বাদ দেওয়া মাঝের আইন ব্যতিরেকে প্রমাণ কি কাজ করতে পারে?


19

আমি সম্প্রতি বৈপরীত্য দ্বারা প্রমাণের বৈধতা সম্পর্কে চিন্তা ছিল। আমি গত কয়েকদিন ধরে স্বজ্ঞাত যুক্তি এবং গডেলের উপপাদ্যগুলিতে জিনিসগুলি পড়েছি তা দেখার জন্য তারা আমার প্রশ্নের উত্তর দেয় কিনা would এই মুহুর্তে এখনও আমার কাছে দীর্ঘসূত্রতা রয়েছে (সম্ভবত আমি যে নতুন উপাদান পড়েছি তার সাথে সম্পর্কিত) এবং কিছু উত্তর পাওয়ার আশা করছি

( সতর্কতা : আপনি যুক্তিতে খুব বিভ্রান্তিমূলক ভিত্তি সহ সামগ্রীটি পড়তে চলেছেন, লবণের দানা দিয়ে সবকিছু নিয়ে যাচ্ছেন, মনে করুন এটি একটি প্রশ্ন এবং উত্তর নয়, এতে অনেক ভুল বোঝাবুঝি রয়েছে)।

আমি মনে করি আমার মূল প্রশ্নটি হ'ল একবার, যখন আমরা দেখিয়েছি যে A কিছু দ্বন্দ্বের দিকে নিয়ে যায় না, সুতরাং A অবশ্যই মিথ্যা হবে না, তারপরে আমরা গিয়ে সিদ্ধান্তে পৌঁছলাম যে A অবশ্যই সত্য। এই অংশটি সাজানোর অর্থটি ঘটে (বিশেষত যদি আমি বাদ পড়া মাঝের আইনটিকে কিছুটা বোধগম্য হিসাবে গ্রহণ করি) তবে যা আমাকে বিরক্ত করে তা বৈপরীত্যের দ্বারা প্রমাণ কীভাবে ঘটে তা এক ধরণের। প্রথমে আমরা A এর সাথে শুরু করি না এবং তারপরে আমরা কেবল অক্ষরেখা এবং সূত্রের বিধিগুলি প্রয়োগ করি (যান্ত্রিকভাবে বলি) এবং দেখুন এটি আমাদের কোথায় নিয়ে যায়। এটি সাধারণত একটি বৈপরীত্যে পৌঁছে যায় (বলুন এ সত্য বা or এবং সত্য)। আমরা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছি যে A অবশ্যই মিথ্যা হবে না, সুতরাং A সত্য। সেটা ঠিক আছে. তবে আমার প্রশ্ন, আনুষ্ঠানিক সিস্টেমগুলির মধ্যে কী ধরনের গ্যারান্টি রয়েছেφ একজন¬φϕযদি আমি একই প্রক্রিয়াটি প্রয়োগ করি তবে এ দিয়ে শুরু করি যে আমিও সেখানে দ্বন্দ্ব পাব না ? আমি মনে করি যে বৈপরীত্য দ্বারা প্রমাণ হিসাবে কিছু লুকানো অনুমান চলছে যে একইভাবে যদি এ-তে একই প্রক্রিয়াটি একটি বিপরীতে পৌঁছায় না , তবে আমাদের কী ধরণের গ্যারান্টি থাকবে না? এমন কি প্রমাণ আছে যা অসম্ভব? অন্য কথায় যদি আমার কাছে যদি কোনও টার্নিং মেশিন (টিএম) (বা সুপার টিএম) থাকে যা চিরতরে চলে যায়, যা অনুমানযোগ্য সত্য বিবৃতি থেকে শুরু করে প্রতিটি অক্ষ থেকে সমস্ত যৌক্তিক পদক্ষেপগুলি চেষ্টা করেছিল , তবে কোন গ্যারান্টি দেয় যে কোনও বৈপরীত্য খুঁজে পাওয়ার কারণে এটি ক্ষতিকারক নয়? ?A

এরপরে আমি গডেলের অসম্পূর্ণতা উপপাদ্যটির সাথে আমার অতীত প্রশ্নের সাথে কিছু সংযোগ করেছি যা এরকম কিছু হয়:

একটি আনুষ্ঠানিক সিস্টেম এফ যে কনট এক্সপ্রেটস গাণিতিক তার নিজস্ব ধারাবাহিকতা প্রমাণ করতে পারে না (এফ এর মধ্যে)।

এটি মূলত আমার কাছে পরিষ্কার করে দিয়েছে যে এটি যদি সত্য হয় তবে ধারাবাহিকতা অর্থাৎ গ্যারান্টি দেওয়া যে A এবং A হবে না তা অসম্ভব। অতএব, এটি এটি দ্বিধা দ্বিধা দ্বারা প্রমাণ হিসাবে প্রমাণিত হয়েছে যে কেবল সুস্পষ্টভাবে ধরে নিয়েছে যে ধারাবাহিকতাটি কোনওভাবেই গ্যারান্টিযুক্ত (অন্যথায় কেন এটি কেবল এগিয়ে গিয়ে সিদ্ধান্তে পৌঁছবে যে A সত্য নয় এটি প্রমাণ করে যদি এটি ইতিমধ্যে ইতিমধ্যে না জানত তবে এটি সম্ভব নয়) এবং বৈপরীত্য যেখানে জরিমানা, কোনও বিবৃতি A এবং A নয়) এর জন্য? এটি কি ভুল বা আমি কিছু মিস করেছি?

