সিদ্ধান্ত সমস্যার অনুকূলিতকরণ সংস্করণ version

এই প্রশ্নটি তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞান স্ট্যাক এক্সচেঞ্জ থেকে স্থানান্তরিত হয়েছিল কারণ এটি কম্পিউটার সায়েন্স স্ট্যাক এক্সচেঞ্জে উত্তর দেওয়া যেতে পারে। 7 বছর আগে স্থানান্তরিত ।

এটি জানা যায় যে প্রতিটি অপ্টিমাইজেশন / অনুসন্ধানের সমস্যার সমতুল্য সিদ্ধান্তের সমস্যা রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত পথের সমস্যা

অপ্টিমাইজেশন / অনুসন্ধান সংস্করণ: একটি অপ্রচলিত অপ্রকাশিত গ্রাফ এবং দুটি ভার্চুয়ালকে , এবং মধ্যে একটি সংক্ষিপ্ততম পথ খুঁজে বের করে । $G = (V, E)$ $v,u\in V$ $v$ $u$

সিদ্ধান্ত সংস্করণ: একটি undirected unweighted গ্রাফ দেওয়া , দুই ছেদচিহ্ন , এবং একটি অ নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা , সেখানে একটি পথ মধ্যে এবং যার দৈর্ঘ্য সর্বাধিক হয় ? $G = (V, E)$ $v,u\in V$ $k$ $G$ $u$ $v$ $k$

সাধারণভাবে, " সেন্ট !" " st ?" তে কি ? $x^*\in X$ $f(x^*) = \min\{f(x)\mid x\in X\}$ $x\in X$ $f(x) \leq k$

তবে কি বিপরীতটিও সত্য, অর্থাত্ প্রতিটি সিদ্ধান্ত সমস্যার জন্য একটি সমতুল্য অপ্টিমাইজেশন সমস্যা আছে? যদি তা না হয় তবে কোনও সিদ্ধান্ত সমস্যার একটি উদাহরণ যা এর সমতুল্য অপ্টিমাইজেশন সমস্যা নেই?

— লুক মাইলস
সূত্র

এই বিটটি কি শূন্যের সমান?

— জেফই

আপনাকে "সমতুল্য" আরও বিশদে ব্যাখ্যা করতে হবে, উদাহরণস্বরূপ আপনার অর্থ কি বহুজনিত সময়ে (বা লোগারিথমিক স্পেসে) অন্যকে ওরাকল / ব্ল্যাকবক্স হিসাবে ব্যবহার করা সমাধান করা যায়? আপনি কি সমস্ত সমস্যা বা কেবল inside

all

inside এর ভিতরে থাকা সমস্যা সম্পর্কে যত্নশীল

N P

$\sf{NP}$ ?

— কাভেহ

আপনার দৃষ্টিভঙ্গির উপর নির্ভর করে, প্রশ্নটি হয় তুচ্ছ (কোনও সিদ্ধান্তের সমস্যা নিন যা " " নেই) বা উত্তরযোগ্য নয় (কীভাবে প্রমাণ করতে হবে যে "কোনও সমতুল্য বিকল্প নেই। সমস্যা আছে"?)।

k

$k$

— রাফেল

ইতিমধ্যে মন্তব্যে বলা হয়েছে, এটি যথারীতি সংজ্ঞাগুলির উপর নির্ভর করে। এর উত্তর দেওয়ার জন্য আমার প্রচেষ্টাটির কয়েকটি সংজ্ঞা দেওয়া দরকার, সুতরাং এটি সংক্ষিপ্ত উত্তর দেওয়ার ক্ষেত্রে আমার অক্ষমতার আর একটি উদাহরণ।

সংজ্ঞা: একটি অপ্টিমাইজেশান সমস্যা একটি tuple হয় সঙ্গে $(X,F,Z,\odot)$

$X$ উপযুক্ত এনকোডযুক্ত (স্ট্রিং) দৃষ্টান্ত বা ইনপুটগুলির সেট ।
$F$ একটি ফাংশন প্রতিটি ইনস্ট্যান্স মানচিত্র হয় একটি সেট থেকে এর সম্ভবপর সমাধান এর । $x\in X$ $F(x)$ $x$
$Z$ উদ্দেশ্য ফাংশন যা প্রতিটি জোড়া মানচিত্র হয় , যেখানে এবং , একটি বাস্তব সংখ্যা নামক মান এর । $(x, y)$ $x \in X$ $y\in F(x)$ $Z(x, y)$ $y$
$\odot$ হ'ল অপটিমাইজেশন দিক , is বা । $\min$ $\max$

