অনুমানের বৈধতার জন্য কঠোর প্রমাণ

মাস্টার তত্ত্বটি নির্দিষ্ট ধরণের পুনরাবৃত্তিগুলি সমাধান করার জন্য একটি সুন্দর সরঞ্জাম । যাইহোক, আমরা প্রায়শই একটি অবিচ্ছেদ্য অংশ প্রয়োগ করার সময় চকচকে করি। উদাহরণস্বরূপ, Mergesort বিশ্লেষণের সময় আমরা আনন্দের সাথে চলে যাই

$\qquad T(n) = T\left(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor\right) + T\left(\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil\right) + f(n)$

প্রতি

$\qquad T'(n) = 2 T'\left(\frac{n}{2}\right) + f(n)$

কেবল $n=2^k$ । আমরা আশ্বাস দিয়েছি যে এই পদক্ষেপটি বৈধ - যা $T \in \Theta(T')$ - কারণ $T$ "সুন্দরভাবে" আচরণ করে। সাধারণভাবে, আমরা অনুমান $n=b^k$ জন্য $b$ বিভাজকদের।

পুনরাবৃত্তিগুলি তৈরি করা সহজ যা দুষ্টু ব্যবহার করে এই সরলীকরণের অনুমতি দেয় না $f$ । উদাহরণস্বরূপ, জন্য উপরে পুনরাবৃত্তি $T\,$ / $\,T'$ সহ

$\qquad f(n) = \begin{cases} 1 &, n=2^k \\ n &, \text{else} \end{cases}$

সমর্পণ করা হবে $\Theta(n)$ স্বাভাবিক ভাবেই মাস্টার উপপাদ্য ব্যবহার করে, কিন্তু স্পষ্টতই subsequence যে ভালো উদ্গত হয় $\Theta(n \log n)$ । আরও একটি স্বতন্ত্র উদাহরণের জন্য এখানে দেখুন ।

কীভাবে আমরা এই "সুন্দরভাবে" কঠোর করতে পারি? আমি যথেষ্ট নিশ্চিত যে একঘেয়েমি যথেষ্ট, তবে সরল Mergesort পুনরাবৃত্তিও একঘেয়ে নয়; একটি পর্যায়ক্রমিক উপাদান রয়েছে (যা asympotically প্রভাবিত হয়)। এটা যথেষ্ট তদন্ত করতে হয় $f$ , এবং প্রয়োজনীয় ও পর্যাপ্ত অবস্থার কি $f$ যে মাস্টার উপপাদ্য কাজ নিশ্চিত?

— রাফেল
সূত্র

একই ফলাফলের আর একটি গ্রহণযোগ্যতা হ'ল আকরা-বাজি উপপাদ্য "লিনিয়ার পুনরাবৃত্তি সমীকরণের সমাধানের উপর", গণনার অপ্টিমাইজেশন এবং অ্যাপ্লিকেশনগুলি, 10 (2), 195-210 (1998), বা ড্রমোটা এবং জাজপাঙ্কোস্কি "ডিসক্রিট ডিভাইডের জন্য একটি মাস্টার উপপাদ্য এবং কনকয়ের পুনরাবৃত্তি ", SODA'11 < dl.acm.org/citation.cfm?id=2133036.2133064 >।

— ভনব্র্যান্ড

এখানে একটি উপরের কাগজের লিঙ্ক , যা পে-ওয়াল এর পিছনে নেই।

— পরেশ

আইআইআরসি এটি সিএলআরএস অধ্যায় 4 এ আলোচনা করা হয়েছে

— কাভেঃ

@ কাভাহ পয়েন্টারটির জন্য ধন্যবাদ। বেশিরভাগ অংশে, তারা এটিকে "সহনীয় slালু" বলে; এটি তাদের প্রেক্ষাপটে ঠিক আছে, কারণ তারা ধরে নিয়েছে যে আপনি কেবল অনুমানটি নিয়ে এসেছেন, পরে আবর্তনের মাধ্যমে এটি সঠিক প্রমাণিত হবে। তারা বিপদগুলির কথা উল্লেখ করে (৪.6) ৪.6.২ এ তারা একটি প্রমাণ দেয়, তবে এটি উচ্চ-স্তরের এবং তারা পরিষ্কারভাবে বলে না যে

তে কী কী নিষেধাজ্ঞাগুলি রাখা উচিত। সুতরাং এটি "

মতো কিছু গণিতের মধ্য দিয়ে চলেছে" বলে মনে হচ্ছে , যা আমার মনে হয় মূলত "সুন্দর"

