হাইপারগ্রাফের নিকটতম অনুকূল প্রান্ত-বর্ণের জন্য দক্ষ অ্যালগরিদম

Question

গ্রাফ রঙ করার সমস্যাগুলি ইতিমধ্যে বেশিরভাগ মানুষের পক্ষে যথেষ্ট শক্ত । তবুও, আমি মুশকিল হতে চলেছি এবং হাইপারগ্রাফ রঙ করার বিষয়ে একটি সমস্যা জিজ্ঞাসা করব।

প্রশ্ন।

কে-ইউনিফর্ম হাইপারগ্রাফের জন্য প্রায় অনুকূল প্রান্ত-বর্ণের সন্ধানের জন্য দক্ষ দক্ষ অ্যালগরিদমগুলি কী আছে?

বিশদ ---

• কে-ইউনিফর্মের হাইপারগ্রাফ এমন একটি যা প্রতিটি প্রান্তে ঠিক k সমুদ্র কোণ থাকে; সাধারণ গ্রাফের স্বাভাবিক ক্ষেত্রে কে = 2। আরো সঠিকভাবে, আমি আগ্রহী লেবেল K-অভিন্ন hypergraphs, যা দুই প্রান্ত আসলে একই প্রান্তবিন্দু সেট থাকতে পারে; তবে আমি কে-নিয়মিত হাইপারগ্রাফের জন্য কিছু স্থির করবো যার প্রান্তগুলি ছেদ করছে কে − 1 টির চেয়ে বেশি at

• হাইপারগ্রাফগুলির একটি প্রান্ত-বর্ণ একটি হ'ল গ্রাফের ক্ষেত্রে একই রঙের প্রান্তগুলি ছেদ করে না। ক্রোম্যাটিক ইনডেক্স χ '(এইচ) হ'ল যথারীতি প্রয়োজনীয় নূন্যতম সংখ্যার রঙ।

• আমি ডিটারমিনিস্টিক বা এলোমেলোভাবে বহুভুজ সময়ের অ্যালগরিদমের ফলাফল চাই।

• দক্ষতার সাথে কী খুঁজে পাওয়া যায় তার মধ্যে আমি সর্বাধিক পরিচিত সান্নিধ্য-গুণক / যুক্ত-ব্যবধানের সন্ধান করছি এবং প্রকৃত ক্রোম্যাটিক সূচক χ '(এইচ) --- বা এই বিষয়টির জন্য, পরামিতিগুলির ক্ষেত্রে সর্বোত্তম দক্ষতা অর্জনযোগ্য ফলাফল যেমন সর্বাধিক ভারটেক্স ডিগ্রি Δ (এইচ), হাইপারগ্রাফের আকার ইত্যাদি

সম্পাদনা: নিচের hypergraph duals সম্পর্কে সুরেশ মন্তব্যের দ্বারা প্রণোদিত করা হয়, আমি মনে রাখতে হবে এই সমস্যা একটি খুঁজে বের করার সমস্যা সমতূল্য শোভা শক্তিশালী প্রান্তবিন্দু একটি এর K-নিয়মিত hypergraph: যে যেখানে প্রতিটি প্রান্তবিন্দু স্বতন্ত্র প্রান্ত [কিন্তু প্রান্ত k জন্যে এখন বিভাজনের পৃথক সংখ্যক থাকতে পারে], এবং আমরা এমন একটি ভার্টেক্স রঙ করতে চাই যে কোনও দুটি সংলগ্ন শীর্ষে আলাদা আলাদা রঙ থাকে। এই সংস্কারটিরও সুস্পষ্ট সমাধান বলে মনে হয় না।

মন্তব্য

গ্রাফের ক্ষেত্রে ভাইজিংয়ের উপপাদ্য কেবল গ্যারান্টি দেয় না যে কোনও গ্রাফের জন্য প্রান্ত-ক্রোমাটিক সংখ্যা হয় Δ (জি) বা Δ (জি) +1, এর মানক প্রমাণগুলিও Δ (জি) সন্ধানের জন্য একটি কার্যকর অ্যালগরিদম দেয় ) + 1 টি-এজ-ভাব। আমি কে = 2 ক্ষেত্রে আগ্রহী হলে এই ফলাফলটি আমার পক্ষে যথেষ্ট ভাল হবে; তবে আমি বিশেষত কে> 2 স্বেচ্ছাসেবীর প্রতি আগ্রহী।

হাইপারগ্রাফ-এজ-কালারিংয়ের সীমানা সম্পর্কে কোনও সুপরিচিত ফলাফল বলে মনে হয় না, যতক্ষণ না আপনি প্রতিটি প্রান্তকে ছেদ করে সর্বাধিক টি টির শীর্ষে ছেদ করার মতো সীমাবদ্ধতা যুক্ত করেন। তবে আমার নিজের χ '(এইচ) এর সীমাবদ্ধতার দরকার নেই; ঠিক একটি অ্যালগরিদম যা "যথেষ্ট ভাল" প্রান্ত-বর্ণের সন্ধান করবে। [আমি কে-ইউনিফর্ম হওয়া ছাড়াও আমার হাইপারগ্রাফগুলিতে কোনও বিধিনিষেধ রাখতে চাই না, এবং সম্ভবত সর্বাধিক ভার্টেক্স-ডিগ্রির উপরও আবদ্ধ থাকি, যেমন f (এইচ) ≤ চ (কে) কিছু f ∈ ω (1) এর জন্য ।]

[ সংযোজন আমি এখন ম্যাথওভারলোতে ক্রোমাটিক সংখ্যার সীমানা, গঠনমূলক বা অন্য কোনও বিষয়ে সম্পর্কিত প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করেছি ]