সংজ্ঞা: একটি সন্তোষজনক সমাধান একটি দৃষ্টান্ত এর একটি অপ্টিমাইজেশান সমস্যার একটি সম্ভবপর সমাধান যার জন্য । অনুকূল সমাধানের মান দিয়ে চিহ্নিত করা হয় এবং সর্বোত্তম হিসাবে ডাকে । $x\in X$ $P_O$ $y\in F(x)$ $Z(x, y)=\odot\{Z(x, y')\mid y'\in F(x)\}$ $Opt(x)$

সংজ্ঞা: মূল্যায়ন সমস্যা , প্রকাশ , অপ্টিমাইজেশান সমস্যা সংশ্লিষ্ট নিম্নলিখিত হল: একটি দৃষ্টান্ত দেওয়া , কম্পিউট যদি একটি অনুকূল সমাধান এবং আউটপুট "কোন সন্তোষজনক সমাধান" অন্যথায় হয়েছে। $P_E$ $P_O$ $x\in X$ $Opt(x)$ $x$

নোট করুন যে এটি কেবলমাত্র সর্বোত্তম সমাধানটির সমস্ত বিশদ সহ পুরো সমাধানটিই নয় তার মান জিজ্ঞাসা করে।

সংজ্ঞা: সিদ্ধান্ত সমস্যা , প্রকাশ অপ্টিমাইজেশান সমস্যা সংশ্লিষ্ট অনুসরণ করছে: একজোড়া দেওয়া , যেখানে এবং , কিনা তা স্থির একটি সম্ভবপর সমাধান আছে যেমন if এবং যেমন যদি । $P_D$ $P_O$ $(x, k)$ $x\in X$ $k\in\mathbb{Q}$ $x$ $y$ $Z(x, y)\le k$ $\odot=\min$ $Z(x, y)\ge k$ $\odot=\max$

প্রথম পর্যবেক্ষণ এখন যে । প্রমাণ এখানে কঠিন এবং বাদ দেওয়া যায় না। $P_O\in \mathrm{NPO} \Rightarrow P_D\in \mathrm{NP}$

এখন, intuitively এবং সংশ্লিষ্ট চেয়ে আরো কঠিন নয় নিজেই। এই অনুভূতিটি আনুষ্ঠানিকভাবে প্রকাশ করার জন্য (এর দ্বারা সমতুল্য অর্থটি কী বোঝানো হচ্ছে তা নির্ধারণ করে ) আমরা হ্রাসগুলি ব্যবহার করব। $P_E$ $P_D$ $P_O$ $P_O$

পুনরাহ্বান যে একটি ভাষা অন্য ভাষায় বহুপদী টাইম রূপান্তরযোগ্য হয় আছে যদি একটি ফাংশন , বহুপদী সময় গণনীয়, এই ধরনের যে সব শব্দের জন্য , । Reducibility এই ধরনের হিসাবে পরিচিত হয় Karp বা অনেক টু এক reducibility , এবং যদি করার রূপান্তরযোগ্য হয় এই পদ্ধতিতে, আমরা লিখে এই প্রকাশ করার । এটি এনপি-সম্পূর্ণতার সংজ্ঞাটিতে একটি কেন্দ্রীয় ধারণা। $L_1$ $L_2$ $f$ $x$ $x\in L_1\Leftrightarrow f(x)\in L_2$ $L_1$ $L_2$ $L_1\le_m L_2$

দুর্ভাগ্যক্রমে, বহু-এক-এক হ্রাস ভাষাগুলির মধ্যে যায় এবং এটি অপ্টিমাইজেশান সমস্যার প্রসঙ্গে কীভাবে এগুলিকে নিয়োগ করা যায় তা পরিষ্কার নয়। অতএব আমাদের অন্যরকম হ্রাসযোগ্যতা, টুরিং হ্রাসযোগ্যতা বিবেচনা করা উচিত । প্রথমে আমাদের এটি দরকার:

সংজ্ঞা: একটি ওরাকল একটি সমস্যার জন্য এ (প্রকল্পিত) সাবরুটিন যে দৃষ্টান্ত সমাধান করতে পারেন ধ্রুবক টাইমে। $P$ $P$