-ক্লাস থাকা দরকার

T

$T$

T

$T$

f

$f$

Θ

$\Theta$

— রাফায়েল

সাধারণ ক্ষেত্রে যখন আপনার অনুরূপ আকার না থাকে আপনি আকরা az বাজি পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন যা মাস্টর উপপাদ্যকে সাধারণকরণ করা হয়, নিশ্চিত করা যায় যে এই উপপাদ্যটিতে কাজ করে এমন কিছুতে কীভাবে নির্দিষ্ট ফাংশন পরিবর্তন করা যায়, এবং মার্জ সাজানোর মতো কোনও কিছুর জন্য, সাধারণত এটিই সময় জটিলতার প্রমাণ দেওয়ার জন্য লোকেরা ব্যবহার করে।

এই উত্তরের পুরো জুড়ে, আমরা ধরে নিই এবং অ-নেতিবাচক। আমাদের প্রমাণ যখনই কিছু মনোোটোন জন্য । এটি আপনার Mergesort উদাহরণ অন্তর্ভুক্ত, যা , এবং যা বহুপদী বৃদ্ধির হার (অথবা এমনকি হয়েছে কোনো ফাংশন $f$ $T$ $f = \Theta(g)$ $g$ $f=\Theta(n)$ )। $\Theta(n^a \log^b n)$

প্রথম ক্ষেত্রে যে বিবেচনা করা যাক একঘেয়েমি অ হ্রাস পাচ্ছে (আমরা এই ধৃষ্টতা পরে শিথিল করব)। আমরা আপনার নমুনা পুনরাবৃত্তি মনোযোগ এই পুনরাবৃত্তির জন্য দুটি বেস কেস, এবং $f$

T (n) = T (⌊ n / 2 ⌋) + T (⌈ n / 2 ⌉) + f (n) .

$T(n) = T(\lfloor n/2 \rfloor) + T(\lceil n/2 \rceil) + f(n).$

T (0)

$T(0)$

। আমরা অনুমান করি যে

T (1)

$T(1)$

, যা আমরা পরে শিথিল।

T (0) \leq T (1)

$T(0) \leq T(1)$

আমি দাবি করি যে হ'ল একঘেয়েমি হ'ল। আমরা সম্পূর্ণ প্রবর্তনের মাধ্যমে প্রমাণ করি যে । এটি জন্য দেওয়া হয়েছে , সুতরাং । আমাদের আছে $T(n)$ $T(n+1) \geq T(n)$ $n = 0$ $n \geq 1$ এর অর্থ হলো

\begin{aligned} T (n + 1) & = T (⌊ (n + 1) / 2 ⌋) + T (⌈ (n + 1) / 2 ⌉) + f (n + 1) \\ \geq T (⌊ n / 2 ⌋) + T (⌈ n / 2 ⌉) + f (n) = T (n) . \end{aligned}

$\begin{align*} T(n+1) &= T(\lfloor (n+1)/2 \rfloor) + T(\lceil (n+1)/2 \rceil) + f(n+1) \\ &\geq T(\lfloor n/2 \rfloor) + T(\lceil n/2 \rceil) + f(n) = T(n). \end{align*}$

সুতরাং যদি

T (2^{⌊ \log_{2} n ⌋}) \leq T (n) \leq T (2^{⌈ \log_{2} n ⌋}) .

$T(2^{\lfloor \log_2 n \rfloor}) \leq T(n) \leq T(2^{\lceil \log_2 n \rfloor}).$

, আমরা সম্পন্ন করেছি। এই সবসময় ক্ষেত্রে দেখা যায় যদি দুটি সব শক্তিগুলি সমাধান ফর্ম হল

T (2^{m}) = Θ (T (2^{m + 1}))

$T(2^m) = \Theta(T(2^{m+1}))$

।

T (n) = Θ (n^{a} \log^{b} n)

$T(n) = \Theta(n^a \log^b n)$

এখন এই অনুমানটি শিথিল করি যে । একটি নতুন পুনরাবৃত্তি বিবেচনা ঠিক একই ভাবে, শুধুমাত্র সংজ্ঞায়িত । আমরা প্রবর্তনের মাধ্যমে প্রমাণ করতে পারি যে $T(0) \leq T(1)$ $T'$ $T'(0) = T'(1) = \min(T(0),T(1))$ $T'(n) \leq T(n)$ । একইভাবে, আমরা একটি নতুন পুনরাবৃত্তি সন্তোষজনক , এবং তারপরে সংজ্ঞায়িত করতে পারি । মাস্টার উপপাদ্যটি চালু করে আমরা দেখতে পাই যে এবং $T''$ $T''(0) = T''(1) = \max(T(0),T(1))$ $T(n) \leq T''(n)$ $T'=\Theta(h)$ একইফাংশন জন্য , এবং তাই $T''=\Theta(h)$ $h$ পাশাপাশি। $T = \Theta(h)$