তারপরে আমি ভেবেছিলাম, ঠিক আছে আমাদের অক্ষরেখায় বাদ দেওয়া মাঝের নিয়মটি অন্তর্ভুক্ত করুন এবং তারপরে সমস্ত সমস্যাগুলি সমাধান করা হবে। তবে আমি বুঝতে পেরেছিলাম, অপেক্ষা করুন যদি আমরা এটি করি যে আমরা সমস্যাটি মোকাবিলার পরিবর্তে কেবল সমস্যাটিকে সংজ্ঞায়িত করছি। আমি যদি কেবলমাত্র আমার সিস্টেমকে সংজ্ঞার সাথে সামঞ্জস্য রাখতে বাধ্য করি যা এর অর্থ এই নয় যে এটি আসলে সুসংগত… ঠিক? আমি কেবল এই ধারণাগুলি উপলব্ধি করার চেষ্টা করছি এবং আমি কী করব তা সম্পর্কে নিশ্চিতভাবে নিশ্চিত নই তবে এই ধারণাটি, বৈপরীত্য, একচেটিয়া মাঝখানে প্রায় প্রতিটি দিকেই স্টাফ পড়ার এবং ভিডিও দেখার কয়েক দিন পরে আমি বুঝতে পারছি যে, স্বজ্ঞাত যুক্তি যুক্তি, গডেলের সম্পূর্ণতা এবং অসম্পূর্ণতা উপপাদ্যগুলি…

এর সাথে সম্পর্কিত বলে মনে হচ্ছে এটি বাদ দেওয়া মাঝারি (বা বৈপরীত্য) বিধিবিধান ব্যতীত সরাসরি প্রমাণ করা অসম্ভব যে অসম্ভব। দেখে মনে হয় যে প্রুফ সিস্টেমগুলি সত্য বক্তব্য প্রমাণ করার পক্ষে ভাল তবে আমার বোঝার পক্ষে বিষয়গুলি সরাসরি মিথ্যা প্রমাণ করার পক্ষে অক্ষম। সম্ভবত তারা যেভাবে এটি করে তা দ্বন্দ্বের সাথে আরও পরোক্ষভাবে (যেখানে তারা দেখায় যে কোনও কিছু অবশ্যই মিথ্যা বা খারাপ হতে হবে), বা বাদ পড়েছে (যেখানে কেবলমাত্র একটি এর সত্যিকারের মূল্য জেনে অন্যটি আমাদের সত্য দেয়) বা পাল্টা উদাহরণ সরবরাহ করে (যা মূলত দেখায় যে বিপরীতটি সত্য তাই অপ্রত্যক্ষভাবে বাদ দেওয়া মাঝের আইন ব্যবহার করে)। আমার ধারণা আমি সম্ভবত একটি গঠনমূলক প্রমাণ চাই যে কিছু মিথ্যা?

আমি মনে করি যদি আমি জানতে পারি যে আমি যদি প্রমাণ করি না যে এটি মিথ্যা (তবে আমি দ্বন্দ্বকে স্বীকার করি) তবে এটি সত্যই ঠিক আছে এবং আমার পক্ষে সমস্ত আনুগত্যের নিয়ম এবং অক্ষগুলি সীমিতভাবে এ-তে প্রয়োগ করার দরকার নেই এবং আমি গ্যারান্টিযুক্ত যে এ জিতেছে একটি দ্বন্দ্ব পৌঁছে না। যদি তা সত্য হয় তবে আমি মনে করি আমি আরও সহজেই দ্বন্দ্বের দ্বারা প্রমাণ গ্রহণ করতে পারি। এটি কি সত্য বা গডেলের দ্বিতীয় অসম্পূর্ণতা গ্যারান্টিটি আমি এটি না পেতে পারি? আমি যদি তখন এটি না করতে পারি তবে আমার কী ধাঁধা আছে যে এত বছর গণিতবিদরা কীভাবে গণিত করছেন যে আমাদের কোনও অসঙ্গতি পাওয়া যায় নি? আমার কি ধারাবাহিকতার অভিজ্ঞতাগত প্রমাণের উপর নির্ভর করা দরকার? বা উদাহরণস্বরূপ, আমি সুপারফ এফ প্রমাণিত করে এফ সামঞ্জস্য বোধ করি কিন্তু যেহেতু আমার কখনই সুপারফ এবং কেবল এফ প্রয়োজন হবে না, তাই আমি সত্যিকারেরভাবে কাজ করে এমন বিষয়বস্তু হতে পারি না?