সংজ্ঞা: একটি সমস্যা বহুপদী-সময় টুরিং-রূপান্তরযোগ্য একটি সমস্যা , লিখিত , দৃষ্টান্ত যদি জন্য একটি ওরাকল এক্সেস সঙ্গে একটি আলগোরিদিম দ্বারা বহুপদী সময় সমাধান করা যেতে পারে । $P_1$ $P_2$ $P_1\le_T P_2$ $P_1$ $P_2$

অনানুষ্ঠানিকভাবে, শুধু মত , সম্পর্ক প্রকাশ, যে বেশী কঠিন । এছাড়া সহজ দেখতে যদি বহুপদী সময় সমাধান করা যেতে পারে, তাই করতে পারেন । আবার হ'ল একটি সম্পর্ক। নিম্নলিখিত সত্যটি সুস্পষ্ট: $\le_m$ $P_1\le_T P_2$ $P_1$ $P_2$ $P_2$ $P_1$ $\le_T$

যাক , তারপর । $P_O\in \mathrm{NPO}$ $P_D\le_T P_E\le_T P_O$

কারণ সম্পূর্ণ সমাধান দেওয়া হয়েছে, এর মান গণনা করা এবং এটি সীমাবদ্ধ সাথে মিলবে কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়া সহজ। $k$

সংজ্ঞা: দুটি সমস্যার জন্য যদি এবং উভয় সম্পর্কের জন্য , ধরে থাকে তবে আমরা লিখি ; সমতা আমাদের ধারণা । $P_1$ $P_2$ $P_1\le_T P_2$ $P_2\le P_1$ $P_1\equiv_T P_2$

আমরা এখন প্রমাণ করতে প্রস্তুত যে সম্পর্কিত অপ্টিমাইজেশান সমস্যাটি দেওয়া হয়েছে এবং পূর্ণসংখ্যার জন্য মূল্যবান। আমাদের দেখতে হবে যে হোল্ড করে। আমরা নির্ধারণ করতে পারেন usign অনুসন্ধানের জন্য orcale একটি বাইনারি সঙ্গে । of এর সংজ্ঞাটি নিশ্চিত করে যে কিছু পলিনামিয়াল জন্য ,, তাই বাইনারি অনুসন্ধানের পদক্ষেপের সংখ্যা বহুভুজ is । $P_D\equiv_T P_E$ $P_O\in \mathrm{NPO}$ $Z$ $P_E \le_T P_D$ $\odot\{Z(x,y)\mid y\in F(x)\}$ $P_D$ $\mathrm{NPO}$ $|Z(x, y)|\le 2^{q(|x|)}$ $q$ $|x|$ $\Box$

অপ্টিমাইজেশান সমস্যার জন্য এর সাথে সম্পর্ক কম স্পষ্ট। অনেকগুলি কংক্রিট ক্ষেত্রে, কেউ সরাসরি দেখাতে পারে যে । এটি এখানে প্রদত্ত কাঠামোর মধ্যে সাধারণভাবে ধারণ করে তা প্রমাণ করার জন্য আমাদের একটি অতিরিক্ত অনুমানের প্রয়োজন। $P_O$ $P_E$ $P_D\equiv_T P_E \equiv_T P_O$

প্রথমে আমাদের প্রাসঙ্গিক সমস্যার সমস্যায় জোড়া জোড়া থেকে প্রসারিত করতে হবে । তারপরে এটি সহজেই দেখা যায় যে চেয়ে বেশি সাধারণ । $\le_m$ $\le_T$ $\le_m$

যাক এবং সিদ্ধান্ত সমস্যার হতে; তারপরে । এটি হোল্ড করে কারণ একাধিক থেকে এক হ্রাসকে একটি খুব সীমাবদ্ধ উপায়ে ওরাকল ব্যবহার করার অর্থ ব্যাখ্যা করা যেতে পারে: ওরাকলটিকে একবার বলা হয়, একেবারে শেষে, এবং এর ফলাফলটি সামগ্রিক ফলাফল হিসাবেও ফিরে আসে। $P$ $P'$ $P\le_m P' \Rightarrow P\le_T P'$ $\Box$

এখন আমরা ফাইনালের জন্য প্রস্তুত:

Let এবং ধরুন টি পূর্ণসংখ্যাযুক্ত এবং এনপি-সম্পূর্ণ, তারপরেপূর্ববর্তী পর্যবেক্ষণগুলির সাথে এটি । এটি করার জন্য আমরা যেমন একটি সমস্যা প্রদর্শন করব । তারপরে আমরাদ্বিতীয় এবং তৃতীয় রাখা সিদ্ধান্ত এবং মূল্যায়নের সংস্করণের সমতার কারণে hold তৃতীয় এর দ্বারা NP-completness থেকে অনুসরণ করে এবং দুটি ঘটনা যথা আগে উল্লেখ করেছে, $P_O\in \mathrm{NPO}$ $Z$ $P_D$

P_{D} \equiv_{T} P_{E} \equiv_{T} P_{O} .

