তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানে বীজগণিত কাঠামোর ব্যবহার


67

আমি একজন সফটওয়্যার প্র্যাকটিশনার এবং আমি ব্যক্তিগত গবেষণার জন্য বীজগণিত কাঠামোর উপর জরিপ লিখছি এবং তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানে কীভাবে এই কাঠামোগত ব্যবহার করা হয় (এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানের অন্যান্য উপ-ক্ষেত্রগুলি) এর উদাহরণগুলি তৈরি করার চেষ্টা করছি) ।

গোষ্ঠী তত্ত্বের অধীনে আমি আনুষ্ঠানিক ভাষাগুলির জন্য সিনট্যাকটিক মনোয়েড এবং সমান্তরাল / সমবর্তী কম্পিউটারের জন্য ট্রেস এবং ইতিহাস মনোয়েডগুলি পেয়েছি।

রিং থিওরির দিক থেকে আমি গ্রাফ প্রসেসিং এবং সেমিরিং ভিত্তিক পার্সিংয়ের জন্য সেমিরিং ফ্রেমওয়ার্কগুলি পেরিয়ে এসেছি across

আমি আমার গবেষণায় মডিউল তত্ত্ব থেকে বীজগণিত কাঠামোর কোনও ব্যবহার খুঁজে পাইনি (এবং চাই)।

আমি ধরে নিচ্ছি যে আরও উদাহরণ রয়েছে এবং সেগুলি সন্ধানের জন্য আমি ঠিক সঠিক জায়গায় খুঁজছি না।

উপরোক্ত তালিকাভুক্ত ডোমেনগুলি থেকে বীজগণিত কাঠামোর আরও কয়েকটি উদাহরণ কী যা সাধারণত তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানে পাওয়া যায় (এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানের অন্যান্য উপ-ক্ষেত্রগুলি)? বিকল্পভাবে, কোন জার্নাল বা অন্যান্য সংস্থানগুলি আপনি এই বিষয়গুলি কভার করতে পারেন তা সুপারিশ করতে পারেন?


12
এটি বরং বিশাল বলে মনে হচ্ছে। সকল ধরণের বীজগণিত কাঠামো (গোষ্ঠী, রিং, সেমিরিংস, সেমিগ্রুপস, ক্ষেত্র) তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানে প্রদর্শিত হয় এবং এটি যথেষ্ট বিস্তৃত যে আপনাকে একটি নির্দিষ্ট উপ-উপাদান খুঁজে পেতে খুব চাপ দেওয়া হবে। এছাড়াও, হ্যাশিং এবং অন্যান্য অনেকগুলি এলোমেলোভাবে আঙুলের ছাপ দেওয়ার পদ্ধতিগুলির জন্য সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলি ভুলে যাবেন না।
সুরেশ ভেঙ্কট

3
সম্ভবত প্রতিনিধিত্বযোগ্য হতে পারে এমন কোনও কিছুর কম্পিউটার বিজ্ঞানের ব্যবহার রয়েছে!
বনাম

উত্তর:


46

আমার ধারণাটি এই যে, প্রচলিত বীজগণিত কম্পিউটার বিজ্ঞানে ব্যবহারের জন্য খুব নির্দিষ্ট specific সুতরাং কম্পিউটার বিজ্ঞানীরা হয় দুর্বল (এবং, তাই আরও সাধারণ) কাঠামো ব্যবহার করেন, বা theতিহ্যবাহী কাঠামোগুলিকে সাধারণীকরণ করুন যাতে তারা তাদের প্রয়োজনীয়তার সাথে এটি ফিট করতে পারে। আমরা বিভাগের তত্ত্বও প্রচুর ব্যবহার করি, যা গণিতবিদগণ বীজগণিতের অংশ হিসাবে ভাবেন না, তবে কেন তা আমরা দেখছি না। আমরা "বীজগণিত" এবং "টপোলজি" হিসাবে প্রথাগত গণিতগুলির রেজিমেন্টেশনটি পৃথক শাখাগুলিকে অসুবিধাজনক, এমনকি অর্থহীন হিসাবে চিহ্নিত করি কারণ বীজগণিত সাধারণত প্রথম-ক্রম হয় যেখানে টপোলজির উচ্চতর ক্রমের দিকগুলির সাথে আচরণ করার সুযোগ থাকে। সুতরাং, কম্পিউটার সায়েন্সে ব্যবহৃত কাঠামোগুলিতে বীজগণিত এবং টপোলজি মিশ্রিত রয়েছে। আসলে, আমি বলতে পারি যে তারা বীজগণিতের চেয়ে টপোলজির দিকে বেশি ঝোঁকেন। "বীজগণিত" এবং "যুক্তি" হিসাবে যুক্তি পুনঃস্থাপন করা আমাদের দৃষ্টিকোণ থেকে আরেকটি অর্থহীন বিভাগ, কারণ বীজগণিত সমীকরণের বৈশিষ্ট্য নিয়ে কাজ করে এবং যুক্তি অন্যান্য সমস্ত ধরণের বৈশিষ্ট্যের সাথেও কাজ করে।