আমি কেবল লক্ষ্য করেছি যে আমার অভিযোগ প্রত্যক্ষ প্রমাণগুলিতেও সাধারণীকরণ করে। ঠিক আছে যদি আমি A এর প্রত্যক্ষ প্রমাণ করে থাকি তবে আমি জানি A সত্য সত্য ... তবে আমি কীভাবে জানব যে আমি যদি A এর প্রত্যক্ষ প্রমাণ না করি যে আমিও সঠিক প্রমাণ পাই না? একই প্রশ্নটিকে কিছুটা আলাদা জোর মনে হচ্ছে ....


1
মন্তব্যগুলি বর্ধিত আলোচনার জন্য নয়; এই কথোপকথন চ্যাটে সরানো হয়েছে ।
ডিডাব্লিউ


অন্তর্দৃষ্টিবাদী যুক্তি বাদ দেওয়া মাঝারি / ডাবল প্রত্যাখ্যান নির্মূলের সাধারণ বিবৃতিটিকে প্রত্যাখ্যান করে তবে এটি নির্দিষ্ট প্রস্তাবের জন্য থাকতে পারে। সর্বোপরি, স্বজ্ঞাত যুক্তিবাদে দ্বিগুণ প্রত্যাখ্যান প্রমাণ করার অর্থ হ'ল ইতিবাচক প্রমাণ অনুসন্ধান করা নিরর্থক নয়।
কার্ল দামগার্ড আসমুসেন

উত্তর:


30

আপনি জিজ্ঞাসা করেছিলেন (আমি আপনার প্রশ্নকে কিছুটা ): "এমন কোনও আনুষ্ঠানিক গ্যারান্টি কী আছে যে এমনটা ঘটতে পারে না যে এবং উভয়ই একটি বৈপরীত্যের দিকে পরিচালিত করে?" আপনি উদ্বেগজনক বলে মনে করছেন যে যদি যুক্তিটি অসঙ্গত হয় তবে দ্বন্দ্বের দ্বারা প্রমাণটি সমস্যাযুক্ত। তবে এটি মোটেও নয়।পি¬pp

যদি যুক্তিটি অসঙ্গতিপূর্ণ হয় তবে দ্বন্দ্বের দ্বারা প্রমাণ এখনও তর্ক করার বৈধ নিয়ম, তবে এটির অস্বীকৃতি এবং যে নিয়মটি বলে যে আমরা সিদ্ধান্ত নিতে পারি যে আপনি পরবর্তী পোপ। যুক্তিতে কোনও অসঙ্গতি কিছু অকার্যকর করে না: একেবারে বিপরীত, এটি সবকিছুকে বৈধতা দেয় !1+1=2

বিভ্রান্তির আরও একটি সম্ভাব্য উত্স রয়েছে: আপনার প্রশ্নের শিরোনামটি এমনটি পড়তে হতে পারে যে বাদ দেওয়া মাঝের আইনটি বলে যে যুক্তিটি সামঞ্জস্যপূর্ণ। এটা ভুল। যুক্তিবিদ্যার সমন্নয় পরিমাণ থেকে "এটা ক্ষেত্রে যে উভয় একটি বিবৃতি এবং তার অস্বীকৃতি প্রমাণাদি আছে নয়", যখন বাদ মধ্যম নিয়ম যা আমাদের ফর্ম বিবৃতি প্রমাণ করার অনুমতি দেয় ।p¬p


পরিপূরক: কেন এই প্রশ্নটি এত বেশি আলোচনার জন্ম দেয় তা আমি বুঝতে পারি না। দ্বিধাটি আসলে কী তা বুঝতে আমার সমস্যা হয় এবং আমি যতদূর বলতে পারি প্রশ্নটি একরকম ভুল বোঝাবুঝি থেকেই উত্থাপিত হয়। কেউ যদি প্রশ্নটি ব্যাখ্যা করতে পারে তবে আমি কৃতজ্ঞ থাকব। এছাড়াও, আমি কেবল নিম্নলিখিত পয়েন্টগুলিতে দৃষ্টি আকর্ষণ করতে চাই:

  1. দ্বন্দ্ব এবং বাদ দেওয়া মাঝারি দ্বারা প্রমাণ একে অপরের সমতুল্য, এবং সুতরাং শিরোনাম, লিখিত হিসাবে, সংবেদনশীল নয়। অবশ্যই আমাদের অন্য একজন ছাড়া থাকতে পারে না, তারা সমান equivalent

  2. প্রশ্নটির দীর্ঘ আলোচনা থেকে আমি যা বুঝতে পারি, সে থেকে ওপি মনে হচ্ছে, বা উদ্বেগজনকভাবে মনে হচ্ছে যে যুক্তিতে কোনও অসঙ্গতি প্রমাণকে অকার্যকর করে দেয়। এটি মিথ্যা, যেমন আমি উপরে উল্লেখ করেছি। আমি ওপি থেকে এক ধরণের প্রতিক্রিয়ার প্রশংসা করব: ওপি কি দেখতে পাবে যে যুক্তিতে কোনও অসঙ্গতি (যেমন, সমস্ত কিছু প্রমাণ করতে সক্ষম হওয়া) কোনও প্রমাণকে অকার্যকর করে না?

