প্যারিটি-এল থেকে সিএনওটি সার্কিটগুলিতে লগ-স্পেস হ্রাস?

প্রশ্ন।

স্ট্যাবিলাইজার সার্কিটগুলির উন্নত সিমুলেশন তাদের কাগজে , অ্যারনসন এবং গোটসম্যান দাবি করেছেন যে একটি সিএনটি সার্কিটের অনুকরণটি হ'ল- কমপ্লিট ( লগস্পেস হ্রাসের আওতায়)। এটা পরিষ্কার যে এটি inL এর মধ্যে রয়েছে ; কঠোরতার ফলাফল কীভাবে ধরে?

সমতুল্য: পুনরুক্ত ম্যাট্রিক্স পণ্যগুলির মডুলো 2 থেকে প্রাথমিক ম্যাট্রিক্সের পুনরাবৃত্ত পণ্যগুলিতে (স্রোতে রূপান্তরগুলি অনুধাবনকারী অবলম্বনীয় ম্যাট্রিক্স) কোনও লগস্পেস হ্রাস আছে?

বিস্তারিত

একটি নিয়ন্ত্রিত-নয় (বা সিএনওটি ) অপারেশন হ'ল ফর্মের একটি বিপরীত বুলিয়ান অপারেশন যেখানে কেবলj^তমবিট পরিবর্তিত হয় এবং যে বিটটিকোনওhএবংj এরজন্য পৃথক অবস্থানের জন্য Modulo 2যোগ করে পরিবর্তন করা হয়। এটি দেখতে শক্ত হয় না, যদি আমরা ব্যাখ্যা করি

{C N O T}_{h, j} (x_{1}, \dots, x_{h}, \dots, x_{j}, \dots, x_{n}) = (x_{1}, \dots, x_{h}, \dots, x_{j} \oplus x_{h}, \dots, x_{n})

$\mathsf{CNOT}_{\!h,j} (x_1\,, \;\ldots\;, x_h\,,\; \ldots\;, x_j\,, \;\ldots\;, x_n) \;\;=\;\; (x_1\,, \;\ldots\;, x_h\,,\; \ldots\;, x_j \oplus x_h\,, \;\ldots\;, x_n)$

x_{h}

$x_h$

ℤ / 2ℤ এর উপরে ভেক্টর হিসাবে, এটি একটি প্রাথমিক সারির রূপান্তর মডুলো 2 এর সাথে মিলে যায়, যা আমরা ম্যাট্রিক্স দ্বারা 1s সহ একটি ত্রিভুজ এবং একক অফ-তিরিক অবস্থানের সাথে প্রতিনিধিত্ব করতে পারি। একজনCNOT বর্তনীতারপর একটি ম্যাট্রিক্স এই ধরনের কিছু প্রাথমিক ম্যাট্রিক্সের একটি পণ্য গঠিত পণ্য।

x = (x_{1}, \dots, x_{n})

$\mathbf x = (x_1\,, \;\ldots\;, x_n)$

অ্যারোনসন এবং গোটেসম্যানের উপরের উল্লিখিত গবেষণাপত্রে (যা অত্যন্ত ঘটনাক্রমে এই প্রশ্নের কাছে, কোয়ান্টাম সার্কিটগুলির একটি শ্রেণীর সম্পর্কে যা inL তে অনুকরণ করা যায় ) গণনা জটিলতার একটি বিভাগ রয়েছে। এই বিভাগের শুরুতে, তারা নীচে ⊕L বর্ণনা করে:

[ এল [হ'ল) এমন সমস্ত সমস্যার শ্রেণি যা একটি অ-নিরপেক্ষবাদী লগারিদমিক-স্পেস ট্যুরিং মেশিনের দ্বারা সমাধানযোগ্য, যা গ্রহণযোগ্য পাথের মোট সংখ্যা বিজোড় হলে এবং যদি তা গ্রহণ করে। তবে এমন একটি বিকল্প ডিএনশন রয়েছে যা সম্ভবত কম্পিউটার-নন-বিজ্ঞানীদের কাছে আরও স্বজ্ঞাত। এটি হ'ল problemsL এমন এক শ্রেণীর সমস্যা যা বহু-আকারের সিএনওটি সার্কিটের সিমুলেট করতে হ্রাস করে, অর্থাত্ প্রাথমিকভাবে | 0 ... 0⟩ এ অভিনয় করে নোট এবং সিএনওটি গেট দিয়ে সম্পূর্ণরূপে গঠিত একটি সার্কিট⟩ (এটি সহজেই দেখানো যায় যে দুটি ডিঅনিশন সমান, তবে আমাদের সাধারণ দেওয়ানীটির অর্থ কী তা বোঝাতে আমাদের প্রথম প্রয়োজন!)

