আমি সম্প্রতি বৈপরীত্য দ্বারা প্রমাণের বৈধতা সম্পর্কে চিন্তা ছিল। আমি গত কয়েকদিন ধরে স্বজ্ঞাত যুক্তি এবং গডেলের উপপাদ্যগুলিতে জিনিসগুলি পড়েছি তা দেখার জন্য তারা আমার প্রশ্নের উত্তর দেয় কিনা would এই মুহুর্তে এখনও আমার কাছে দীর্ঘসূত্রতা রয়েছে (সম্ভবত আমি যে নতুন উপাদান পড়েছি তার সাথে সম্পর্কিত) এবং কিছু উত্তর পাওয়ার আশা করছি
( সতর্কতা : আপনি যুক্তিতে খুব বিভ্রান্তিমূলক ভিত্তি সহ সামগ্রীটি পড়তে চলেছেন, লবণের দানা দিয়ে সবকিছু নিয়ে যাচ্ছেন, মনে করুন এটি একটি প্রশ্ন এবং উত্তর নয়, এতে অনেক ভুল বোঝাবুঝি রয়েছে)।
আমি মনে করি আমার মূল প্রশ্নটি হ'ল একবার, যখন আমরা দেখিয়েছি যে A কিছু দ্বন্দ্বের দিকে নিয়ে যায় না, সুতরাং A অবশ্যই মিথ্যা হবে না, তারপরে আমরা গিয়ে সিদ্ধান্তে পৌঁছলাম যে A অবশ্যই সত্য। এই অংশটি সাজানোর অর্থটি ঘটে (বিশেষত যদি আমি বাদ পড়া মাঝের আইনটিকে কিছুটা বোধগম্য হিসাবে গ্রহণ করি) তবে যা আমাকে বিরক্ত করে তা বৈপরীত্যের দ্বারা প্রমাণ কীভাবে ঘটে তা এক ধরণের। প্রথমে আমরা A এর সাথে শুরু করি না এবং তারপরে আমরা কেবল অক্ষরেখা এবং সূত্রের বিধিগুলি প্রয়োগ করি (যান্ত্রিকভাবে বলি) এবং দেখুন এটি আমাদের কোথায় নিয়ে যায়। এটি সাধারণত একটি বৈপরীত্যে পৌঁছে যায় (বলুন এ সত্য বা or এবং সত্য)। আমরা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছি যে A অবশ্যই মিথ্যা হবে না, সুতরাং A সত্য। সেটা ঠিক আছে. তবে আমার প্রশ্ন, আনুষ্ঠানিক সিস্টেমগুলির মধ্যে কী ধরনের গ্যারান্টি রয়েছেφ একজনযদি আমি একই প্রক্রিয়াটি প্রয়োগ করি তবে এ দিয়ে শুরু করি যে আমিও সেখানে দ্বন্দ্ব পাব না ? আমি মনে করি যে বৈপরীত্য দ্বারা প্রমাণ হিসাবে কিছু লুকানো অনুমান চলছে যে একইভাবে যদি এ-তে একই প্রক্রিয়াটি একটি বিপরীতে পৌঁছায় না , তবে আমাদের কী ধরণের গ্যারান্টি থাকবে না? এমন কি প্রমাণ আছে যা অসম্ভব? অন্য কথায় যদি আমার কাছে যদি কোনও টার্নিং মেশিন (টিএম) (বা সুপার টিএম) থাকে যা চিরতরে চলে যায়, যা অনুমানযোগ্য সত্য বিবৃতি থেকে শুরু করে প্রতিটি অক্ষ থেকে সমস্ত যৌক্তিক পদক্ষেপগুলি চেষ্টা করেছিল , তবে কোন গ্যারান্টি দেয় যে কোনও বৈপরীত্য খুঁজে পাওয়ার কারণে এটি ক্ষতিকারক নয়? ?
এরপরে আমি গডেলের অসম্পূর্ণতা উপপাদ্যটির সাথে আমার অতীত প্রশ্নের সাথে কিছু সংযোগ করেছি যা এরকম কিছু হয়:
একটি আনুষ্ঠানিক সিস্টেম এফ যে কনট এক্সপ্রেটস গাণিতিক তার নিজস্ব ধারাবাহিকতা প্রমাণ করতে পারে না (এফ এর মধ্যে)।
এটি মূলত আমার কাছে পরিষ্কার করে দিয়েছে যে এটি যদি সত্য হয় তবে ধারাবাহিকতা অর্থাৎ গ্যারান্টি দেওয়া যে A এবং A হবে না তা অসম্ভব। অতএব, এটি এটি দ্বিধা দ্বিধা দ্বারা প্রমাণ হিসাবে প্রমাণিত হয়েছে যে কেবল সুস্পষ্টভাবে ধরে নিয়েছে যে ধারাবাহিকতাটি কোনওভাবেই গ্যারান্টিযুক্ত (অন্যথায় কেন এটি কেবল এগিয়ে গিয়ে সিদ্ধান্তে পৌঁছবে যে A সত্য নয় এটি প্রমাণ করে যদি এটি ইতিমধ্যে ইতিমধ্যে না জানত তবে এটি সম্ভব নয়) এবং বৈপরীত্য যেখানে জরিমানা, কোনও বিবৃতি A এবং A নয়) এর জন্য? এটি কি ভুল বা আমি কিছু মিস করেছি?