আপনার প্রশ্নে ফিরে এসে, সেমিগ্রুপ এবং মনোয়েডগুলি অটোমেটা তত্ত্বে বেশ তীব্রভাবে ব্যবহৃত হয়। আইলেনবার্গ একটি 2 খণ্ডের সংগ্রহ লিখেছেন , যার দ্বিতীয়টি প্রায় সম্পূর্ণ বীজগণিত। আমাকে বলা হয়েছে যে তিনি চার খণ্ডের পরিকল্পনা করছেন তবে তাঁর বয়স প্রকল্পটি শেষ হতে দেয়নি। জিন-এরিক পিনের একটি অনলাইন বইতে এই সামগ্রীর প্রচুর আধুনিক সংস্করণ রয়েছে । অটোমাতা হ'ল "মনোয়েড মডিউল" (একে মনোয়েড ক্রিয়া বা "ক্রিয়াকলাপ "ও বলা হয়), যা কম্পিউটার বিজ্ঞানের জন্য সাধারণতার সঠিক স্তরে। প্রচলিত রিং মডিউলগুলি সম্ভবত খুব নির্দিষ্ট।

জালিয়াতির তত্ত্বটি ডেনোটেশনাল শব্দার্থবিদ্যার বিকাশের একটি প্রধান শক্তি ছিল। কম্পিউটার বিজ্ঞানীরা যখন গণিতবিদদের সাথে যৌথভাবে অবিচ্ছিন্ন জলাবদ্ধতাগুলি বিকশিত করেন এবং তারপরে এগুলি ডোমেনে সাধারণীকরণ করেন তখন টপোলজিটি জাল তত্ত্বের সাথে মিশে যায় । আমি বলব যে ডোমেন তত্ত্বটি কম্পিউটার বিজ্ঞানীদের নিজস্ব গণিত, যা সনাতন গণিতে কোন জ্ঞান নেই।

সার্বজনীন বীজগণিত ডেটা ধরণের বীজগণিত সম্পর্কিত নির্দিষ্টকরণের জন্য ব্যবহৃত হয় । সেখানে পৌঁছে কম্পিউটার কম্পিউটার বিজ্ঞানীরা তাত্ক্ষণিকভাবে আরও সাধারণ বৈশিষ্ট্যগুলি মোকাবিলা করার প্রয়োজনীয়তা খুঁজে পেয়েছিলেন: শর্তসাপেক্ষ সমীকরণ (সমীকরণ হর্ন ক্লজও বলা হয়) এবং প্রথম-আদেশ যুক্তির যুক্তি, এখনও সর্বজনীন বীজগণিতের একই ধারণা ব্যবহার করে। আপনি লক্ষ করবেন যে, বীজগণিত এখন মডেল তত্ত্বের সাথে একীভূত হয়।

বিভাগ তত্ত্ব টাইপ তত্ত্বের ভিত্তি। কম্পিউটার বিজ্ঞানীরা যেহেতু বিভিন্ন গণনার ঘটনাগুলি মোকাবিলার জন্য নতুন কাঠামো আবিষ্কার করে চলেছেন, বিভাগের তত্ত্বটি এই সমস্ত ধারণাগুলি রাখার জন্য একটি অত্যন্ত স্বাচ্ছন্দ্যযুক্ত কাঠামো is আমরা এমন স্ট্রাকচারগুলিও ব্যবহার করি যা বিভাগ তত্ত্ব দ্বারা সক্ষম করা হয়, যা ফান্টর বিভাগগুলির মতো "traditionalতিহ্যবাহী" গণিতে অস্তিত্ব রাখে না। এছাড়াও, বীজগণিতগুলি মনড এবং প্রভাবগুলির বীজগণিত তত্ত্বগুলির ব্যবহারের একটি নির্দিষ্ট দৃষ্টিকোণ থেকে চিত্রটিতে ফিরে আসে । কোলজেব্রাস , যা বীজগণিতের ডুয়াল , এছাড়াও প্রচুর প্রয়োগ খুঁজে পায়।

