এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার জন্য কি সুব্যাক্সিয়েন্সিভ-টাইম অ্যালগরিদম রয়েছে?

51

এমন কি এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা রয়েছে যা সফলভাবে-সময়ের অ্যালগরিদম প্রমাণিত করেছে?

আমি সাধারণ কেস ইনপুটগুলির জন্য জিজ্ঞাসা করছি, আমি এখানে ট্র্যাকটেবল বিশেষ মামলার কথা বলছি না।

উপ-তাত্পর্যমূলক দ্বারা, আমি বহুপথের উপরে বর্ধনের ক্রম বলতে চাইছি তবে তাত্পর্যমূলক তুলনায় কম, উদাহরণস্বরূপ । $n^{\log n}$

— ksb
সূত্র

10

"সাব-এক্সফেনশনিয়াল" বলতে কী বোঝ? যদি আপনার অর্থ

তবে উত্তরটি অবশ্যই হ্যাঁ। আপনি কি এটি বলতে পারেন

, আমি বিশ্বাস করি উত্তর নেই।

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

2^{n^{o (1)}}

$2^{n^{o(1)}}$

— জেফই

57

সুব এক্সপোনশিয়াল বলতে কী বোঝাতে চান তার উপর নির্ভর করে। নীচে আমি "সুবেক্সোনশিয়াল" এর কয়েকটি অর্থ এবং প্রতিটি ক্ষেত্রে কী ঘটে তা ব্যাখ্যা করি। এই ক্লাসগুলির প্রত্যেকটি এর নীচের ক্লাসগুলিতে অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।

I. $2^{n^{o(1)}}$

যদি subexpoਵੇਂেন্সিয়াল বলতে আপনার অর্থ , তবে ETH ( এক্সপেনশনাল টাইম হাইপোথিসিস) নামক জটিলতার তত্ত্বের একটি অনুমান বোঝায় যে কোনও সমস্যার সমস্যাটি চলমান সময় সহ একটি অ্যালগরিদম থাকতে পারে না $2^{n^{o(1)}}$ $\mathsf{NP}$ $2^{n^{o(1)}}$ ।

নোট করুন যে এই শ্রেণিটি বহুবর্ষের সমন্বয়ে রচনাতে বন্ধ রয়েছে। আমাদের যদি কোনও জন্য একটি সাফল্যময় সময় অ্যালগরিদম থাকে $\mathsf{NP}$ সমস্যার সমস্যার আমরা এটিকে স্যাট থেকে বহুপদী সময় হ্রাসের সাথে একত্রিত করতে পারি এবং এটিটি 3 এসএটি-র জন্য একটি সুবীক্ষণীয় আলগোরিদিম পেতে পারে যা ETH লঙ্ঘন করে।

২। , IE জন্য সব $\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $0 < \epsilon$

আগের পরিস্থিতিও একই রকম।

এটি বহুবর্ষের আওতায় বন্ধ রয়েছে সুতরাং ETH লঙ্ঘন না করে কোনও -ਹਾਰ্ড সমস্যা সমাধান করতে পারে না। $\mathsf{NP}$

তৃতীয়। , অর্থাত্ জন্য কিছু $\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon < 1$

Subexponential দ্বারা আপনি কি বোঝাতে চেয়েছেন তাহলে জন্য কিছু $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon<1$ তারপর উত্তর হবে হ্যাঁ, সেখানে provably ধরনের সমস্যা হয়।

স্যাটের মতো কমপ্লিট সমস্যা নিন । এটিতে একটি ব্রুট-ফোর্স অ্যালগরিদম রয়েছে যা সময় । এখন ইনপুটগুলিতে সাইজের স্ট্রিং যুক্ত করে স্যাটের প্যাডেড সংস্করণটি বিবেচনা করুন : $\mathsf{NP}$ $2^{O(n)}$ $n^k$

এস একজন {টি}^{'} = {⟨ φ, W ⟩ | φ \in এস একজন টি এবং | W | = | φ |^{ট}}

$SAT' = \{\langle \varphi,w\rangle \mid \varphi\in SAT \text{ and } |w|=|\varphi|^k \}$

এখন এই সমস্যাটি -হার্ড এবং সময় সমাধান করা যেতে পারে $\mathsf{NP}$ । $2^{O(n^\frac{1}{k})}$

চতুর্থ। $2^{o(n)}$

এটি পূর্ববর্তী ক্লাসে রয়েছে, উত্তরটি একই রকম।

ভি , অর্থাত্ জন্য সব $\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon>0$

এটি পূর্ববর্তী ক্লাসে রয়েছে, উত্তরটি একই রকম।

ষষ্ঠ। , অর্থাত্ জন্য কিছু $\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon<1$

এটি পূর্ববর্তী ক্লাসে রয়েছে, উত্তরটি একই রকম।

সুব এক্সফেনশিয়াল বলতে কী বোঝায়?