  3. আমি এটি সম্ভবত খুঁজে পেয়েছি, তবে সত্যই নিশ্চিতভাবে বলতে পারছি না, যে ওপি মনে করে যে বাদ পড়া মধ্যম আইন বলে যে এবং উভয়ের পক্ষে রাখা অসম্ভব (একটি সূত্র সহ: )। এটি মাঝখানে বাদ নেই। এটিকে কখনও কখনও অ-দ্বন্দ্বের আইন বলা হয় এবং এটি প্রমাণযোগ্য (বাদ দেওয়া মাঝামাঝি ছাড়াই)।¬ পি ¬ ( পি ¬ পি )p¬p¬(p¬p)

  4. ওপি মনে করে যে "বাদ দেওয়া মাঝামাঝি ছাড়া কোনও কিছু মিথ্যা তা সরাসরি প্রমাণ করা অসম্ভব"। তিনি দ্বন্দ্বের দ্বারা প্রত্যাখ্যানের প্রমাণ এবং প্রমাণকে বিভ্রান্ত করছেন, যা একই জিনিস নয় । লিঙ্কযুক্ত পোস্টে গঠনমূলক প্রমাণের প্রচুর উদাহরণ রয়েছে যা কিছু মিথ্যা। আসলে, পাঠ্যপুস্তকে যে কোনও কিছু মিথ্যা বলে প্রমাণিত হয়েছে তার বেশিরভাগ প্রমাণ ইতিমধ্যে গঠনমূলক।

  5. গডেলের অসম্পূর্ণতাটি এমন একটি কারণে টেনে আনা হয়েছে যাতে আমি বুঝতে পারি। গডেলের অসম্পূর্ণতা এমন একটি বাক্য সরবরাহ করে যা বা প্রমাণযোগ্য নয়। এর দ্বারা বোঝা যায় না যে (এটি বাদ পড়ে মাঝের একটি সাধারণ প্রয়োগ দ্বারা)! এটি বোঝায় না যে ধরেছে বা এরকম কিছু। গুডেলের অসম্পূর্ণতা এখানে কীভাবে প্রাসঙ্গিক?জি ¬ জি জি ¬ জি ¬ জি ¬ ¬ জিGG¬GG¬G¬G¬¬G

PS আমি পরিপূরকটির পূর্ববর্তী সংস্করণটির জন্য ক্ষমা চাইছি যা অভদ্র ছিল।


1
মন্তব্যগুলি বর্ধিত আলোচনার জন্য নয়; এই কথোপকথন চ্যাটে সরানো হয়েছে ।
রাফায়েল

জি ¬ জি ¬ জি ¬ জিGG¬G¬G¬G

আমি বিশ্বাস করি সমাধান এই হল: যুক্তি লাইন যে প্লাস পরোক্ষভাবে মোড Tollendo Ponens করে; তবে, আমরা হিসাবে একই নয় । মোডাস টলেলেডো পোনেন্সের একটি ভাল উদাহরণ হ'ল Neg এবং অতএব (যা অপ্রয়োজনীয়)। বা এবং তাই । অবশ্যই, এই প্রথম বিবৃতিগুলি ( এবং বাজি ¬ জি ¬ জি জি ¬ জি ¬ জি জি ¬ জি ¬ জি ¬ ¬ জি জি ¬ জি জি ¬ জি ¬ ¬ জি জিGG¬G¬GG¬G¬GG¬G¬G¬¬GG¬GG¬G¬¬GG ) অসম্পূর্ণতা উপপাদ্য দ্বারা স্পষ্টভাবে প্রত্যাখাত।
কাঠবিড়ালি

8

আমি মনে করি আপনার প্রশ্নটি "কিছু প্রকার আনুষ্ঠানিক যুক্তি দিয়ে আনুষ্ঠানিক যাচাই করার সময়, যুক্তিটি সামঞ্জস্যপূর্ণ আমার কী ধরনের গ্যারান্টি রয়েছে" এ উত্থিত হয়। এবং উত্তরটি: কোনওটি নয়। এটি আপনাকে ধরে নিতে হবে এমন কিছু। আনুষ্ঠানিক যাচাইকরণ সমস্ত অনুমানকে বাদ দেয় না; এটি আপনাকে কী অনুমান করছে তা সম্পর্কে আরও পরিষ্কার হতে সহায়তা করে এবং সম্ভবত আপনি এটি নিশ্চিত করতে সহায়তা করেন যে আপনি অনুমিতিগুলি যুক্তিযুক্ত থেকে শুরু করেছেন from