এখন আসুন এই ধারণাটি শিথিল করুন যে মোনোটোন। যে ধরুন কিছু একঘেয়েমি ফাংশন জন্য । এভাবে $f$ $f = \Theta(g)$ $g$ কিছু এবং বৃহৎ যথেষ্ট। আমরা সরলতা যে জন্য অনুমান প্রতিস্থাপন সঙ্গে $cg(n) \leq f(n) \leq Cg(n)$ $c,C>0$ $n$ ; পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে যেমন সাধারণ কেস পরিচালনা করা যায়। আবার আমরা দুটি পুনরাবৃত্তি সংজ্ঞায়িত করি $n=0$ $T',T''$ $f$ $cg,Cg$ (যথাক্রমে)। আবারও মাস্টার উপপাদ্য একই ফলাফল দেবে (ধ্রুবক বহুগুণ পর্যন্ত), যা একইরকম (ধ্রুবক বহুগুণ পর্যন্ত) কেবলমাত্র দুটিটির ক্ষমতায় মূল পুনরাবৃত্তিটি সমাধান করার মাধ্যমে আমরা কী পেতে পারি to

— ইউভাল ফিল্ম
সূত্র

অবশেষে এটিকে আরও কাছাকাছিভাবে পড়তে পেলাম। সুন্দর ধন্যবাদ! আমি ভেবেছিলাম আমি ভবিষ্যতে পাঠকদের জন্য এই নোট চাই (কারণ আমি এটা সম্পর্কে পদস্খলিত):

যেহেতু এটি সুপার বহুপদী কেবল মিথ্যা একটি সীমাবদ্ধতা নয়

এবং মাস্টার উপপাদ্য এ জাতীয় ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়।

T (2^{m}) \in Θ (T (2^{m + 1}))

$T(2^m) \in \Theta(T(2^{m+1}))$

T

$T$

— রাফেল

আমি আপনার প্রমাণটি আরও বিশদভাবে লেখার চেষ্টা করেছি এবং আপনার শেষ বাক্যটি প্রমাণ করে আটকে গেলাম, "যা কেবলমাত্র দু'জনের ক্ষমতার ভিত্তিতে মূল পুনরাবৃত্তিটি সমাধান করে আমরা কী পেতে পারি তারও অভিন্ন (...)" " বিশেষত, আমাদের দেখাতে হবে যে আমরা

এবং

জন্য মাস্টার উপপাদ্যের একই ক্ষেত্রে শেষ করছি । এটি 1 এবং 2 কেসের ক্ষেত্রে কোনও ইস্যু নয়, তবে আমি কেস 3 এর জন্য

এর অস্তিত্ব দেখাতে পারি না (সিএলআরএস-এর সংস্করণ, তৃতীয় সংস্করণে p94)। আপনি কি সে সম্পর্কে ভেবেছিলেন, বা উইকিপিডিয়ায় অনুরূপ কোনও সংস্করণ নিয়ে কাজ করেছেন ?

c g

$cg$

f

$f$

C g

$Cg$

c < 1

$c < 1$

— রাফেল

f = Θ (n^{α})

$f = \Theta(n^\alpha)$

g

$g$

f = Θ (n^{α} \log^{β} n)

$f = \Theta(n^\alpha \log^\beta n)$

g

$g$

f

$f$

g

$g$

f = Θ (g)

$f = \Theta(g)$

— যুবাল ফিল্মাস

g

$g$

f : n \mapsto 2^{n}

$f : n \mapsto 2^n$

g

$g$

c g

$cg$

C g

$Cg$ (অনুমান করে)। দুর্ভাগ্যক্রমে আমি আমার আগের মন্তব্যে ফিরে এসেছি। এটি যদি কেবলমাত্র প্রযুক্তিগত হয় তবে আমি এটি দেখতে পাচ্ছি না। অনেক বেশি বৈষম্য।

আমি এখনও মনে করি এটি প্রযুক্তিগত। আপনি যে অবস্থাটি নিয়ে উদ্বিগ্ন তা একটি প্রযুক্তিগত শর্ত। অনুশীলনে উপস্থিত বেশিরভাগ ক্রিয়াকলাপের জন্য, শর্তটি ধরে রাখবে। আপনি সর্বাধিক সাধারণ অবস্থার জন্য জিজ্ঞাসা করছেন যার উপরোক্ত প্রমাণ স্কেচটি দিয়ে যায়। এটি একটি আকর্ষণীয় প্রশ্ন যা আমি উত্তর দিতে খুব অলস।

— যুবাল ফিল্মাস