সুতরাং, কম্পিউটার সায়েন্সে "বীজগণিত" এর বিস্তৃত প্রয়োগ রয়েছে, তবে এটি গতানুগতিক বীজগণিত পাঠ্যপুস্তকে পাওয়া যায় না।

অতিরিক্ত দ্রষ্টব্য : একটি দৃ concrete় ধারণা রয়েছে যার মধ্যে বিভাগের তত্ত্বটি বীজগণিত। মনয়েড বীজগণিতের একটি মৌলিক কাঠামো। এটি একটি বাইনারি "গুণ" অপারেটর নিয়ে গঠিত যা সংঘবদ্ধ এবং একটি পরিচয় রয়েছে। বিভাগ তত্ত্ব এটিকে মনোডের উপাদানগুলির সাথে "প্রকার" যুক্ত করে সাধারণীকরণ করে, । আপনি শুধুমাত্র "গুন" করতে পারেন উপাদান যখন ধরনের মেলে যদি এবং তারপর । উদাহরণস্বরূপ, ম্যাট্রিকগুলিতে একটি গুণমান ক্রিয়াকলাপ রয়েছে যা এগুলিকে মনোয়েড করে। তবে, ম্যাট্রিক (যেখানে এবংa : X Y b : Y Z a b : X Za:XYa:XYb:YZab:XZm × n m nn×nm×nmnপৃথক হতে পারে) একটি বিভাগ গঠন। মনোয়েডগুলি এমন একক ধরণের বিভাগগুলির বিশেষ ক্ষেত্রে। রিংগুলি অ্যাডিটিভ বিভাগগুলির বিশেষ কেস যা একক প্রকারের। মডিউলগুলি ফান্টারের বিশেষ কেস যেখানে উত্স এবং লক্ষ্য বিভাগগুলি একক ধরণের থাকে। শীঘ্রই. বিভাগ তত্ত্বটি বীজগণিত টাইপ করা হয় যার প্রকারগুলি এটিকে প্রচলিত বীজগণিতের তুলনায় অসীমভাবে বেশি প্রযোজ্য করে তোলে।


24
বিভাগ তাত্ত্বিকরা বীজগণিতকে বিভাগের তত্ত্বের অংশ হিসাবে ভাবেন। বীজগণিতবিদগণ শ্রেনী তত্ত্বকে বীজগণিতের অংশ হিসাবে ভাবেন। লজিস্টিয়ানরা মনে করেন তারা দুজনেই পাগল।
জেফি

4
বিশুদ্ধ গণিতে টপোলজি এবং বীজগণিতের মধ্যে প্রচুর মিথস্ক্রিয়া রয়েছে ...
সাশো নিকোলভ

16
এটি একটি ভাল উত্তর, তবে আমি মনে করি যে "রেজিমেন্টেশন" এবং "সাইলো সংস্কৃতি" সম্পর্কে আপনার মন্তব্য বিভ্রান্তিকর। বীজগণিত, টপোলজি এবং যুক্তিগুলি আপনাকে একীভূত বলে মনে করার কারণ হ'ল আপনার যত্ন নেওয়া প্রশ্নগুলির জন্য , আপনার সাথে প্রাসঙ্গিক এই বিষয়গুলির অংশগুলি খুব ঘনিষ্ঠভাবে জড়িত। তবে, উদাহরণস্বরূপ, জটিল সংখ্যার তুলনায় আপনি 4-মাত্রিক বহুগুণকে শ্রেণিবদ্ধ করার চেষ্টা করা হলে, আপনি খুব শীঘ্রই গণিতবিদদের যে traditionalতিহ্যগত পার্থক্যগুলি ব্যবহার করেছেন তা দেখতে পাবেন। আপনি যে সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করছেন তার উপর এটি নির্ভর করে।
টিমোথি চৌ চৌ