আপনি যদি কোনও স্ট্যান্ডার্ড লজিকের মধ্যে কাজ করেন, সাধারণত বেশিরভাগ লোকেরা যুক্তিটি সুসংগত বলে ধরে নিতে খুশি হন, এমনকি তাদের কাছে সেই সত্যতার প্রমাণ না থাকলেও। এটি সত্য যে আমরা একদিন আবিষ্কার করতে পারি যে যুক্তিটি আসলে বেমানান ... তবে বেশিরভাগ লোকের বিশ্বাস এটি খুব সম্ভবত নয়।

কিছু ক্ষেত্রে একটি প্রমাণ করতে পারে যে একটি যুক্তি সুসংগত, তবে এর জন্য আরও আরও শক্তিশালী যুক্তি ব্যবহার করা দরকার, যেখানে আমাদের ধরে নিতে হবে যে দ্বিতীয় যুক্তিটি সামঞ্জস্যপূর্ণ, তাই আমাদের এখনও কিছু অনুমান করা আবশ্যক রয়েছে (ধরে নেওয়া যাক যে কিছু যুক্তি সঙ্গতিপূর্ণ) )। এটি প্রমাণ হিসাবে গ্রহণ করা যেতে পারে যে প্রথম যুক্তি সম্ভবত সুসংগত, যদি আপনি বিশ্বাস করেন যে দ্বিতীয় যুক্তি সম্ভবত সম্ভবত সামঞ্জস্যপূর্ণ, তবে যুক্তিটি কোথাও খুঁজে বের করতে হবে - এমন কিছু জিনিস রয়েছে যা আমরা কেবল ধরে নিতে পারি, এবং প্রমাণ করতে পারি না।

দেখুন, উদাহরণস্বরূপ, হিলবার্টের দ্বিতীয় সমস্যা এবং জেডএফসির সামঞ্জস্যতার এই আলোচনা (এবং এটি এবং এই এবং এটি এবং সম্ভবত আরও অনেকগুলি)।


"আপনার কাছে ধারাবাহিকতার কোনও গ্যারান্টি নেই" বলে কিছুটা বিভ্রান্তিকর কারণ এটি সমস্ত যুক্তিটি বাতাসে চলে আসার মতো করে তোলে। অবশ্যই আনুষ্ঠানিক সিস্টেমগুলির ধারাবাহিকতার প্রমাণ রয়েছে, তবে তারা কথা বলতে "বিশ্বাসকে হ্রাস" করে না, কারণ এই জাতীয় প্রমাণগুলির শক্তিশালী সিস্টেমগুলির ধারাবাহিকতায় আরও বেশি বিশ্বাসের প্রয়োজন। তবুও, এটি ধারাবাহিকতার প্রমাণ থাকা বেশ কার্যকর।
আন্দ্রেজ বাউয়ার

1
@ আন্ড্রেজবাউর এটি কখনই বিশ্বাসের প্রশ্ন নয়, তবে আপনি যে বক্তৃতাগুলির সাথে একমত হন তাও নয়। আনুষ্ঠানিক সিস্টেমগুলি অক্সিমোসগুলিকে স্পষ্ট করে তোলে।
রাফায়েল

1
আমি আপনার বক্তব্য @ রাফেল বুঝতে পারি না। আপনি কি বলছেন যে অ্যালকোমিক্স সম্পর্কে একটি মতামত অক্ষর বিশ্বাসের চেয়ে কোনওরকম ভাল? এগুলি এমন শব্দ যা ধারাবাহিকতা শক্তি সম্পর্কে সুপরিচিত সত্য প্রকাশ করে। এবং শব্দগুলি যেতে গেলে এগুলি বিশেষভাবে আলোকিত বা দরকারী নয়। আমি উল্লেখ করছিলাম যে এতটুকু ধারাবাহিকতা সম্পর্কে প্রমাণের অভাব সম্পর্কে কম্বল বিবৃতি দেওয়া খুব প্যাডোগোলজিক্যাল নয়।
আন্দ্রেজ বাউয়ার

@ আন্দ্রেজবাউর আমার অনুভূত হয়েছিল যে "[ধারাবাহিকতা") এমন কিছু নয় যা আপনাকে ধরে নিতে হবে "বা" ধারাবাহিকতায় বিশ্বাস "চিহ্নটি আঘাত করে না। আপনি (কখনও কখনও) ধারাবাহিকতা প্রমাণ করতে পারেন, তবে শেষ পর্যন্ত সমস্ত প্রমাণ অক্ষরেখার স্টাইল্টগুলিতে "বাতাসে উপরে"। (এছাড়াও, আমি এখানে "অ্যাকিওম" নামকরণ করতে চেয়েছিলাম যা আমি অনুপস্থিত অনুভব করেছি।)
রাফেল