$P_D\equiv_T P_E \equiv_T P_O.$

P_{O} \leq_{T} P_{E}

$P_O\le_T P_E$

P_{O}^{'} \in N P O

$P_O'\in \mathrm{NPO}$

P_{O} \leq_{T} P_{E}^{'}

$P_O\le_T P_E'$

P_{O} \leq_{T} P_{E}^{'} \leq_{T} P_{D}^{'} \leq_{T} P_{D} \leq_{T} P_{E} .

$P_O\le_T P_E' \le_T P_D'\le_T P_D\le_T P_E.$

\leq_{T}

$\le_T$

\leq_{T}

$\le_T$

P_{D}

$P_D$

P_{O} \in N P O \Rightarrow P_{D} \in N P

$P_O\in \mathrm{NPO} \Rightarrow P_D\in \mathrm{NP}$ এবং ।

P \leq_{m} P_{O}^{'} \Rightarrow P \leq_{T} P_{O}^{'}

$P\le_m P_O' \Rightarrow P\le_T P_O'$

এখন বিশদ: ধরে নিন যে এর সম্ভাব্য সমাধানগুলি একটি বর্ণমালা ব্যবহার করে এনকোড করা হয়েছে মোট অর্ডার দিয়ে সজ্জিত। যাক থেকে শব্দগুলি হতে সাধারণ দৈর্ঘ্য সাথে শব্দগুলো ব্লক মধ্যে দৈর্ঘ্য এবং lexicographic অর্ডার nondecreasing ক্রমানুসারে তালিকাভুক্ত। (সুতরাং খালি শব্দ)) সকলের জন্য জন্য অনন্য পূর্ণসংখ্যাকে যে যেমন । এবং Both উভয়ই বহুবর্ষীয় সময়ে গণনা করা যায়। সমস্ত for এর মতো এমন একটি বহুবচন হতে দিন $P_O$ $\Sigma$ $w_0, w_1, \ldots$ $\Sigma^*$ $w_0$ $y\in\Sigma^*$ $\sigma(y)$ $i$ $y=w_i$ $\sigma$ $\sigma^{-1}$ $q$ $x\in X$ এবং সমস্ত আমরা আছে । $y\in F(x)$ $\sigma(y)<2^{q(|x|)}$

এখন সমস্যা অভিন্ন একটি পরিবর্তিত উদ্দেশ্য ফাংশন ছাড়া। জন্য এবং আমরা নিতে । তাই । $P_O'$ $P_O$ $Z'$ $x\in X$ $y\in F(x)$ $Z'(x, y)=2^{q(|x|)}\cdot Z(x,y)+\sigma(y)$ $Z'$ $P_O'\in \mathrm{NPO}$

যে দেখাতে আমরা মান্য যে জন্য সম্ভবপর হয় যদি এবং কেবল যদি তা সম্ভবপর হয়। আমরা ধরে নিতে পারি যে এটিই কেস, যেহেতু বিপরীত কেস হ্যান্ডেল করার জন্য তুচ্ছ। $P_O\le_T P_E'$ $x$ $P_O$ $P_E'$

এর substituion জন্য অর্থে একঘেয়ে যে সব জন্য যদি তারপর । এর অর্থ হলো প্রতি সন্তোষজনক সমাধান মধ্যে এর একটি অনুকূল সমাধান মধ্যে । সুতরাং আমাদের টাস্কটি এর সর্বোত্তম সমাধান এর গণনা হ্রাস করে । $Z'$ $Z$ $y_1, y_2\in F(x)$ $Z(x, y_1)<Z(x, y_2)$ $Z'(x, y_1)<Z'(x, y_2)$ $x$ $P_O'$ $x$ $P_O$ $y$ $x$ $P_O'$