3
গণিত এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানের গবেষণা সংস্কৃতি সম্পর্কে আপনি যে কোনও একক অনুকরণ করেছেন তা আমি ব্যক্তিগতভাবে এখনও বিভ্রান্ত হয়ে পড়েছি। @ টিমোথিচোতে যেমন উল্লেখ করা হয়েছে, বিভিন্ন ধরণের সমস্যা মোকাবিলার জন্য বিভিন্ন সাবফিল্ড তৈরি করা হয়েছিল এবং তাই বিভিন্ন সরঞ্জাম বিকাশ করা হয়েছিল। যেখানে বিভিন্ন সাবফিল্ডগুলি থেকে সরঞ্জাম আনার বিষয়টি বোধগম্য হয় এবং লোকেরা বুঝতে পেরেছিল, সেখানে ইন্টারঅ্যাকশন রয়েছে। উদাহরণগুলি খুঁজে পাওয়া কঠিন নয়, উদাহরণস্বরূপ মিথ্যা বীজগণিত সম্পর্কিত কোনও বক্তৃতা নোটে।
সাশো নিকোলভ

3
কম্পিউটার সায়েন্সে সিলো সংস্কৃতি কম থাকার বিষয়ে, আমি সেখানেও দ্বিমত পোষণ করব। আমার ব্যক্তিগতভাবে কোনও ধারণা নেই যে পিএল গবেষকদের কেন এই সমস্ত ভারী যন্ত্রপাতিটির প্রয়োজন হয়, তারা কী জন্য এটি ব্যবহার করেন, তারা কী সমস্যার সাথে এটি সমাধান করেন এবং কেন আমার যত্ন নেওয়া উচিত। সম্ভবত এটি আমার নিজের অজ্ঞতা, তবে আমি সন্দেহ করি যে বেশিরভাগ জটিলতা তাত্ত্বিক এবং অ্যালগোরিদিকবাদীরা এই প্রশ্নের উত্তর জানেন ...
সাশো নিকোলভ

23

টিসিএসে আমার সর্বকালের প্রিয় তত্ত্বের অ্যাপ্লিকেশন হ'ল ব্যারিংটনের উপপাদ্য। আপনি জানতে পারেন জটিলতা ব্লগে এই উপপাদ্য একজন উদ্ভাস , এবং যে পোস্টের মন্তব্য বিভাগে Barrington আপনার এর উদ্ভাস।


2
+1: এবং অনেকে এটিকে জটিলতা তত্ত্বের সবচেয়ে অবাক করা ফলাফল হিসাবে বিবেচনা করে। :)
কাভেহ

15

গোষ্ঠী, রিং, ক্ষেত্র এবং মডিউল সর্বত্র গণনা টপোলজিতে রয়েছে। বিশেষত কার্লসন এবং জোমোরোডিয়ানের কাজ [প্রাক্তন: 1 ] অন (বহু- মাত্রিক) ধ্রুবক হোমোলোজি দেখুন, যা মূল আদর্শ ডোমেনগুলির চেয়ে গ্রেড মডিউলগুলি সম্পর্কে।


@ জেফি, লিঙ্কগুলি, দয়া করে।
scaaahu

1
@ জেফি, আমার মন্তব্যটি আপত্তিজনক নয়। হ্যাঁ আমি গুগল কিভাবে জানি। আমার বক্তব্যটি ছিল, কার্লসন এবং জোমোরোডিয়ান দ্বারা রচিত একটি বিশেষ নিবন্ধ আছে, যা ক্রমাগত হোমোলজির সংক্ষিপ্ত বিবরণ হবে? যদি একটি থাকে তবে দয়া করে আমাদের জানান। ধন্যবাদ।
scaaahu

আমি এই কাগজ দিয়ে শুরু পরামর্শ দিচ্ছি । (দুঃখিত, আমার আগের মন্তব্যটি এর জন্য
অপ্রত্যাশিত

@ জেফি, এটি পেয়েছি, ঠিক আমি যা খুঁজছিলাম। ধন্যবাদ।
scaaahu

14

এখানে একটি খুব সুন্দর, ব্যবহারিক ব্যবহার: গ্রাফ সংযোগের জন্য গণনা করার জন্য একটি অ্যালগরিদম ( FOCS2011 থেকে )। গ্রাফের s-> টি সংযোগ গণনা করতে, লেখকরা একটি অ্যালগরিদম দেয় যা এলোমেলো ভেক্টরকে একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র থেকে আঁকা এন্ট্রি সহ এস থেকে আউট প্রান্তগুলিতে নির্ধারিত করে, তারপরে এলোমেলোভাবে গ্রাফের সমস্ত প্রান্তের জন্য একই রকম ভেক্টর তৈরি করে লিনিয়ার সংমিশ্রণগুলি এবং অবশেষে টি-এর প্রান্তগুলিতে নির্ধারিত ফলাফলের ভেক্টরগুলির র‌্যাঙ্কটি গণনা করে সংযোগটি আবিষ্কার করুন।