@ আন্দ্রেজবাউর, ঠিক আছে, যথেষ্ট ন্যায্য। আমি আমার উত্তরটি এ সম্পর্কে আরও স্পষ্ট হতে সম্পাদনা করেছি। আশা করি এটি এখন আরও ভাল লাগছে। দুর্ভাগ্যক্রমে, এটি অনুমানের প্রয়োজনকে দূর করে না। এটি কেবল পরিবর্তন করে যা আমরা অনুমান করছি যে যুক্তিটি সামঞ্জস্যপূর্ণ। শেষ পর্যন্ত, এটি এমন কিছু যুক্তি থেকে বিস্ফোরিত হয়েছে যা আপনাকে ধরে নিতে হবে যে এটি সামঞ্জস্যপূর্ণ।
ডিডাব্লিউ

8

আপনার পোস্টটি স্পর্শ করে এমন অনেক আকর্ষণীয় দার্শনিক পয়েন্ট রয়েছে।

বুলিয়ান যুক্তির ধারাবাহিকতা

শাস্ত্রীয় যুক্তিতে প্রুফ তত্ত্বের ধারাবাহিকতার বিষয়টি ততটা মারাত্মক নয় যতটা আপনি এটিকে তৈরি করেন। এটি মূলত নিম্নলিখিতটি হ্রাস করে:

আমরা সত্য বুলি 1এবং উপর লজিকাল অপারেশন ফাংশনগুলির সংগ্রহ হিসাবে বুলিয়ান যুক্তিকে সংজ্ঞায়িত করতে পারি 0। তবে কীভাবে আমরা জানি 0≠1?

(নোট যে আমি কেবল ব্যবহার করছি 0এবং 1দুই সত্য মানের জন্য বিমূর্ত প্রতীক হিসেবে; বিশেষত, আমি এখানে পূর্ণসংখ্যা কোন ধারণা অভিমানী নই)

আমরা, অবশ্যই, না জানি যে 0এবং 1ভিন্ন। তবে বুলিয়ান যুক্তি এতটাই হাস্যকরভাবে সহজ যে এই সম্ভাবনাটিকে প্রত্যাখ্যান করা সন্দেহের চরম স্তর।

তবে শাস্ত্রীয় প্রস্তাবমূলক যুক্তি এটিকে হ্রাস করে। মনে রাখবেন যে আমরা যে কোনও ফ্যাশনে পারমাণবিক প্রস্তাবগুলিতে বুলিয়ান মানগুলি নির্ধারণ করতে পারি এবং এটি পারমাণবিক মানগুলি থেকে নির্ধারিত সমস্ত প্রস্তাবকে একটি মূল্য নির্ধারণ করতে প্রসারিত।

"আপনার কাছ থেকে Pছাড় করতে পারেন Q" উক্তিটি আক্ষরিক অর্থে কেবল একটি অর্ডারিং সম্পর্ক; এর অর্থ দাবির মতো একই জিনিস যা " পারমাণবিক প্রস্তাবকে সত্যের মূল্য নির্ধারণের v(P) ≤ v(Q)প্রতিটি ক্রিয়াকলাপের জন্য ধারণ করে v"।

প্রস্তাবমূলক যুক্তির জন্য অনুমানের নিয়মগুলি অর্ডার দিয়ে কাজ করার জন্য যথাযথ বৈশিষ্ট্য । বৈপরীত্য দ্বারা প্রমাণ, বিশেষত, পর্যবেক্ষণ যে যদি P ≤ 0, তবে P = 0

এবং আপনার ইস্যুতে ফিরে যাচ্ছি ... সত্যের মূল্যবোধগুলিতে প্লাগ করার পরে যদি আমরা উভয়কেই জানতাম P ≤ 0এবং ¬P ≤ 0, আমরা শেষ পর্যন্ত সিদ্ধান্তে পৌঁছতে পারি যে 0=1; সত্য এবং মিথ্যা একই জিনিস মানে।

সুতরাং, যদি আপনার আত্মবিশ্বাস থাকে যে "সত্য" এবং "মিথ্যা" বিভিন্ন জিনিস বোঝায়, তবে আপনার বুলিয়ান যুক্তির ধারাবাহিকতার ক্ষেত্রে একই আস্থা থাকা উচিত।

স্বজ্ঞাত যুক্তি মধ্যে দ্বন্দ্ব দ্বারা প্রমাণ

একটি সতর্কতা অবলম্বন করা উচিত যে দ্বন্দ্ব দ্বারা প্রমাণ আরও ভাল হিসাবে সূচিত হয়:

  • আপনি যদি এর থেকে দ্বন্দ্ব অর্জন করতে পারেন Pতবে শেষ করুন¬P

প্রকৃতপক্ষে, কেউ এই সম্পত্তিটির সাথে সংযোগকারী হওয়ার জন্য অবহেলাটিকে সম্পূর্ণরূপে সংজ্ঞায়িত করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, হাইটিং বীজগণিত আপনি সাধারণত দেখতে পাবেন ¬P সংজ্ঞায়িত পি to 0।

দ্রষ্টব্য, বিশেষত, বিশেষ ক্ষেত্রে

  • আপনি যদি এর থেকে দ্বন্দ্ব অর্জন করতে পারেন ¬Pতবে শেষ করুন¬¬P

আপনি কি "অসঙ্গতি দ্বারা প্রমাণ" হিসেবে অভিহিত চিহ্নিতকরণের থেকে আসে ¬¬Pসঙ্গে P। অন্তর্দৃষ্টিবাদী যুক্তি এগুলি সমতুল্য বলে ধরে নেয় না।