জন্য আমরা এর মান পেতে পারি । এই সংখ্যার মডুলোর ফলন এর বাকী অংশ গঠন করে যা থেকে বহুপদী সময়ে গণনা করা যায়। $P_E'$ $Z'(x,y)=2^{q(|x|)}\cdot Z(x,y)+\sigma(y)$ $2^{q(|x|)}$ $\sigma(y)$ $y$

— গান uli
সূত্র

"পি সমস্যার জন্য একটি ওরাকল হ'ল (অনুমানিক) সাবরুটাইন যা স্থির সময়ে পি এর উদাহরণগুলি সমাধান করতে পারে।" একটি ওরাকল কেবল ধ্রুবক সময় নিতে হবে?

— টিম

@ টিম অবশ্যই বই আছে, আমি অন্য উত্তরের

— uli

ওরাকল সংক্রান্ত @Tim: আপনি কথা ভাবছেন / কমানো ভাবা দুটি সমস্যা মধ্যে এবং আপনি আছে কমে জন্য একটি দক্ষ অ্যালগরিদম খুঁজে বের করার সমস্যা জন্য একটি দক্ষ অ্যালগরিদম খোঁজার জন্য । বা অন্য কথায় হ্রাস আপনাকে বলে যে সমাধানের জন্য আপনি ব্যবহার করতে পারেন । এটি জন্য একটি অ্যালগোরিদমে এর জন্য সাব্রোটিন ব্যবহার করার মতো । তবে সমস্যাগুলি এবং

A \leq_{T} B

$A\le_T B$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

B

$B$

A

$A$

A

$A$

B

$B$ প্রায়শই এমন সমস্যা হয় যেখানে আমরা কার্যকর সমাধানগুলি জানি না। এবং ট্যুরিং-হ্রাসযোগ্যতার ক্ষেত্রে আমরা এমনকি এমন ক্ষেত্রে এটি ব্যবহার করি যেখানে জড়িত সমস্যাগুলি একেবারে সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য নয়।

— uli

@ টিম এইভাবে একটি অজানা সাবরুটাইন । এটা তোলে জটিলতা তত্ত্ব একটি কাস্টম জন্য প্রকল্পিত অ্যালগরিদম কল পরিণত হয়েছে একটি হিসাবে হ্রাস থেকে প্রাপ্ত ওরাকল সঙ্গে অ্যালগরিদম । জন্য অজানা সাবরুটিন কল করা হচ্ছে একটি ওরাকল মাত্র প্রকাশ যে আমরা জন্য একটি দক্ষ অ্যালগরিদম এটি আশা করতে পারেন না ঠিক যেমন আমরা একটি ওরাকল প্রাপ্ত আশা করতে পারেন না । এই পছন্দটি কিছুটা দুর্ভাগ্যজনক, কারণ এটি একটি যাদুকরী ক্ষমতাকে বোঝায়। ওরাকলের জন্য ব্যয় হওয়া উচিতসাব্রোটিনের অন্তত ইনপুট পড়তে হবে ।

B

$B$

A

$A$ $B$

B

$B$

B

$B$

B

$B$

| x |

$|x|$

x

$x$

— uli

চারদিকে একটি দুর্দান্ত উত্তর; শুধু আমি যোগ হবে (অপর এক প্রশ্নের মাধ্যমে এখন এ আসছে) যে 'অপ্টিমাইজেশান দিক' জটিলতা একটি অপ্রয়োজনীয় বিট এবং concreteness জন্য আমরা সবসময় অনুমান করতে পারে উদ্দেশ্য ফাংশন বড় হবে | যদি উদ্দেশ্য কমান হয়, তাহলে আমরা একটি নতুন উদ্দেশ্য ফাংশন নির্ধারণ করতে পারবেন এবং সব কম পুনর্লিখন এর বৃহদায়ন যেমন ।

Z

$Z$

Z^{'} = - Z

$Z'=-Z$

Z

$Z$

Z^{'}

$Z'$

— স্টিভেন স্টাডনিকি

মতামত হিসাবে, উত্তর সঠিক সংজ্ঞা উপর নির্ভর করে। আমাকে প্রশ্নটি খুব বেসিক (এমনকি নির্বোধ) উপায়ে ব্যাখ্যা করতে দিন।