পয়েন্টার এবং সংক্ষিপ্তসার জন্য ধন্যবাদ! এটি ফোকস
আন্দ্রে সালামন

12

ল্যাটিক্স এবং নির্দিষ্ট পয়েন্টগুলি প্রোগ্রাম বিশ্লেষণ এবং যাচাইয়ের ভিত্তিতে রয়েছে। যদিও ল্যাটিক্স তত্ত্বের অগ্রণী ফলাফলগুলি খুব কমই ব্যবহৃত হয় কারণ আমরা গণনা এবং নির্দিষ্ট পয়েন্টগুলি আনুমানিক করার মতো অ্যালগরিদমিক ইস্যুতে উদ্বিগ্ন, যখন ল্যাটিস তত্ত্বের গবেষণার আলাদা ফোকাস রয়েছে (টপোলজির সাথে সংযোগ, দ্বৈতত্ত্ব তত্ত্ব ইত্যাদি)। প্রাথমিক বিমূর্ত ব্যাখ্যার কাগজগুলি বেসিক ল্যাটিক্স তত্ত্ব ব্যবহার করে। রবার্তো গিয়াকোবাজি এবং তার সহযোগীদের কাজ আরও উন্নত ফলাফল ব্যবহার করে।

বিতরণ করা কম্পিউটিংয়ে, অসম্পূর্ণতার ফলাফলের একটি বিখ্যাত পরিবার বীজগণিত টপোলজির পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে উত্পন্ন হয়েছিল (মরিস হারেলিহির এবং নীর শবিতের কাজ দেখুন)।

[সম্পাদনা করুন: কম্পিউটার বিজ্ঞানে টপোলজির অ্যাপ্লিকেশনগুলি দেখুন ]]


12

সীমাবদ্ধতা সন্তুষ্টির সমস্যার জটিলতা অধ্যয়নের জন্য ইউনিভার্সাল বীজগণিত একটি গুরুত্বপূর্ণ সরঞ্জাম।

উদাহরণস্বরূপ, ডাইকোটমী কনজেকচার বলেছে যে মোটামুটিভাবে বলতে গেলে সীমাবদ্ধ ডোমেনের উপর সীমাবদ্ধ সন্তুষ্টির সমস্যা হয় এনপি-সম্পূর্ণ বা বহু-কালীন দ্রবণীয়। নোট করুন যে ল্যাডনারের উপপাদ্য অনুসারে এনপিতে এমন সমস্যা রয়েছে যা পি-তে নেই এবং এনপি-সম্পূর্ণ নয়, যদি পি = এনপি না থাকে, সুতরাং অনুমানটি বলে যে সিএসপিরা দ্বি-দ্বৈতত্ত্ব বিশেষায়িত যে বৃহত্তর জটিলতা ক্লাসগুলির নেই। এটি বাস্তবে আমাদের বেশিরভাগ সমস্যার মুখোমুখি হওয়ার কারণে কেন এনপি-সম্পূর্ণ বা পিতে শ্রেণিবদ্ধ করা যেতে পারে তার কিছু ব্যাখ্যা প্রদান করবে It