"বহুবর্ষের উপরে" একটি উচ্চ- গণ্ডি নয় তবে নিম্ন- গন্ডী এবং এটি সুপারপোলিনমিয়াল হিসাবে উল্লেখ করা হয় ।

মতো কাজগুলির বলা হয় quasipolynomial $n^{\lg n}$ , এবং নাম নির্দেশ করে প্রায় বহুপদী এবং সূচকীয় হওয়া থেকে অনেক দূরে, subexponential সাধারণত অনেক দ্রুত বৃদ্ধির হার সঙ্গে ফাংশন অনেক বড় বর্গ নির্দেশ করতে ব্যবহার করা হয়।

নামটি ইঙ্গিত হিসাবে, "subexponential" অর্থ তাত্পর্যমূলক চেয়ে ধীর । সূচকীয় আমরা সাধারণত ক্লাসে ফাংশন মানে , অথবা সুন্দর ক্লাসে (যা polynomials সঙ্গে রফা অধীনে বন্ধ করা হয়)। $2^{\Theta(n)}$ $2^{n^{\Theta(1)}}$

সুব এক্সপোনিশিয়ালগুলি এগুলির কাছাকাছি হলেও ছোট হওয়া উচিত। এটি করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে এবং এর কোনও মানক অর্থ নেই। দুটি সংজ্ঞাতে আমরা দ্বারা প্রতিস্থাপন করতে পারি এবং I এবং IV পেতে পারি। তাদের সম্পর্কে দুর্দান্ত জিনিসটি হ'ল তারা অভিন্নভাবে সংজ্ঞায়িত হয়েছে (qu এর চেয়ে বেশি পরিমাণ নেই )। আমরা প্রতিস্থাপন করতে পারেন একটি গুণনশীল সহগ সঙ্গে সবার জন্য , আমরা পেতে II ও ভি তাদের আমি ও চতুর্থ পাসে কিন্তু nonuniformly সংজ্ঞায়িত হয়। সর্বশেষ অপশনটি প্রতিস্থাপন করতে হয় একটি গুণনশীল ধ্রুবক সঙ্গে কিছু । এটি II এবং VI দেয়। $\Theta$ $o$ $\epsilon$ $\Theta$ $\epsilon$ $\epsilon>0$ $\Theta$ $\epsilon$ $\epsilon<1$

যাকে বলা উচিত সুবে এক্সপেনসিয়াল তা তর্কযোগ্য। সাধারণত লোকেরা তাদের কাজে তাদের যা প্রয়োজন তা ব্যবহার করে এবং এটিকে subexponential হিসাবে উল্লেখ করে।

আমি আমার ব্যক্তিগত পছন্দ, এটি একটি দুর্দান্ত শ্রেণি: এটি বহুবর্ষের সাথে রচনার অধীনে বন্ধ এবং এটি সমানভাবে সংজ্ঞায়িত। এটি অনুরূপ যা । $\mathsf{Exp}$ $2^{n^{O(1)}}$

দ্বিতীয়টি জটিলতা শ্রেণীর সংজ্ঞা হিসাবে ব্যবহৃত হয়েছে বলে মনে হয় । $\mathsf{SubExp}$

তৃতীয়টি পালের উত্তরে উল্লিখিত মতগুলি অ্যালগরিদমিক উচ্চ-সীমার জন্য ব্যবহার করা হয়।

চতুর্থটিও সাধারণ।

ভী eth অনুমান রাষ্ট্র করতে ব্যবহৃত হয়।

ছেদগুলি ( II এবং V ) অ্যালগোরিদমিক উপরের সীমানার জন্য তেমন কার্যকর নয়, তাদের প্রধান ব্যবহার বলে মনে হয় জটিলতা তত্ত্ব। অনুশীলনে, আপনি I এবং II এর মধ্যে বা IV এবং V এর মধ্যে কোনও পার্থক্য দেখতে পাবেন না । পরবর্তী তিনটি সংজ্ঞা ( চতুর্থ , ভি , ষষ্ঠ ) আইএমএইচও খুব সংবেদনশীল, তারা বিশেষ সমস্যাগুলির জন্য কার্যকর হতে পারে তবে তারা দৃust় নয় যা শ্রেণি হিসাবে তাদের কার্যকারিতা হ্রাস করে। দৃust়তা এবং চমৎকার ক্লোজার বৈশিষ্ট্যগুলি , , , মতো বিখ্যাত জটিলতা শ্রেণীর কারণগুলির একটি অংশ $\mathsf{L}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$ , এবং আকর্ষণীয়। $\mathsf{PSpace}$ $\mathsf{Exp}$

গ্রীষ্মের বৈশিষ্ট্যপূর্ণ

আইএমএইচও, প্রধান সংজ্ঞাগুলি হ'ল আমি এবং তৃতীয় । তৃতীয় অর্থে -সমস্যার সমস্যার জন্য ইতিমধ্যে আমাদের কাছে সাফ এক্সফোনশিয়াল অ্যালগরিদম রয়েছে এবং ইটিটি লঙ্ঘন না করে আমরা এগুলি আমার অর্থে পেতে পারি না। $\mathsf{NP}$

