ট্রিউইথ এবং প্যাকিং

Question

আমার প্রশ্নটি কিছুটা অস্পষ্ট। আমি ভাবছিলাম যে (এবং কীভাবে), আমরা গ্রাফিকগুলিতে প্যাকিংয়ের সমস্যাগুলিতে গাছের প্রস্থের ধারণাটি প্রয়োগ করতে পারি।

আমি এ সম্পর্কে বিগত গবেষণা কাজের কোনও অন্তর্দৃষ্টি বা রেফারেন্সের সাথে খুশি হব (তাদের কিছু সম্পর্ক মনে করে)। ধন্যবাদ।

Answer 1

আমি এই প্রশ্নটি দুটি ভিন্ন উপায়ে ব্যাখ্যা করতে পারি:

1) এটা বেষ্টিত treewidth এর গ্রাফ সমস্যা প্যাকিং এর আলগোরিদিমিক বৈশিষ্ট্য আসে, Courcelle এর উপপাদ্য শো যে প্রতি সংশোধন করা হয়েছে জন্য আমরা সন্তোষজনক ভাবে সমস্যার সমাধান করতে পারে সর্বাধিক treewidth এর গ্রাফ উপর রৈখিক সময় কীটাণুজাতীয় দ্বিতীয় ক্রম লজিক মধ্যে ব্যক্ত করা যায় এমন (দেখুন উদাহরণস্বরূপ http://dx.doi.org/10.1093/comjnl/bxm037$k$$k$সীমানা-গাছপালার গ্রাফগুলির অ্যালগরিদমিক বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য সমীক্ষার জন্য)। এমএসএল-তে যেমন অনেকগুলি প্যাকিংয়ের সমস্যা তৈরি করা যায়, এগুলি যেমন বেঁধে গাছের প্রস্থের গ্রাফগুলিতে স্বতন্ত্র সেট, ত্রিভুজ প্যাকিং, সাইকেল প্যাকিং, প্যাকিং ভার্টেক্স / প্রান্তটি কোনও নির্দিষ্ট গ্রাফের অনুলিপি প্রতিলিপিগুলি, প্যাকিং ভার্টেক্স-বিচ্ছিন্ন গৌণ মডেলগুলি সহ এ জাতীয় অনেক সমস্যার ট্র্যাক্টিবিলিটি প্রমাণ করে including কিছু নির্দিষ্ট গ্রাফ এইচ, এবং। তবে এই ট্র্যাক্টিবিলিটি সমস্ত এমএসএল-নির্দিষ্ট সমস্যাগুলিতে প্রসারিত হওয়ায় এটি প্যাকিংয়ের জন্য নির্দিষ্ট নয়।

2) প্যাকিং এবং ট্রিউইথের মধ্যে যখন গ্রাফ-কাঠামোগত সম্পর্কের বিষয়টি আসে তখন নীচেরগুলি আগ্রহী হতে পারে। রবার্টসন এবং সিমুরের কাজের জন্য এটি জানা যায় যে a এমন একটি ফাংশন রয়েছে যা গাছের প্রস্থের প্রতিটি গ্রাফে কমপক্ষে একটি গ্রিড থাকে অপ্রাপ্তবয়স্ক হিসাবে ( সিমুর এবং রবার্টসনের দেওয়া এর মূল সীমাটি পরে থমাসের সহযোগিতায় উন্নত হয়েছিল; দেখুন বর্তমানের সেরা বাউন্ডের জন্য http: //www.sज्ञानdirect.com/sज्ञान/article/pii/S0095895684710732 )। আপনার আছে তাই যদি কোন কাঠামো যেমন যে অনেক কপি একটি মধ্যে বস্তাবন্দী করা যাবে$f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$f(r)$$r \times r$$f$$S$$S$$r \times r$গ্রিড অপ্রাপ্তবয়স্ক, তারপরে আপনি জানেন যে বড় গাছের প্রস্থের যে কোনও গ্রাফে এর অনুলিপিগুলির একটি বৃহত প্যাকিং রয়েছে । উদাহরণস্বরূপ, একটি গ্রিড হিসাবে (এমনকি ) ভার্টেক্স-বিচ্ছিন্ন চক্র রয়েছে, এটি অনুসরণ করে যে গাছের প্রস্থের গ্রাফটিতে কমপক্ষে বিচ্ছিন্নতা থাকে চক্র।$S$$r \times r$$r$$(r/2)^2$$f(r)$$(r/2)^2$