ডিকোটমিজগুলি বেশ কয়েকটি বিশেষ ক্ষেত্রে যেমন: বাইনারি ডোমেন সিএসপি (স্কেফার) এবং টেরিনারি ডোমেন সিএসপি (বুলাটোভ), এবং হোমোর্ফিজমগুলি অনির্দেশিত গ্রাফগুলিতে (নরক এবং নেসেট্রিল) প্রমাণিত হয়েছিল। তবে সাধারণ ক্ষেত্রে মোটামুটি উন্মুক্ত। আক্রমণের অন্যতম প্রধান লাইন সর্বজনীন বীজগণিতের মাধ্যমে। খুব মোটামুটিভাবে (এবং আমি অবশ্যই এতে কোনও বিশেষজ্ঞ নই!) একজন সিএসপি-র ডোমেনে ফাংশন হিসাবে সিএসপির একটি পলিমারফিজমকে সংজ্ঞায়িত করে যা প্রতিটি ভেরিয়েবলের জন্য প্রয়োগ করা হলে সমস্ত সন্তুষ্ট বাধা সন্তুষ্ট রেখে দেয়। কিছুটা অর্থে সিএসপির পলিমার্ফিজমগুলির সেটটি তার জটিলতা অর্জন করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি কোনও সিএসপি এ, একটি সিএসপি বি এর সমস্ত বহুত্ববিদ্যাকে স্বীকার করে, তবে এ বি এর বহুবচনের সময় হ'ল বহুবর্ষের সেটটি একটি বীজগণিত গঠন করে, যার কাঠামোটি অ্যালগোরিদম নির্ধারণে / হ্রাস দেখানোর ক্ষেত্রে সহায়ক বলে মনে হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি কোনও সিএসপির পলিমার্ফিজম বীজগণিত আদর্শবান এবং ইউনিারি টাইপের স্বীকৃতি দেয়, তবে সিএসপি এনপি-সম্পূর্ণ। আইডেম্পোটেন্স একটি সরলকরণ অনুমান যা সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই কমবেশি তৈরি করা যায়। এমন কোনও সিএসপি দেখানো হচ্ছে যার বীজগণিত আদর্শবাদী এবং অবিচ্ছিন্ন প্রকারটি স্বীকৃতি দেয় না বহুপক্ষীয় সময়ে সমাধান করা যেতে পারে ডিকোটমি অনুমানকে প্রমাণ করবে।

বুলাটোভের জরিপটি দেখুন: http://www.springerlink.com/content/a553847g6h673k05/


11

টিসিএসের আলাদা অংশ থেকে দুটি অ্যাপ্লিকেশন এখানে রয়েছে।

সেমিরিংগুলি ডেটাবেসগুলিতে (বিশেষত প্রবর্তনের জন্য প্রয়োজনীয়) মডেল টীকাগুলির জন্য ব্যবহৃত হয় এবং প্রায়শই মূল্যবান সীমাবদ্ধতার মধ্যে মূল্যায়ন কাঠামোর জন্যও ব্যবহৃত হয়। এই উভয় অ্যাপ্লিকেশনটিতে, স্বতন্ত্র মানগুলি এমনভাবে একত্রিত করতে হবে যা প্রাকৃতিকভাবে একটি সেমিরিং কাঠামোর দিকে নিয়ে যায়, যার সাথে সাহচর্যতা এবং একটি সেমিরিং অপারেশন অন্যটির উপর বিতরণ করা হয়। মডিউলগুলি সম্পর্কে আপনার ক্যোয়ারী সম্পর্কিত, সাধারণভাবে এই অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে মনোডের কোনও বিপরীত থাকে না।

  • টড জে গ্রিন, গ্রিগরিস কারভৌনারকিস এবং ভ্যাল ট্যানেন প্রোভেনেন্স সেমিয়ারিংস, পোডস 2007. ডয়ি : 10.1145 / 1265530.1265535 ( প্রিন্ট )
  • স্টেফানো বিস্তারেলি, উগো মন্টানারি এবং ফ্রান্সেসকা রসি। Semiring ভিত্তিক বাধ্যতা সন্তুষ্টি এবং অপ্টিমাইজেশান , JACM 1997 ডোই: 10.1145 / 256303.256306 ( উদ্ভাবনের )

10

রিং, মডিউল এবং বীজগণিতের জাতগুলি ত্রুটি সংশোধন এবং আরও সাধারণভাবে কোডিং তত্ত্ব ব্যবহৃত হয়।

বিশেষত, এখানে একটি বিমূর্ত ত্রুটি সংশোধন করার স্কিম রয়েছে (বীজগণিত-জ্যামিতি কোড) যা রিড-সলোমন কোডগুলি এবং চীনা পুনরায় স্মরণকারী কোডগুলিকে সাধারণীকরণ করে। স্কিমটি মূলত আপনার বার্তাগুলি একটি রিং আর থেকে আসে এবং আর এর বিভিন্ন অংশকে এর বিভিন্ন অংশ নিয়ে এর এনকোড করা হয় R