— Kaveh
সূত্র

7

এই উত্তরটি উইকিপিডিয়ায় যেতে হবে।

— এরেল সেগাল-হালেভি

32

$2^{O(\sqrt{n} \log n)}n^{O(1)}$ $2^{O(\sqrt{n})}n^{O(1)}$

প্রতিক্রিয়া তোরণ টুর্নামেন্টে সেট করুন [নোগা অ্যালন, ড্যানিয়েল লোকষ্টানভ, সাকেত সৌরভ, এএলপি ২০০৯]
সর্বনিম্ন পূরণ এবং চেইন সমাপ্তি [ফোমিন এবং গ্রামবাসী সোডা 2012]
স্পিলিট এজ মোছা [ঘোষ এট সোয়াট ২০১২]
$t$
প্রচুর দ্বি-মাত্রিক সমস্যা, সীমানা জেনাসের গ্রাফগুলিতে এবং বিশেষত পরিকল্পনাকারী গ্রাফগুলিতে বিভিন্ন গ্রাফ সমস্যা (দেখুন ডেমাইন, ফোমিন, হাজিয়াঘাই, থিলিকোস: সীমাবদ্ধ জেনাস এবং এইচ-মাইনর-মুক্ত গ্রাফের গ্রাফগুলিতে সুব্যাপোনসিয়াল প্যারামিটারাইজড অ্যালগরিদম )
প্ল্যানার গ্রাফগুলিতে স্টেইনার গাছের জন্য সুব এক্সপোনশিয়াল-টাইম প্যারামিটারাইজড অ্যালগরিদম [পাইপকজুক এবং আল স্ট্যাকস 2013]
তুচ্ছভাবে নিখুঁত সমাপ্তি, থ্রেশহোল্ড সমাপ্তি এবং সিউডোস্প্লিট সমাপ্তি [ডি। এবং আল স্ট্যাকস 2014]
বিরতি সমাপ্তি [ব্লিজনেটস এবং অন্যান্য]
যথাযথ বিরতি সমাপ্তি [ব্লিজনেটস এবং অন্যান্য]

— পল জিডি
সূত্র

1

দ্রষ্টব্য: এই আলগোরিদিম অর্থে subexponential সময় যে তারা চালানোর হয়

সময় (কিছু

), কিন্তু না এই অর্থে যে তারা সময় চালানো মধ্যে

2^{O (n^{ϵ})}

$2^{O(n^\epsilon)}$

ϵ < 1

$\epsilon<1$

2^{n^{o (1)}}

$2^{n^{o(1)}}$

এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার জন্য কি সুব্যাক্সিয়েন্সিভ-টাইম অ্যালগরিদম রয়েছে?

I. 2no(1)2এনণ(1)2^{n^{o(1)}}

২। , IE 2 হে ( ঢ ε ) জন্য সব 0 < ε⋂0<ϵ2O(nϵ)⋂0<ε2হে(এনε)\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}2O(nϵ)2হে(এনε)2^{O(n^\epsilon)} 0<ϵ0<ε0 < \epsilon

তৃতীয়। , অর্থাত্ 2 হে ( ঢ ε ) জন্য কিছু ε < 1⋃ϵ<12O(nϵ)⋃ε<12হে(এনε)\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}2ও ( এন)ε)2হে(এনε)2^{O(n^\epsilon)} ϵ < 1ε<1\epsilon < 1

চতুর্থ। 2ও ( এন )2ণ(এন)2^{o(n)}

ভি , অর্থাত্ 2 ε এন জন্য সব ε > 0⋂0 < ε2। n⋂0<ε2εএন\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}2। n2εএন2^{\epsilon n} ϵ > 0ε>0\epsilon>0

ষষ্ঠ। , অর্থাত্ 2 ε এন জন্য কিছু ε < 1⋃ϵ < 12। n⋃ε<12εএন\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}2। n2εএন2^{\epsilon n} ϵ < 1ε<1\epsilon<1

সুব এক্সফেনশিয়াল বলতে কী বোঝায়?

I. $2^{n^{o(1)}}$

২। , IE জন্য সব $\bigcap_{0 < \epsilon} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $0 < \epsilon$

তৃতীয়। , অর্থাত্ জন্য কিছু $\bigcup_{\epsilon < 1} 2^{O(n^\epsilon)}$ $2^{O(n^\epsilon)}$ $\epsilon < 1$

চতুর্থ। $2^{o(n)}$

ভি , অর্থাত্ জন্য সব $\bigcap_{0 < \epsilon}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon>0$

ষষ্ঠ। , অর্থাত্ জন্য কিছু $\bigcup_{\epsilon < 1}2^{\epsilon n}$ $2^{\epsilon n}$ $\epsilon<1$