Comments

বার্ট হতে পারে এটি অপ্রাসঙ্গিক, তবে আপনি গ্রাফটি পুনর্গঠন এবং তাদের গাছের প্রস্থের মধ্যে কোনও সম্পর্ক দেখতে পাচ্ছেন? এছাড়াও আপনার প্রোফেস পেপারের বিনামূল্যে সংস্করণটির লিঙ্ক আছে? (চালু বেষ্টিত Treewidth গ্রাফ সংযুক্তিকরণ অপ্টিমাইজেশান)

— সাঈদ

গাছের প্রস্থের কাগজটি সিটিসিয়ার সিটিসিয়ার্স.আইস.পি.এসইউ / ভিউডোক / সুমারী ? doi = 10.1.1.107.2561 এ পাওয়া যায় । গ্রাফ পুনর্গঠন হিসাবে: আপনি যে প্রক্রিয়াটি বোঝাচ্ছেন, সমস্ত অনুচ্ছেদের মাল্টিসিট দেওয়া যা একটি একক শীর্ষ মোড়কে মুছে ফেলার মাধ্যমে প্রাপ্ত, আপনি মূল গ্রাফটি পুনর্গঠন করতে চান? মনে হচ্ছে শিব কিন্তালি সম্প্রতি গাছের প্রস্থের জন্য গ্রাফ পুনর্নির্মাণের অনুমানটি সত্য কিনা কিনা সে প্রশ্নটি দেখেছেন : cstheory.stackexchange.com/questions/5155/… ।

— বার্ট জানসেন

ধন্যবাদ বার্ট, হ্যাঁ আমি শিবের প্রশ্নটি দেখতে পাচ্ছি, তবে, এটি এক বছর আগে ছিল, কোনও নতুন ফলাফলই হতে পারে, সবার ধন্যবাদ।

— Saeed

শিবের ওয়েবসাইটে "কে-ট্রি এবং নিয়মিত গ্রাফের গাছগুলির পুনর্গঠনের বিষয়ে" এবং "পিডিএফ শীঘ্রই আসবে" একটি নোট সহ "নতুন পুনর্গঠনযোগ্য গ্রাফের সম্পত্তি" বিষয়টিতে দুটি পান্ডুলিপি তালিকাভুক্ত করা হয়েছে ( সিএস.প্রিন্সটন.ইডু / একিন্টালি /#প্রপ্রেকন )। শিল্পের বর্তমান অবস্থা সম্পর্কে জানতে আপনি সরাসরি তাঁর সাথে যোগাযোগ করতে পারেন।

— বার্ট জানসেন

এই উত্তরটি পরবর্তী, সেরা treewidth জন্য আবদ্ধ একটি নিশ্চিত করার জন্য প্রয়োজন গ্রিড ছোটখাট Kawarabayashi এবং Kobayashi দ্বারা উন্নত ছিল মধ্যে dx.doi.org/10.4230/ LIPIcs.STACS.2012.278 এবং Seymour, একটি উন্নতি দাবি আগস্ট 2012 সালে$r \times r$$2^{O(r^2\log r)}$$2^{O(r \log r)}$