Comments

দেখে মনে হয় এই সমস্যাটিকে কখনও কখনও হাইপারগ্রাফ প্যাকিং বলা হয় । নিম্নলিখিত পৃষ্ঠায় সাহায্য করে? en.wikedia.org/wiki/Packing_in_a_hypergraph

— Tsuyoshi Ito

আমি ভীত যে পূর্বের মন্তব্যে যে উইকিপিডিয়া নিবন্ধটি সংযুক্ত করেছি সেগুলি বিষয় সম্পর্কে জানার জন্য ভাল উপাদান হতে পারে না; পরিভাষা বিভ্রান্তিকর, একই ধারণাটি স্পষ্টতই একাধিকবার সংজ্ঞায়িত হয়েছে, এবং আরও অনেক কিছু। আমি আশা করি যে কেউ আরও ভাল উপাদান জানেন।

— Tsuyoshi Ito

প্রশ্নকর্তা সম্প্রতি ম্যাথওভারফ্লোতে একটি ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত প্রশ্ন পোস্ট করেছেন: mathoverflow.net/questions/38853/… । @ নিল দে বিউড্রাপ: পরের বার আপনি কোনও প্রশ্ন অন্য জায়গায় পোস্ট করুন, দয়া করে উভয় দিকের লিঙ্ক যুক্ত করুন।

— Tsuyoshi Ito

@ শুয়ূশি: আমার সমস্যার প্রতি আপনার অবিচ্ছিন্ন আগ্রহের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আমি এখান থেকে এমও- তে লিঙ্কটি যুক্ত করিনি কারণ বিষয়টির প্রতি আগ্রহটি মূলত এখানেই মারা গেছে বলে মনে হয়েছিল, আমি যা সন্তোষজনক উত্তর বলে বিবেচনা করব তাতে খুব বেশি অগ্রগতি না করেই। এটা আমার কাছে সুস্পষ্ট কেন আপনি মনে করেন এটা গুরুত্বপূর্ণ যে, আমি লিঙ্ক নয় - (এবং অগ্রাধিকার সহজে যখন এটি জিজ্ঞাসা করা হল দিকে তাকিয়ে স্থাপন করা যেতে পারে যাই হোক, আমি ফিরে এমও প্রশ্নে এই প্রশ্নের সাথে যুক্ত।) পরস্পরে আগে, এখানে সম্ভাব্য উত্তরগুলি জানাতে এমও-তে প্রশ্নের যে কোনও উত্তর রয়েছে; আপনি যেহেতু জিজ্ঞাসা করছেন, আমি তাই করব।

— নিল দে বিউড্রাপ

আমি এখানে ম্যাথওভারফ্লো পোস্ট থেকে আমার 2 সেন্ট অনুবাদ করব ... সর্বোচ্চ ডিগ্রি- এবং সর্বাধিক প্রান্তের আকারের হাইপারগ্রাফের জন্য সেরা সম্ভাব্য ক্রোমাটিক সংখ্যাটি হ'ল , এটি এখন আর্কসিভের একটি পাণ্ডুলিপিতে প্রদর্শিত হবে .org / ABS / 1009.6144Θ ( Δ ∗ r $\Delta$$\Theta(\Delta * r)$

— daveagp

Answer 1

নীচের উত্তরটি আপনার শর্ত ভঙ্গ করে যে আপনি আপনার হাইপারগ্রাফের উপরে গুরুতর বাধা রাখতে চান না, তবে এটি কেবল আগ্রহ সম্পর্কিত হতে পারে যদি সম্পর্কিত সম্পর্কিত কাজ হয়।

আপনার হাইপারগ্রাফ (যা আমি একটি রেঞ্জ স্পেস হিসাবে নামকরণ করব) এর দ্বার এবং প্রান্তগুলির ভূমিকা পাল্টে একই ডুয়াল রেঞ্জ স্পেস (হাইপারগ্রাফ) রয়েছে। আপনার সমস্যা তারপর যাতে cardinality একটি সীমার এই পরিসীমা স্থান উপাদান শোভা পরিমাণ হয়েছে রং। আসুন এমন পরিসরকে বর্ণিল বলি।$r$$r$

জ্যামিতিক পরিসীমা জায়গাগুলির জন্য এমন "রঙিন রঙিন" সমস্যাগুলির বিষয়ে সাম্প্রতিক কিছু কাজ হয়েছে, যা সেন্সর নেটওয়ার্কগুলিতে সমস্যা দ্বারা আংশিকভাবে অনুপ্রাণিত হয়েছিল। একটি স্ট্যান্ডার্ড প্রশ্ন যা জিজ্ঞাসা করা হয়:

একটি প্যারামিটার দেওয়া এবং পরিসীমা স্থান , ফাংশন নির্ধারণ এই ধরনের একটি এস গ্যারান্টী উপাদানের শোভা প্রতিটি ব্যাপ্তি এর হয়েছে রং।$k$$S$$c_S(k)$$c_S(k)$$r$$S$$\min(|r|, k)$

সুতরাং, এমন পরিমাণ যা আপনি সন্ধান করছেন (যেখানে একটি ব্যাপ্তির সর্বাধিক কার্ডিনালিটি$c_S(\Delta)$$\Delta$

সম্পর্কিত প্রশ্ন হল , যেখানে the দ্বৈত পরিসীমা স্থান (কার্যত, আপনার মূল হাইপারগ্রাফ)। প্রাপ্ত ফলাফলগুলির একটি উদাহরণ হ'ল :$c_\tilde{S}(k)$$\tilde{S}$

জন্য এ halfplanes স্থান হচ্ছে ,$S$$\Re^2$$c_S(k) \le 3k-2$

কাজের এই বডিটির জন্য একটি ভাল রেফারেন্স হ'ল আলুপসিস এট আল- এর DCG কাগজ এবং এর উল্লেখগুলি।