নিবন্ধটির লক্ষ্যবস্তু দর্শকদের মধ্যে প্রচুর পরিমাণে কম্পিউটার-বিজ্ঞানীদের অন্তর্ভুক্ত ছিল, তাই এলিডদের ইচ্ছাটি অযৌক্তিক নয়; আমি আশা করছি যে কেউ এই সমতা কীভাবে ধরেছে তা স্পষ্ট করে বলতে পারে।

স্পষ্টতই, এই জাতীয় মেট্রিকের একটি পণ্য সিমুলেট করা iteL এ পুনরাবৃত্ত ম্যাট্রিক্স পণ্যগুলির (মড 2) সহগের মূল্যায়নের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে হিসাবে সম্পাদন করা যেতে পারে , যা ⊕L এর জন্য একটি সম্পূর্ণ সমস্যা ( লগস্পেস হ্রাসের আওতায়) । তদ্ব্যতীত, সিএনওটি ম্যাট্রিকগুলি কেবল প্রাথমিক সারি অপারেশনগুলি সম্পাদন করে, কোনও ইনভারটিয়েবল ম্যাট্রিক্স সিএনওটি ম্যাট্রিক্সের পণ্য হিসাবে পচে যেতে পারে। তবে: এটি কিভাবে লগস্পেস হ্রাস দ্বারা সিএনওটি ম্যাট্রিক্সের একটি প্রোডাক্টের মধ্যে একটি বিবর্তনযোগ্য ম্যাট্রিক্স মড 2 কে পচে যায় তা আমার কাছে পরিষ্কার নয় । (প্রকৃতপক্ষে, মন্তব্যগুলিতে এমিল জেবেকের দ্বারা উল্লিখিত হিসাবে, গাউসিয়ান নির্মূলকরণ গণনা নির্ধারণকারী মোড 2 এর পক্ষে যথেষ্ট, যা একটি -L- অসম্পূর্ণ সমস্যা: সুতরাং পচে যাওয়া যেমন সরাসরি আক্রমণ প্রাথমিক ম্যাট্রিকের পণ্য হিসাবে বিভাজ্য ম্যাট্রিকগুলি L = ⊕L না হলে লগস্পেসে সম্ভবপর বলে মনে হয় না ) সুতরাং কিছু চালক হ্রাস প্রয়োজন বলে মনে হচ্ছে।

আমি আশা করি যে কেউ এই হ্রাসের স্কেচ বা একটি রেফারেন্স সরবরাহ করতে পারে ( উদাহরণস্বরূপ এমন পাঠ্য যার জন্য এটি অনুশীলন, যদি এটি সহজ হয়)।

— নীল দে বৌদ্রাপ
সূত্র

আমি মনে করি যে কম্পিউটিং নির্ধারণকারী মড

-ও সম্পূর্ণ-সম্পূর্ণ, সুতরাং গাউসিয়ান নির্মূলকরণ মোড

এল-হার্ড।

2

$2$

2

$2$

— এমিল জেবেক

@ এমিলজেবেক: আমি আপনার মন্তব্যের কথা ভাবছি, এবং আমি দেখার চেষ্টা করছি যে এটি অবিলম্বে বোঝাচ্ছে যে সিএনটি সার্কিটগুলি এল = ulating ল না করে সিমুলেট করা ⊕L এর জন্য সম্পূর্ণ নয় । (একটি ম্যাট্রিক্সের একটি পণ্য, বা পরিচয় ম্যাট্রিক্স সহ একটি একক ম্যাট্রিক্সের পণ্য বিবেচনা করুন!) এটি প্রায় খুব সহজ বলে মনে হচ্ছে; আমি কিছু অনুপস্থিত করছি? আমি মনে করি সম্ভবত এটি একাধিক-এক-হ্রাসকেই বাতিল করেছে।