আনুষ্ঠানিক চুক্তি হিসাবে ধারাবাহিকতা

এনকোডিং লজিকের জন্য আরও বেশি গণনামূলক আনুষ্ঠানিকতা রয়েছে; খালি টাইপ করা ল্যাম্বডা ক্যালকুলাস, নির্ভরশীল প্রকারগুলি এবং বিশেষত "প্রকার হিসাবে প্রকারের প্রস্তাবনা" উপমা দেখুন m

বিশদে না গিয়ে দ্বন্দ্বকে মূলত আনুষ্ঠানিক চুক্তি হিসাবে বিবেচনা করা হয়। একটি প্রকার আছে, যা আমি কল করব 0এবং সেখানে এই চুক্তি রয়েছে "এই ফাংশনগুলি কোনও ধরণের উপাদান তৈরি করতে ব্যবহার করা যায় না 0"।

যদি কোনও সিস্টেম যদি আপনাকে কোনও ফাংশন তৈরির অনুমতি দেয় T → 0তবে তা যদি সাহসী হয় তবে যদি এটি সত্যিকার অর্থে চুক্তিটি ধারণ করে থাকে তবে এর অর্থ এটি কোনও ধরণের অবজেক্ট তৈরি করা একইভাবে অসম্ভব T। বৈপরীত্য দ্বারা প্রমাণ বলতে কী বোঝায় এটি একটি গণনামূলক দৃষ্টিভঙ্গি।

শেষ পর্যন্ত এটি এর চেয়ে আলাদা নয়, উদাহরণস্বরূপ, সি সি ফাংশন যা কোনও পয়েন্টারকে নাল পয়েন্টার না ফেরানোর প্রতিশ্রুতি দেয় বা কোনও ব্যতিক্রম না ছুঁড়ে দেওয়ার প্রতিশ্রুতি দিয়ে সি ++ ফাংশন দেয়।

এবং সম্পূর্ণ বৃত্তে যাচ্ছেন, শাস্ত্রীয় যুক্তিতে ফিরে আসুন, আমরা যা করছি তা সত্যিই এটি।

আমাদের কাছে আনুষ্ঠানিক চুক্তির প্রস্তাব দেওয়া হয়, যেমন "পেনোর অ্যাকোয়ামস থেকে, অনুমানের নিয়মগুলি আপনাকে বৈপরীত্য অর্জন করতে দেয় না"। যদি এই চুক্তিটি সত্যই বহাল থাকে, তবে আপনি যদি এটি দেখাতে সক্ষম হন যে ¬Pএকটি বিপরীতকে বোঝায়, তবে Pএটি বৈপরীত্যকেও বোঝায় না।

এবং যদি চুক্তি লঙ্ঘন করা সম্ভব হয় তবে আমরা কেবল "পেনোর অ্যাকোরিওমগুলি বেমানান" বলব।


P0P=0P=1P0

0P¬P0

1
P=0P=1=(P0P1)=(¬PP)=0P=0P0", তারপরে এটি কোনও প্রস্তাব নয় (এটি ধাতবনিক); এটি প্রাসঙ্গিক যুক্তি থেকে অনুমানের নিয়মগুলি ব্যবহার করে যে যুক্তি তা উপস্থাপন করতে পারে তা সত্যই বলে বোঝানো যায় না, যেহেতু আপনি প্রস্তাবের ভাষায় এটি বলতেও পারবেন না ।

¬AAA¬AP¬P

1
01P¬P

1

যখন কোনও আনুষ্ঠানিক বিবৃতিটির সত্যতা গ্যারান্টি হিসাবে ব্যবহার করা হয়, সমস্ত প্রমাণ প্রমাণিতভাবে তারা যে সিস্টেমের ভিত্তিতে রয়েছে তার ধারাবাহিকতাটি স্পষ্টতই ধরে নেয় This কারণ এটি যদি সিস্টেমটি বেমানান হয় তবে সিস্টেমটির সম্পূর্ণতা নষ্ট হয়ে যায় এবং আমরা যে সমস্ত কাজ করেছিলাম যে সিস্টেমে মূলত ট্র্যাশ হয়।

