কালিয়ার শিকড়গুলির সাথে বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুপদী মাধ্যমে পুনরাবৃত্তিগুলি সমাধান করা

Question

অ্যালগরিদম বিশ্লেষণে আপনাকে প্রায়শই পুনরাবৃত্তিগুলি সমাধান করতে হবে। মাস্টার উপপাদ্য, প্রতিস্থাপন এবং পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি ছাড়াও বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুভুজ ব্যবহারের একটি রয়েছে ।

বলুন আমি সিদ্ধান্তে পৌঁছেছি যে একটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুপদী $x^2 - 2x + 2$যেমন কাল্পনিক শিকড় আছে$x_1 = 1+i$ এবং $x_2 =1-i$। তাহলে আমি ব্যবহার করতে পারি না

$\qquad c_1\cdot x_1^n + c_2\cdot x_2^n$

সমাধান পেতে, তাই না? এই ক্ষেত্রে আমার কীভাবে এগিয়ে যাওয়া উচিত?

Comments

স্বাগত! নোট করুন যে আপনি দ্বারা লটেক্স ব্যবহার করতে পারেন $...$।

— রাফেল

আমি দ্বিধান্বিত. আমি নিশ্চিত যে আপনি পদ্ধতিটি চরিত্রবাদী বহুবচন ব্যবহার করছেন , সমীকরণ নয়। কি$j$? আপনার দেওয়া সমীকরণের সমাধানগুলি কল্পিত নয়, কেবল নিরর্থক। "[বহুপাক্ষিক] প্রয়োগ" দ্বারা আপনার অর্থ কী?

— রাফেল

তিনি পদার্থবিজ্ঞানের ভুল বানান অভ্যাসটি গ্রহণ করেছেন $i$।

— জেফই

অবশ্যই, আপনি আসলে করতে পারেন। প্রথমত, সমাধানটি পুনরায়তাকে সন্তুষ্ট করে। দ্বিতীয়ত, সমাধানের স্থানটি 2 মাত্রার

— স্ট্রিন

Answer 1

হ্যাঁ, সমাধানটি আসলে $T(n) = \alpha(1+i)^n + \beta(1-i)^n$ কিছু ধ্রুবক জন্য $\alpha$ এবং $\beta$বেস কেস দ্বারা নির্ধারিত যদি বেসগুলির কেসগুলি আসল হয় তবে সমস্ত জটিল পদগুলিতে (অন্তর্ভুক্তি দ্বারা)$T(n)$ সমস্ত পূর্ণসংখ্যার জন্য বাতিল হবে $n$।

উদাহরণস্বরূপ, পুনরাবৃত্তি বিবেচনা করুন $T(n) = 2T(n-1) - 2T(n-2)$, বেস কেস সহ $T(0)=0$ এবং $T(1)=2$। এই পুনরাবৃত্তির বৈশিষ্ট্য বহুপদী is$x^2-2x+2$, তাই সমাধান $T(n) = \alpha(1+i)^n + \beta(1-i)^n$ কিছু ধ্রুবক জন্য $\alpha$ এবং $\beta$। বেস কেসগুলিতে প্লাগিং আমাদের দেয়

$$T(0) = \alpha(1+i)^0 + \beta(1-i)^0 = \alpha+\beta = 0\\ T(1) = \alpha(1+i)^1 + \beta(1-i)^1 = (\alpha+\beta) + (\alpha-\beta)i = 2$$ যা বোঝা $$\alpha + \beta = 0 \\ \alpha - \beta = -2i$$ যা বোঝা $\alpha = -i$ এবং $\beta = i$। সুতরাং সমাধান হয় $$T(n) = i\cdot ((1-i)^n - (1+i)^n).$$

এই ফাংশন মাঝখানে দোলায় $\sqrt{2}^n$ এবং $-\sqrt{2}^n$ 4 এর "পিরিয়ড" সহ। বিশেষত, আমাদের কাছে রয়েছে $T(4n) = 0$ সবার জন্য $n$, কারণ $(1-i)^4 = (1+i)^4 = -4$ (এবং কারণ আমি বেস কেসটি বেছে নিয়েছি $T(0)$ সাবধানে)।

Comments

আমি মনে করি মনে হয় চারিত্রিক বহুবর্ষের কাল্পনিক শিকড়গুলি (যা যদি আমি সঠিকভাবে মনে করি তবে সিকোয়েন্সের উত্পন্নকরণের ক্রিয়াকলাপের প্রভাবশালী এককামিতা) কোথাও নেতিবাচক উপাদানকে বোঝায়। এটা কি সত্যি? যদি তা হয় তবে এটি বলা নিরাপদ যে আপনার কখনই অ্যালগরিদম বিশ্লেষণে এই মামলার মুখোমুখি হওয়া উচিত নয়।

— রাফেল

অগত্যা। চরিত্রগত ফাংশনের শিকড় হলে$2$, $1+i$, এবং $1-i$উদাহরণস্বরূপ, ফাংশনটি চারপাশে দোদুল্যমান হবে $\alpha 2^n$ কিছুর জন্য $\alpha$, তবে (উপযুক্ত বেস ক্ষেত্রে) এটি সর্বদা ইতিবাচক হবে।

— জেফই