— নিল দে বিউড্রাপ

আমি মনে করি না যে এটি এত সহজ। L সিদ্ধান্ত সমস্যাগুলির একটি শ্রেণি, অন্যদিকে F_2 এর উপর ম্যাট্রিক্সের গুণটি একটি ফাংশন সমস্যা। ম্যাট্রিক্স গুণনের versionL সংস্করণটি ফলাফলের একটি নির্দিষ্ট বিটের জন্য জিজ্ঞাসা করা হয় (বলুন, ম্যাট্রিক্সের উপরের বাম প্রবেশ)। লগস্পেসের একটি অ্যালগরিদম থাকতে পারে যা ম্যাট্রিক্সের ক্রম নেয় এবং প্রাথমিক ম্যাট্রিকের ক্রম উত্পাদন করে যাতে উভয় অনুক্রমের পণ্যগুলির একই বাম উপাদান একই থাকে? এটি সত্য গাউসিয়ান নির্মূলের চেয়ে অনেক দুর্বল। আসলে, অ্যারনসন এবং গটসম্যান দাবি করেছেন আমার কাছে এটি প্রশংসনীয়, যদিও আমি কীভাবে এটি প্রমাণ করতে পারি তা নিশ্চিত নই।

— এমিল জেবেক মনিকা 24 ই

@ এমিলজেবেক: আমি কীভাবে বেশিরভাগ এল-এর সিদ্ধান্তগত সমস্যাগুলি ডিইটি-র প্রাকৃতিক বিষয়গুলির স্বতন্ত্র গুণাগুণগুলি যাচাইয়ের ভিত্তিতে করা হয় তা সম্পর্কে চিন্তাভাবনা করছি (ফাংশন সমস্যাগুলি comL- অসম্পূর্ণ বলে মনে করা সাধারণ , তবে এটির অপব্যবহার পরিভাষা যা হয়); এবং ম্যাট্রিক্স পণ্যগুলির জন্য আমার স্বীকৃতিটি হ'ল যথেষ্ট জটিল যে কোনও একক সহগের জন্য অ্যাড-হক ব্যবস্থা করা দুষ্কর , যে দুটি গুণমানের পণ্যগুলি সেই গুণকের জন্য এমনভাবে করা উচিত যাতে আপনি মোটামুটি নিশ্চিত হতে পারবেন না অন্যান্য সহগরের সমস্ত এটির সাথেও একমত হবে।

— নিল ডি বৌদ্রাপ

আমি এটি পেয়েছি: লগস্পেস মেশিনের গ্রহণযোগ্য পাথ গণনা একটি অ্যাসাইক্লিক গ্রাফে পাথ গণনা করার সমান , যা তির্যকটিতে 1 দিয়ে উপরের ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিকের গুণ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। দ্বিতীয়টি গৌসিয়ান নির্মূল না করে সুস্পষ্ট উপায়ে প্রাথমিক ম্যাট্রিক্সের পণ্য হিসাবে সহজেই প্রকাশ করা যেতে পারে।

— এমিল জেবেক মনিকা 24 ই

আসুন আমরা একটি নির্দেশক গ্রাফ মধ্যে ভার্টেক্স থেকে ভার্টেক্স পর্যন্ত দৈর্ঘ্যের এর দৈর্ঘ্যের পাথের সংখ্যা গণনা করার অসম্পূর্ণ সমস্যাটি দিয়ে শুরু করি । আমরা নিম্নলিখিত হিসাবে কয়েকটা লগস্পেস হ্রাস প্রয়োগ করি। $\oplus L$ $2$ $n$ $s$ $t$ $G=(V,E)$

যাক গ্রাফ যেমন যে হতে এবং $G'=(V',E')$ $V'=V\times\{0,\dots,n\}$ (অর্থাত্, আমরা শীর্ষাংশের কপিনিয়েছি, প্রান্তগুলি এর প্রান্তঅনুসারে ম অনুলিপি থেকে তমঅনুলিপিগুলিতেযেতে, এবং সমস্ত স্ব-লুপ যুক্ত করুন)। তারপর মূল সমস্যা দৈর্ঘ্য বেড়ে চলেছে পাথ সমতূল্য থেকে থেকে $E'=\{((u,i),(v,i+1):i<n,(u,v)\in E\}\cup\{(w,w):w\in V'\}$ $n+1$ $G$ $i$ $(i+1)$ $G$ $n$ $s'=(s,0)$ $t'=(t,n)$ মধ্যে । $G'$

