযুক্ত করতে কঠোর নিয়ম করে। উদাহরণস্বরূপ, কেবলমাত্র একটি অক্ষর থেকে শুরু করা এবং একটি বৈধ অনুমানের নিয়ম ব্যবহার করা গ্যারান্টি হিসাবে যথেষ্ট নয় যে পরবর্তী পদক্ষেপটি সত্য হবে।
পূর্ববর্তীটি মূলত এই সত্যের সাথে মিলিত হয়েছে যে আমি বুঝতে পারি নি যে জটিলতার দুটি স্তর রয়েছে, 1) শব্দার্থবিজ্ঞান 2) সিনট্যাকটিক্স। খেলা ক্রাঞ্চিং প্রতীক ক্র্যাঙ্কিং দ্বন্দ্ব হতে পারে।
আমি বুঝতে পারি না যে সত্যের যথাযথ বৈশিষ্ট্য আমি জানি না, যা ডেরেক চরিত্রায়নে দুর্দান্ত কাজ করেছে।

— চার্লি পার্কার
সূত্র

"আমি ভেবেছিলাম যতক্ষণ না স্বরলিপিগুলি সত্য ছিল এবং অনুমানের বিধিগুলি অনুধাবন করেছে যে এগিয়ে যাওয়া সমস্ত কিছুই সত্য হবে।" "বোধগম্য" এর যথাযথ নির্ভুল ধারণার জন্য এটি সঠিক। যদি আপনার সিস্টেমটি নিরবচ্ছিন্ন থাকে তবে (কমপক্ষে) আপনার অ্যাকোরিয়ামগুলির মধ্যে একটি মিথ্যা, বা অনুমানের নিয়মগুলি অবৈধ।

— বেন মিলউড

@ বেনমিলউড কিন্তু ভুল বলছেন, না? গডেলের দ্বিতীয় অসম্পূর্ণতা উপপাদনের কারণে। পাটিগণিতকে ধারণ করে যে কোনও আনুষ্ঠানিক সিস্টেম এফের জন্য, কেউ এফ-এর মধ্যে তার ধারাবাহিকতা প্রমাণ করতে পারে না। আমি বুঝিয়েছিলাম যে আমার দৃ sound়তা অনুমান করা অসম্ভব (যেমন আমাদের কোনও প্রথাগত ব্যবস্থা থাকতে পারে না যে এটিতে প্রমাণিত সমস্ত কিছুই সত্য কারণ এটি হবে) সুস্পষ্ট ধারাবাহিকতা যা অসম্ভব বলে মনে হচ্ছে এটি অবশ্যই সম্ভব, যদি না ২ য় অসম্পূর্ণতা উপপাদ্য সম্পর্কে আমার কিছু ভুল ধারণা থাকে)। সত্য কথা বলতে গেলে আমি ঠিক আছি যদি আমাদের সম্পূর্ণতা না থাকে তবে যা আমি বিরক্তিকর মনে করি তা হল আমাদের সামঞ্জস্যতাও থাকতে পারে না।

— চার্লি পার্কার 14

এফ অবশ্যই সামঞ্জস্যপূর্ণ হতে পারে, আপনি কেবল এফ-এর সত্যতার প্রমাণ খুঁজে পেতে পারেন না। আপনাকে হয় আরও কিছু শক্তিশালী সিস্টেম, বা অনানুষ্ঠানিক যুক্তির কাছে আবেদন করতে হবে, বা কেবল এক ধরণের অনিশ্চয়তা স্বীকার করতে হবে যদিও এফ আপনাকে সামঞ্জস্যপূর্ণ হতে পারে though এটি এমন যে জলরোধী যুক্তি তৈরি করতে সক্ষম হবে না।

— বেন মিলউড

@ বেনমিলউড আমার অনুমান যে আমার উত্তরে আমি কী ধরে নিচ্ছি। যে অনিশ্চয়তা রয়েছে যে প্রমাণগুলি আসলে কাজ করে এবং এর পরের পদক্ষেপটি কিছু মিথ্যা হতে পারে। যদি আমি জানতাম যে এটি সত্য নয় তবে আমি নিশ্চিতভাবেই জানতে পারি যে আমি কোনও দ্বন্দ্বকে পৌঁছাতে পারব না যা গডেলের দ্বিতীয় অসম্পূর্ণতা উপপাদ্যকে লঙ্ঘন করে। বা এই মুহুর্তে আমি যা বুঝতে পেরেছি তা এখনই জানায়।

— চার্লি পার্কার

@ বেনমিলউড আমি অনুমান করি যে অনুমানের বিধি প্রয়োগ করে আমাদের পরবর্তী বিবৃতিগুলি 100% সহ সত্য বিবৃতি দেয় এমন বিশ্বাসটি আমি ত্যাগ করেছি। পরিবর্তে আমি মনে করি যে আমি স্পষ্টভাবে বিশ্বাসটি ধরে নিয়েছি যে এগিয়ে যাওয়া কেবল শব্দার্থবিজ্ঞানের চেয়ে সিনট্যাকটিক্সের বিষয় ... অবশ্যই ভুল হতে পারে, এই বিষয়টি বিভ্রান্তিকর এবং সূক্ষ্ম বলে মনে হয়।

— চার্লি পার্কার 16