— András Salamon

Answer 2

সর্বাধিক স্বাধীন সেট সমস্যা হ'ল একটি প্যাকিং সমস্যা (আপনি এটি প্যাকিং বিচ্ছিন্ন তারার হিসাবে ভাবতে পারেন), এবং এটি বেশিরভাগ তে গাছের প্রস্থের গ্রাফগুলিতে চলমান সময় with সহ একটি সুপরিচিত অ্যালগরিদম রয়েছে ।$2^k \operatorname{poly(n)}$$k$

Comments

আপনার প্রতিক্রিয়া জন্য ধন্যবাদ জানেন। আমি এমআইএস অ্যালগরিদম সম্পর্কে সচেতন। এমআইএস ছাড়াও কি অন্যান্য কাঠামোগত প্যাকিংয়ের ক্ষেত্রে গাছের প্রস্থের ধারণা প্রয়োগ করা হয়েছে? এছাড়াও, আমি এমআইএসকে বিচ্ছিন্ন তারকাদের প্যাকিং হিসাবে ভাবাতে পুরোপুরি নিশ্চিত নই, আপনি কি দয়া করে এ সম্পর্কে আপনার বক্তব্যটি ব্যাখ্যা করতে পারেন? (আপনি কোন তারকা কাঠামোটি প্যাক করার চেষ্টা করছেন, "বিচ্ছিন্ন তারকাদের" ধারণাটি কী)?

— নিখিল

উত্তরটি পোস্ট করার সময় আমি ভেবেছিলাম এটি ততটা সোজা নয়। "কিনারা-বিচ্ছিন্ন তারকাদের প্যাকিং" আরও উপযুক্ত হবে এবং তারপরে আপনাকে কোনও স্থির নক্ষত্রের যতটা সম্ভব বড় ডিগ্রি থাকতে হবে। আমি মনে করি না গাছের প্রস্থটি আর কোনও জটিল প্যাকিং সমস্যার ক্ষেত্রে প্রয়োগ হয়েছে।

— জান্নে এইচ। কোর্হোনেন

সর্বাধিক স্বতন্ত্র সেট অবশ্যই স্বাভাবিক পরিভাষায় একটি "প্যাকিং সমস্যা"; প্যাকিং সমস্যার আরেকটি উদাহরণ সর্বাধিক মিল। (তারা পূর্ণসংখ্যার প্রোগ্রামগুলি প্যাক করছে; এলপি শিথিলকরণটি একটি প্যাকিং এলপি))

— জুকা সুমেলা

Answer 3

এই বিষয়ে একটি দুর্দান্ত রেফারেন্স নীচে ব্রুস রিডের জরিপ নিবন্ধ।

রিড, বি (1997)। গাছের প্রস্থ এবং জটলা: একটি নতুন সংযোগ পরিমাপ এবং কিছু অ্যাপ্লিকেশন। কম্বিনেটেটারিকসে সমীক্ষা, 241, 87-162।

আমার সাম্প্রতিক একটি কাগজপত্রে গাছপালার পঁচন তত্ত্বগুলির মাধ্যমে কিছু ক্ষেত্রে গ্রিড-মাইনর উপপাদ্যকে বাইপাস করার অনুমতি দেয়। নীচে কাগজ দেখুন।

বৃহত-ট্রিবিডথ গ্রাফের ক্ষয় এবং অ্যাপ্লিকেশনগুলি http://arxiv.org/abs/1304.1577

Answer 4

এটিও একটি অস্পষ্ট উত্তর। সীমানা গাছের চওড়ার গ্রাফের জন্য এরদোস-পোসা উপপাদ্যের অনুরূপ একটি দ্বৈততা রয়েছে। দেখুন, উদাহরণস্বরূপ ফেডার ভি। ফমিন, সাকেত সৌরভ, দিমিত্রিওস এম থিলিকোস: ছোটখাটো-বদ্ধ গ্রাফ শ্রেণীর জন্য এরদ-প্যাসা সম্পত্তি জোরদার করা। গ্রাফ তত্ত্বের জার্নাল 66 (3): 235-240 (2011)