অধিকন্তু, acyclic, এবং আমরা স্পষ্টভাবে একটি শুমার বর্ণনা করতে পারেন সমস্ত প্রান্ত যেমন যে পৃথক্ স্ব-লুপ থেকে যেতে করার কিছু । সাধারণত্ব ক্ষতি, ছাড়া এবং । যাক এর সন্নিহিত অবস্থা ম্যাট্রিক্স হতে $G'$ $V'=\{w_k:k\le m\}$ $G'$ $w_k$ $w_l$ $k<l$ $w_0=s'$ $w_m=t'$ $M$ $G'$ প্রদত্ত গণনা আঁকুন। তারপর সঙ্গে একটি ঊর্ধ্ব ত্রিদলীয় পূর্ণসংখ্যা ম্যাট্রিক্স হয় তির্যক, এবং দৈর্ঘ্য পাথ সংখ্যা থেকে করার সমান উপরের ডান উপাদান । $M$ $1$ $n$ $s'$ $t'$ $M^n$

এটি দেখতে যে সহজ যেখানে প্রাথমিক ম্যাট্রিক্স যার শুধুমাত্র nondiagonal এন্ট্রি হয় মধ্যে সারি এবং কলাম । এইভাবে, আমরা প্রাথমিক ম্যাট্রিক্সের একটি পণ্যটির শীর্ষ ডান উপাদানকে কম্পিউটিংয়ে আসল সমস্যাটি হ্রাস করেছি। ইন

M = \prod_{j = m}^{1} \prod_{i = 0}^{j - 1} E_{i, j} (M_{i, j}),

$M=\prod_{j=m}^1\prod_{i=0}^{j-1}E_{i,j}(M_{i,j}),$

E_{i, j} (a)

$E_{i,j}(a)$

a

$a$

i

$i$

j

$j$

\oplus L

$\oplus L$ কেস, গণনাটি মডুলো

, অর্থাত্, আমরা

ম্যাট্রিকগুলি বিবেচনা করি । (এই ক্ষেত্রে, প্রাথমিক ম্যাট্রিকগুলি কেবল

, যা আমরা উপেক্ষা করতে পারি এবং

, যা একক সিএনওটি গেট দ্বারা সিমুলেটেড করা যেতে পারে, যেমন প্রশ্নে উল্লিখিত হয়েছে) ।) আমরা যদি তাদের পূর্ণসংখ্যার ম্যাট্রিক হিসাবে বিবেচনা করি তবে আমরা একটি

কমপ্লিট সমস্যা পাই এবং যদি আমরা সেগুলিকে মডুলো

বিবেচনা করি তবে আমরা একটি

অসম্পূর্ণ সমস্যা পাই।

2

$2$

F_{2}

$\mathbb F_2$

E_{i, j} (0) = I

$E_{i,j}(0)=I$

E_{i, j} (1)

$E_{i,j}(1)$

# L

$\#L$

k

$k$

{M o d}_{k} L

$\mathrm{Mod}_kL$

— Emil Jeřábek supports Monica
সূত্র

আমি বলতে চাইছি

# L

$\#L$ সঙ্গে প্রাথমিক ম্যাট্রিক্স জন্য -complete নন-নেগেটিভ পূর্ণসংখ্যা কোফিসিয়েন্টস। যথেচ্ছ পূর্ণসংখ্যার সাথে এটি ডিইটি-সম্পূর্ণ।

— এমিল জেবেক

The following is probably standard, but I hadn't explicitly seen it before: to show that finding the number of paths of length precisely n in a (possibly cyclic) digraph is ⊕L-complete, note that this amounts to computing coefficients of some power of an arbitrary matrix over

F_{2}

$\mathbb F_2$ , which is ⊕L-complete. This answer is then essentially as a reduction from matrix powering (using a standard construction of M as a block matrix consisting only of copies of the arbitrary adjacency matrix of G in the upper off-diagonal blocks, and 1 on the diagonal) to CNOT circuits. Nice answer!

— Niel de Beaudrap

You don’t need to go through matrix powering, whose ⊕L-completeness is harder to prove. ⊕L is defined by counting mod 2 the accepting paths of a nondeterministic logspace Turing machine (with polynomial time clock, I presume, so that the number is guaranteed to be finite), which is the same as counting paths in the configuration graph of the machine (it is easy to arrange that the paths all end in the same configuration, and that the paths have the same length, by making the machine go into a loop until its clock expires and then enter a fixed accepting state).

— Emil Jeřábek supports Monica

I suppose that from focusing on the ideas in the paper Stucture and importance of Logspace-MOD classes by Buntrock et al., I've become much more accustomed to thinking in terms of number of paths of arbitrary length in an acyclic digraph, and the DET-like problems such as matrix products and powers which are naturally connected to it.

— Niel de Beaudrap