তারপরে আমি ভেবেছিলাম, ঠিক আছে আমাদের অক্ষরেখায় বাদ দেওয়া মাঝের নিয়মটি অন্তর্ভুক্ত করুন এবং তারপরে সমস্ত সমস্যাগুলি সমাধান করা হবে। তবে আমি বুঝতে পেরেছিলাম, অপেক্ষা করুন যদি আমরা এটি করি যে আমরা সমস্যাটি মোকাবিলার পরিবর্তে কেবল সমস্যাটিকে সংজ্ঞায়িত করছি। আমি যদি কেবলমাত্র আমার সিস্টেমকে সংজ্ঞার সাথে সামঞ্জস্য রাখতে বাধ্য করি যা এর অর্থ এই নয় যে এটি আসলে সুসংগত… ঠিক? আমি কেবল এই ধারণাগুলি উপলব্ধি করার চেষ্টা করছি এবং আমি কী করব তা সম্পর্কে নিশ্চিতভাবে নিশ্চিত নই তবে এই ধারণাটি, বৈপরীত্য, একচেটিয়া মাঝখানে প্রায় প্রতিটি দিকেই স্টাফ পড়ার এবং ভিডিও দেখার কয়েক দিন পরে আমি বুঝতে পারছি যে, স্বজ্ঞাত যুক্তি যুক্তি, গডেলের সম্পূর্ণতা এবং অসম্পূর্ণতা উপপাদ্যগুলি…
এর সাথে সম্পর্কিত বলে মনে হচ্ছে এটি বাদ দেওয়া মাঝারি (বা বৈপরীত্য) বিধিবিধান ব্যতীত সরাসরি প্রমাণ করা অসম্ভব যে অসম্ভব। দেখে মনে হয় যে প্রুফ সিস্টেমগুলি সত্য বক্তব্য প্রমাণ করার পক্ষে ভাল তবে আমার বোঝার পক্ষে বিষয়গুলি সরাসরি মিথ্যা প্রমাণ করার পক্ষে অক্ষম। সম্ভবত তারা যেভাবে এটি করে তা দ্বন্দ্বের সাথে আরও পরোক্ষভাবে (যেখানে তারা দেখায় যে কোনও কিছু অবশ্যই মিথ্যা বা খারাপ হতে হবে), বা বাদ পড়েছে (যেখানে কেবলমাত্র একটি এর সত্যিকারের মূল্য জেনে অন্যটি আমাদের সত্য দেয়) বা পাল্টা উদাহরণ সরবরাহ করে (যা মূলত দেখায় যে বিপরীতটি সত্য তাই অপ্রত্যক্ষভাবে বাদ দেওয়া মাঝের আইন ব্যবহার করে)। আমার ধারণা আমি সম্ভবত একটি গঠনমূলক প্রমাণ চাই যে কিছু মিথ্যা?
আমি মনে করি যদি আমি জানতে পারি যে আমি যদি প্রমাণ করি না যে এটি মিথ্যা (তবে আমি দ্বন্দ্বকে স্বীকার করি) তবে এটি সত্যই ঠিক আছে এবং আমার পক্ষে সমস্ত আনুগত্যের নিয়ম এবং অক্ষগুলি সীমিতভাবে এ-তে প্রয়োগ করার দরকার নেই এবং আমি গ্যারান্টিযুক্ত যে এ জিতেছে একটি দ্বন্দ্ব পৌঁছে না। যদি তা সত্য হয় তবে আমি মনে করি আমি আরও সহজেই দ্বন্দ্বের দ্বারা প্রমাণ গ্রহণ করতে পারি। এটি কি সত্য বা গডেলের দ্বিতীয় অসম্পূর্ণতা গ্যারান্টিটি আমি এটি না পেতে পারি? আমি যদি তখন এটি না করতে পারি তবে আমার কী ধাঁধা আছে যে এত বছর গণিতবিদরা কীভাবে গণিত করছেন যে আমাদের কোনও অসঙ্গতি পাওয়া যায় নি? আমার কি ধারাবাহিকতার অভিজ্ঞতাগত প্রমাণের উপর নির্ভর করা দরকার? বা উদাহরণস্বরূপ, আমি সুপারফ এফ প্রমাণিত করে এফ সামঞ্জস্য বোধ করি কিন্তু যেহেতু আমার কখনই সুপারফ এবং কেবল এফ প্রয়োজন হবে না, তাই আমি সত্যিকারেরভাবে কাজ করে এমন বিষয়বস্তু হতে পারি না?
আমি কেবল লক্ষ্য করেছি যে আমার অভিযোগ প্রত্যক্ষ প্রমাণগুলিতেও সাধারণীকরণ করে। ঠিক আছে যদি আমি A এর প্রত্যক্ষ প্রমাণ করে থাকি তবে আমি জানি A সত্য সত্য ... তবে আমি কীভাবে জানব যে আমি যদি A এর প্রত্যক্ষ প্রমাণ না করি যে আমিও সঠিক প্রমাণ পাই না? একই প্রশ্নটিকে কিছুটা আলাদা জোর মনে হচ্ছে ....