যেহেতু আমরা প্রমাণ করতে পারি না যে কোনও সিস্টেম (বা কমপক্ষে কোনও জটিল সিস্টেম) সেই ব্যবস্থার সীমার মধ্যেই সামঞ্জস্যপূর্ণ, তাই আমাদের এটিকে একটি আনুষ্ঠানিকভাবে প্রমাণযোগ্য সত্যের চেয়ে অভিজ্ঞতাবাদী সত্য হিসাবে গ্রহণ করতে হবে। মূলত, যদি গণিতবিদরা একটি আনুষ্ঠানিক সিস্টেমের সাথে দীর্ঘ সময় ব্যয় করেন এবং কোনও বিপরীত আবিষ্কার হয় না, তবে এটি সিস্টেমের ধারাবাহিকতার পক্ষে অভিজ্ঞতামূলক প্রমাণ is তদতিরিক্ত, আমরা যে সিস্টেমের সাথে কাজ করছি তার ধারাবাহিকতা প্রমাণ করার জন্য আমরা আরও শক্তিশালী সিস্টেম ব্যবহার করতে পারি (যদিও এই আরও শক্তিশালী সিস্টেমের ধারাবাহিকতা এখনও অভিজ্ঞতাবাদী হবে - বাক কোথাও থামে)।

এটির মূল বিষয়, গণিতে পরিস্থিতি বিজ্ঞানের মতো। আমরা সেই তত্ত্বগুলি ভিত্তিতে গণিত তৈরি করি যা সেই তত্ত্বগুলির বিষয়ে আমাদের কাছে পাওয়া সমস্ত তথ্যের উপর ভিত্তি করে সঠিক বলে মনে হয়, এবং বিজ্ঞানের মতো আপনিও প্রমাণ করতে পারবেন না যে কোনও তত্ত্বটি সঠিক? আপনি কেবল এটি ভুল প্রমাণ করতে পারেন।

S

আমরা গণিতকে ভিত্তি করে বেছে নেওয়ার জন্য কোন ধরণের সিস্টেম বেছে নিই না কেন, সর্বদা একটি বিপদ থাকে যে আমরা সেই ব্যবস্থায় একটি বৈপরীত্য আবিষ্কার করব। ঠিক এই কারণেই গণিতবিদগণ গণিতে নতুন অক্ষগুলি প্রবর্তন করেন না: প্রতিটি নতুন অক্ষরেখায় ইতিমধ্যে ব্যবহৃত অক্ষরেখার সাথে বেমানান হওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে এবং নতুন অক্ষটি ব্যবহার করে এমন সমস্ত কাজ পুরোপুরি পুনরায় মূল্যায়ন করতে হবে।

সংযোজন: যখন আমি কোনও প্রদত্ত সিস্টেমের জন্য একটি বিবৃতিটি সত্য হওয়ার কথা বলি তখন আমি বোঝাতে চাইছি যদি সেই সিস্টেমটি ধারাবাহিক হয় তবে এটি সেই সিস্টেমের মধ্যেই অস্বীকার করা যায় না।


2
এটি সত্য যে "সমস্ত প্রমাণই ধারাবাহিকতা গ্রহণ করে"। ধারাবাহিকতা নির্বিশেষে সঠিক প্রমাণ বৈধ।
আন্দ্রেজ বাউয়ার

আমি যদি কিছু প্রমাণের জন্য জেডএফসির অ্যাক্সিমিয়ামগুলি ব্যবহার করি তবে আমার প্রমাণটি জেডএফসিটি সামঞ্জস্যপূর্ণ বলে ধরে নিয়েছে। যদি জেডএফএসি অসঙ্গতিপূর্ণ হয় তবে সেগুলি আমার প্রমাণ আর প্রমাণিত হয় না আমি যা প্রমাণ করেছি তার সত্যতা
জে. আন্তোনিও পেরেজ

1
এটা ঠিক মিথ্যা। জেডএফসি যদি অসঙ্গতিপূর্ণ থাকে তবে সমস্ত বিবৃতি প্রমাণযোগ্য এবং আপনার প্রমাণটি এখনও একটি প্রমাণ। অসামঞ্জস্যতার সাথে পরিবর্তিত হওয়া একমাত্র বিষয় হ'ল জেডএফএসি একটি বরং অকেজো তত্ত্ব হয়ে ওঠে যার কোনও মডেল নেই (এবং তাই এটি এখনও আপনার প্রমাণটি দেখায় যে আপনার বক্তব্যটি সমস্ত মডেলের ক্ষেত্রে সত্য true
আন্দ্রেজ বাউয়ার

আমি আমার উত্তরটি সংশোধন করেছি
জে আন্তোনিও পেরেজ

2
দুর্ভাগ্যক্রমে আপনি কেবল গ্রহণযোগ্য শব্দের সংজ্ঞা তৈরি করতে পারবেন না। "সত্য" এর অর্থ "একটি মডেলের ক্ষেত্রে বৈধ"। একটি ভিন্ন শব্দ, বা আরও ভাল সন্ধান করুন, আপনার ভুল হয়েছে বলে স্বীকার করুন। আমি কিছুটা চতুর হওয়ার জন্য ক্ষমা চাইছি তবে আমি বিষয়টিকে সোজা যুক্তিতে রাখার বিষয়ে যত্নশীল।
আন্দ্রেজ বাউয়ার
আমাদের সাইট ব্যবহার করে, আপনি স্বীকার করেছেন যে আপনি আমাদের কুকি নীতি এবং গোপনীয়তা নীতিটি পড়েছেন এবং বুঝতে পেরেছেন ।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.