তালিকার ডিকোডিংয়ের জগতে, গুরুস্বামীর একটি সাম্প্রতিক কাগজটি ভাঁজ করা রিড-সলোমন কোডগুলিকে তালিকার ডিকোডিংয়ের একটি রৈখিক-বীজগণিত পদ্ধতি দেয়, যার মধ্যে চমৎকার সম্পত্তি রয়েছে যে সমস্ত প্রার্থীর বার্তাগুলি বার্তার জায়গার নিম্ন-মাত্রিক অ্যাফাইন সাবস্পেসে থাকে the । যে কোনও একটি সাবস্পেস বিমোচনীয় সেটগুলি তৈরি করতে পারে , সেটগুলি পুরো স্থানের মতো প্রায় বৃহত আকারের তবে প্রতিটি নিম্ন-মাত্রিক অ্যাফাইন সাবস্পেসের সাথে ছোট ছেদ রয়েছে। যদি কোনও বার্তা স্থানের অভ্যন্তরে কোনও সাবস স্পেসের উদ্দীপনা সেট থেকে বার্তা আসতে বাধা দেয়, তবে গুরুস্বামীর স্কিম একটি অ্যালগরিদম দেয় যা সুন্দর তালিকার আকারের গ্যারান্টি দেয়। এখনও অবধি সাবস্পেস ইভাসেসিভ সেটগুলির সুস্পষ্ট নির্মাণের কাজটি ডিভিয়ার এবং লাভট তাদের আসন্ন এসটিওসি পেপার, সাবস্পেস ইনভেসিভ সেটগুলিতে দিয়েছেন এবং একটি নির্দিষ্ট affine বিভিন্ন (এবং নিজের কার্টেসিয়ান পণ্য নিজেই সঙ্গে নিয়ে) সেটটি তৈরি করুন।


6

পরীক্ষা করে দেখুন রামসে তত্ত্ব মূলত একটি উল্লেখযোগ্য সাধারণীকরণ - পায়রার খোপ নীতি যা অটোমাটা এবং প্রথাগত ভাষা তত্ত্ব অনেকটা ভিত্তি (অথবা আমি বলতে হবে, পায়রার খোপ নীতি রামসে তত্ত্ব সহজ ক্ষেত্রে দেখা যায়)। এটি মূলত বলেছে যে এমনকি উচ্চতর বিশৃঙ্খলাবদ্ধ কাঠামোগুলি যথেষ্ট পরিমাণে বড় হলে অগত্যা প্রচুর পরিমাণে অর্ডার দেয়। কবুতরের নীতিটির বাইরেও একটি ছোট উদাহরণের জন্য লক্ষ্য করুন যে আপনি যদি ছয় জনকে গ্রহণ করেন তবে তাদের মধ্যে তিনজনই পরস্পর পরস্পরকে চেনেন বা তাদের মধ্যে তিনজন পরস্পর একে অপরকে চেনেন না।

এই বিজ্ঞপ্তিটি কম্পিউটার সায়েন্সের সাথে সংযোগের জন্য শুরু করার মতো সুন্দর জায়গা বলে মনে হচ্ছে তবে আপনি আরও গুগল করতে পারেন। এটি মৌলিক প্রকৃতির বীজগণিতের তুলনায় আরও সম্মিলিত, তবে বীজগণিত এবং তাত্ত্বিক সিএসে অনেকগুলি অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে।

এবং উদ্ভাবক ফ্রাঙ্ক রামসে - র গল্পটিও দেখুন - সত্যই একটি উল্লেখযোগ্য পলিম্যাথ যিনি অর্থনীতি এবং দর্শনের পাশাপাশি গণিতেও মৌলিক, এমনকি বিপ্লবী অবদান রেখেছিলেন, অনেকগুলি পরে ২ until বছর বয়সে মারা যাওয়ার আগে অবহেলিত ছিল - শুধু ভাবুন! আসলে, রামসির মূল উপপাদ্য, রামসে থিওরির ভিত্তি, গাণিতিক যুক্তির বৃহত লক্ষ্য নিয়ে একটি কাগজে নিছক লেমমা ছিল।


2
এটি ক্লাসিকাল এক্সট্রিমাল কম্বিনেটেরিক্স স্টাফ, আমি ভাবছি আপনি বীজগণিতের সাথে সংযোগটি কোথায় দেখছেন? (আমি বিতর্ক করি না যে রামসে থিউরি একটি দুর্দান্ত সমস্যা এবং উপপাদ্যগুলির উত্স)
সাশো নিকোলভ

