দ্বিপক্ষীয় গ্রাফটিতে যে ন্যূনতম ভার্টেক্স মুছে ফেলা হচ্ছে তা এনপি-সম্পূর্ণ

Question

নিম্নলিখিত সমস্যাটি বিবেচনা করুন যার ইনপুট উদাহরণটি একটি সাধারণ গ্রাফ এবং প্রাকৃতিক পূর্ণসংখ্যার কে ।$G$$k$

এমন কোনও সেট যে জি - এস দ্বিপক্ষীয় এবং | এস | ≤ কে ?$S \subseteq V(G)$$G - S$$|S| \leq k$

আমি দেখাতে চাই যে এই সমস্যাটি 3-স্যাট, কে- সিলেকুই, কে- ডোমিনিটিং সেট বা কে- ভার্টেক্স কভারটি হ্রাস করে - কমপ্লিট।$\rm{NP}$$k$$k$$k$

আমি বিশ্বাস করি যে আমি এটিতে 3-রঙিং সমস্যা হ্রাস করতে পারি তাই কেবল উল্লিখিত সমস্যাগুলির মধ্যে এটি কীভাবে হ্রাস করতে হবে তা কেবল আমার দেখতে হবে। তবে যেহেতু এটি বরং অগোছালো হবে আমি ভাবছি যদি কেউ উল্লিখিত সমস্যাগুলিতে মার্জিত হ্রাস দেখেন।

এছাড়াও, এই সিদ্ধান্ত সমস্যার কোনও নাম আছে?

Comments

বিজোড় চক্র স্থানান্তর ।

— পল জিডি

এটি প্রতিক্রিয়া ভার্টেক্স সেট হিসাবে অনুরূপ বলে মনে হচ্ছে । এটি হ'ল ফলস্বরূপ গ্রাফটি অ্যাসাইক্লিক হয় এমনটি সরাতে আপনি শীর্ষস্থানগুলির সর্বনিম্ন উপসেট সন্ধান করতে চান। একটি অ্যাসাইক্লিক গ্রাফ সংজ্ঞা অনুসারে একটি গাছ (বা বন) যা দ্বিপক্ষীয়।

— নিকোলাস মানকুসো

@ নিকোলাস মানকুসো এটি এতটা মিল নয়। আমি সত্যিই এটি উপরে বলেছি, অড সাইকেল ট্রান্সভার্সাল সমস্যা। অথবা ভোর উল্লেখ করেছেন যে, 70 এবং 80 এর দশকে ইয়্নানাকাকিস দ্বারা বিপারটাইট নোড (বা ভার্টেক্স) মুছা বলা হত।

— পল জিডি

@ পলজিডি, আমি সম্মত আমি অনুভব করেছি যে সবচেয়ে সহজ হ্রাস এফভিএস থেকে হবে। তবে এটি অড সাইকেল ট্রান্সভার্সাল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে অপ্রয়োজনীয় করে তুলেছে।

— নিকোলাস মানকুসো

@ জার্নেজ: আপনি বলছেন "... আমি দেখাতে চাই যে এই সমস্যাটি এনপি - তে রয়েছে এটি হ্রাস করে 3-স্যাট, কে-ক্লাইক, ..." করুন। আপনার অর্থ কি "আমি বোঝাতে চাই যে এই সমস্যাটি 3-স্যাট, কে-ক্লিকিউ, ... থেকে হ্রাস ব্যবহার করে এনপি-হার্ড ?"? (সমস্যা কারণ পরীক্ষার গ্রাফ দ্বিপাক্ষিক রৈখিক সময় করা যাবে হলে দ্বারা NP মধ্যে স্পষ্ট হয়)

— মাস

Answer 1

আপনার সমস্যাটি নোড-মোছার সমস্যার নামে বিস্তৃত শ্রেণীর সমস্যার একটি বিশেষ কেস :

জেএম লুইস এবং এম। ইন্নাকাকিস, "বংশগত বৈশিষ্ট্যগুলির নোড-মোছার সমস্যা হ'ল এনপি-সম্পূর্ণ"