যাক কিছু সম্পর্ক, যে হতে । $S$ $S \subseteq \{ (a,b) \mid a,b \in \Sigma^*\}$

এখন আমরা জন্য একটি অনুসন্ধান সমস্যার সংজ্ঞা দিই : $S$

প্রদত্ত , একটি এটি যেমন যে । $a$ $b$ $(a,b) \in S$

এবং জন্য একটি সিদ্ধান্ত সমস্যা : $S$

প্রদত্ত উত্তর । $(a,b)$ $(a,b) \in S$

_{(উদাহরণস্বরূপ, প্রশ্নে দেওয়া উদাহরণে, সবকিছুর যুগল রাখা হবে মধ্যে একটি পাথ অস্তিত্ব আছে যেমন যে এবং যা তুলনায় খাটো ।) $S$ $(u,v,k)$ $u$ $v$ $k$}

নোট করুন যে এই দুটি সমস্যা ভালভাবে সংজ্ঞায়িত হয়েছে । এই সংজ্ঞা জন্য , আমরা দুটি সমস্যাটি কোনও এর "সমতুল্য" কিনা তা জিজ্ঞাসা করতে পারি । "সমতুল্য" -এর অর্থ আমি বলতে চাই যে তাদের মধ্যে যদি কোনওটি গণনাযোগ্য হয় (যেমন, সেখানে একটি অ্যালগরিদম রয়েছে যা এটি সমাধান করে) অন্যটির তুলনায় এটিও গণনীয়। সাধারণভাবে, তারা না। $S$

দাবি 1 : সিদ্ধান্ত অনুসন্ধানকে বোঝায় ।

প্রুফ: অ্যালগরিদম হতে দিন যা সিদ্ধান্ত সমস্যার সমাধান করে । একটি ইনপুট দেওয়া , আমরা চালাতে পারেন জন্য কোনো , একের পর এক, অথবা সমান্তরাল। অস্তিত্ব থাকে যেমন যে , আমরা অবশেষে তাহা পাইবে। যদি তা না হয় তবে অ্যালগরিদম সম্ভবত থামাতে পারে না । $D_S$ $S$ $a$ $D_S(a,x)$ $x\in \Sigma^*$ $b$ $(a,b)\in S$ $^\dagger$

দাবি 2 : অনুসন্ধান করে না পরোক্ষভাবে ডিসিশন ।

কারণটি হ'ল অনুসন্ধানের অ্যালগরিদমটি আমাদের প্রয়োজনের চেয়ে আলাদা ফিরে আসতে পারে । অর্থাৎ যে জন্য কিছু নেই যে খুব সহজেই খুঁজে পাওয়া যায়, কিন্তু অন্য নয়। উদাহরণস্বরূপ, কে কিছু অনির্বচনীয় ভাষা হতে দিন , তারপরে def সংজ্ঞায়িত প্রতিটি জন্য অনুসন্ধান অ্যালগরিদম ফিরে আসতে পারে । তবে কোনও সিদ্ধান্তের অ্যালগরিদম , সমস্ত জোড়ার জন্য । যদি এটি করতে পারত তবে এটি একটি অনির্বচনীয় সমস্যার সিদ্ধান্ত নিয়েছে, যা অসম্ভব। $b$ $a$ $b$ $b'$ $L$

S = {(x, 0) ∣ x \in Σ^{*}} \cup {(x, 1) ∣ x \in L} .

$S = \{ (x,0) \mid x\in \Sigma^*\} \cup \{ (x,1) \mid x \in L\}.$

x

$x$

0

$0$

(x, 1) \in S

$(x,1) \in S$

(x, 1)

$(x,1)$

$^\dagger$ এটি উপর নির্ভর করে । উদাহরণস্বরূপ, সীমিত হয়, সেখানে একটি অ্যালগরিদম উপস্থিত থাকতে পারে যা থামবে না। $S$ $S$

— রন জি।
সূত্র

সঠিক সিদ্ধান্ত সমস্যার অস্তিত্ব ম ।

b

$b$

⟨ a, b ⟩ \in S

$\langle a,b \rangle \in S$

— কাভেহ

যদি সিদ্ধান্তটিকে এর অস্তিত্ব হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় , তবে অনুসন্ধান সিদ্ধান্তকে বোঝায়।

b

$b$

— রান জি।

একটি দুর্বল অর্থে, ভিউয়ার্ট সংযোগযোগ্যতা তবে জটিলতা নয় এটি আরও সূক্ষ্ম বিষয়।

— কাভেহ