... গ্রাফ সমস্যার সংজ্ঞায়িত বর্গ নিম্নরূপ সঙ্গে এই কাগজ:
একটি নির্দিষ্ট গ্রাফ সম্পত্তি জন্য , নোড (অথবা ছেদচিহ্ন) যা একটি প্রদত্ত গ্রাফ থেকে মুছে ফেলা করা আবশ্যক ন্যূনতম সংখ্যা খুঁজে বের জি যাতে ফলাফলের সন্তুষ্ট Π । আমরা এই কল নোড-মুছে ফেলার সমস্যা জন্য Π । আমাদের ফলাফল প্রমাণ করে যে যদি Π একটি হল nontrivial সম্পত্তি যা বংশগত প্ররোচক subgraph উপর, তারপর জন্য নোড-মুছে ফেলার সমস্যা Π দ্বারা NP-কঠিন। তদ্ব্যতীত, আমরা যদি শর্তটি যুক্ত করি যে Π এর জন্য পরীক্ষা বহুবচনীয় সময়ে সম্পাদন করা যায়, তবে আমাদের ফলাফলগুলি বোঝায় যে নোড-মোছার সমস্যাটির জন্য$\Pi$$G$$\Pi$$\Pi$$\Pi$$\Pi$$\Pi$ এনপি-সম্পূর্ণ। ...$\Pi$

আপনার সমস্যা দ্বিপক্ষীয়তার জন্য নোড মোছার সমস্যা , তবে (পাল দ্বারা উল্লিখিত), এটি আজ ওড চক্র ট্রভারসাল (ওসিটি) সমস্যা হিসাবে পরিচিত ।

সম্পাদনা

প্রত্যক্ষ হ্রাসকে কী বলে, আমি এটি 3SAT থেকে ভেবেছিলাম।

ভেরিয়েবল এবং এম ক্লোজ সহ 3 এসএটি উদাহরণ দেওয়া হয়েছে , নিম্নলিখিত গ্রাফটি তৈরি করুন: দুটি নোড যুক্ত করুন x i , ¯ x $n$$m$$x_i, \overline{x_i}$ প্রতিটি ভেরিয়েবলের জন্য এবং তাদের মধ্যে একটি কিনারা করুন। সত্যের অ্যাসাইনমেন্টটি অনুকরণ করতে, প্রতিটি ভেরিয়েবল এক্স i এর জন্য নোড যুক্ত করুন এবং তাদের উভয়কে x i এবং ¯ x i এর সাথে সংযুক্ত করুন ; এই ভাবে, যাতে সর্বাধিক একটি দ্বিপাক্ষিক গ্রাফ মোছার করতে এন নোডের মধ্যে অন্তত এক, এক্স আমি এবং ¯ x আমি মুছে যাবে আবশ্যক। শেষ পর্যন্ত প্রতিটি অনুচ্ছেদের জন্য$n+1$$x_i$$x_i$$\overline{x_i}$$n$$x_i$$\overline{x_i}$ 4 টি নোড যুক্ত করুন এবং একটি বিজোড় চক্র তৈরি করুন যা সি জেতে ভেরিয়েবলগুলিকে সংযুক্ত করে।$C_j$$C_j$

ফলস্বরূপ গ্রাফ কেবলমাত্র মূল 3 এসএটি সূত্রটি সন্তুষ্টযোগ্য হলে এবং বেশিরভাগ এন নোডে দ্বিপক্ষীয় মুছে ফেলা যায় ।$G$$n$

Comments

এটি সত্যই প্রশ্নের উত্তরটির উত্তর নয়। ওপি প্রদত্ত সমস্যাটি ব্যবহার করে স্পষ্টভাবে হ্রাস করতে চায়। তদতিরিক্ত, সমস্যাটি আজ অড সাইকেল ট্রান্সভার্সাল নামে পরিচিত।

— পল জিডি

@ পেলজিডি: আপনি ঠিক বলেছেন।

— ভোর

হ্যাঁ, তবে আমি ওপি-র সমস্যার তালিকা থেকে তাত্ক্ষণিকভাবে হ্রাস দেখতে পাচ্ছি না, যদিও ... ইন্নাকাকিসের দ্বারা আপনি কেবলমাত্র তাঁরই উল্লেখ করেছেন one

— পল জিডি

@ পলজিডি: আমি অন্য হ্রাস সম্পর্কে চিন্তা করব, তবে সত্য বলতে আমি ওপি ঠিক কী চায় তা সম্পর্কে নিশ্চিত নই (উপরে আমার মন্তব্য দেখুন)।

— ভোর

@ অথবা আমি যা চাই তা হ'ল উল্লিখিত সমস্যাগুলির মধ্যে একটি থেকে সাধারণ হ্রাস দেখা। এই নিবন্ধটি আমার জানা তবে আমি বরং সবচেয়ে সরাসরি হ্রাস খুঁজছি।

— জের্নেজ