ভাল, এক জন্য, তাত্ত্বিক সিএসে গ্রাফ তত্ত্ব অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এবং আমার উত্তরের লিঙ্কটি পাশাপাশি এই অনুসন্ধানটি দেখুন । এছাড়াও, পিন, জে, থেকে আনুষ্ঠানিক ভাষার বৈচিত্র্যের , উপপাদ্য 1.11 - কোন সসীম semigroup দ্বারা উত্পন্ন , আছে প্রতিটি শব্দ দিয়ে চেয়ে loinger idempotent থাকার সঙ্গে , এবং সমস্ত । এটি সবচেয়ে সহজেই রামসির উপপাদ্য দ্বারা প্রমাণিত। কে > = 2 এন ডাব্লু + এন এস ডাব্লু = এক্স ইউ 1u n y x , y A ˉ u i = eSAk>=2nwA+neSw=xu1...unyx,yAu¯i=e
ডেভিড লুইস

আমি রামসে থিওরিটির প্রাসঙ্গিকতাটি বিতর্ক করছি না, গ্রাফ থিওরিটিকে টিসিএসে ছেড়ে দিন। আমি বলছি যে ওপি বীজগণিত এবং রামসে তত্ত্বের প্রয়োগ সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করেছিল, আফিক, সাধারণত বীজগণিতের সাথে সম্পর্কিত হয় না। তবে যেহেতু আপনার মনে হয় কিছু সংযোগ র‌্যামসে তত্ত্ব -> বীজগণিত -> টিসিএস মনে আছে, তাই আপনি নিজের উত্তরে এটি যুক্ত করতে পারেন
সাশো নিকোলভ

@ সাশো - আপনার যদি বোঝানো হয় যে রামসে থিওরি বীজগণিতের বিষয় নয়, তবে আমার উত্তরটি অফ-বেস, তবে আপনি 100% সঠিক। আমি আমার উত্তরের জন্য ক্ষমা চাই আমার ধারণা আমার মন শৃঙ্খলাবদ্ধ এবং সাব-ডিসিপ্লিনারি গণ্ডিটি তাত্ক্ষণিকভাবে অতিক্রম করতে ঝোঁক। তবে এটি এর চেয়েও খারাপ - রামসে থিওরি কোনওভাবেই "বীজগণিত কাঠামো" নয়। আমার উত্তর নিচে নির্দ্বিধায় দয়া করে। শুভেচ্ছা।
ডেভিড লুইস

যদিও ডাউনওটিংটি যৌক্তিক হতে পারে, আমি অতিরিক্ত সংমিশ্রকে পছন্দ করি, তাই আমি যাচ্ছি না :) বিটিডাব্লু আমি নিশ্চিত যে বীজগণিত কাঠামোগুলির সাথে এমন কিছু র্যামসে ধরণের ঘটনা ঘটেছে যা সম্ভবত "ঘনত্বের" কারণেও কম প্রতিসামগ্রী, সুতরাং আপনি আমাকে একটি প্রশ্ন সম্পর্কে ধারণা দিচ্ছেন
সাশো নিকোলভ

5

প্রচুর প্রতিসাম্য নিয়ে যে কোনও সমস্যা বিশ্লেষণ করে গ্রুপ থিওরি ব্যবহার করে সহজতর করা হয়। উদাহরণ হ'ল রুবিক কিউবের মতো জিনিসের জন্য অ্যালগরিদমগুলি খুঁজে পাওয়া। যদিও আমি বিশদগুলি জানি না, তবে আমি নিশ্চিত যে God's শ্বরের সংখ্যা ২০ টি প্রমাণ করার জন্য কিছু গুরুতর গ্রুপের তাত্ত্বিক ছাঁটাই করা দরকার। অন্য একটি প্রসঙ্গে, নাটিয়ের মতো গ্রাফ আইসোমর্ফিজম সমস্যার জন্য ব্যবহারিক সমাধানকারীরা গ্রাফের অটোমোরফিজম গ্রুপটি ব্যবহার করে।


এছাড়াও, গ্রাফ আইসোমরফিজমের জন্য আলগোরিদিমগুলি [Luks '81; বাবাই - লুকস '82] সর্বাধিক পরিচিত গ্যারান্টি সহ (এটি তাত্ত্বিকভাবে কাজ করে তবে অনুশীলনে অদক্ষ হতে পারে) গ্রুপ থিওরিটি প্রচুর পরিমাণে ব্যবহার করুন, এমনকি সীমাবদ্ধ সহজ গোষ্ঠীর শ্রেণিবিন্যাসকে অনুরোধ করছেন।
জোশুয়া গ্রাচো

5

বীজগণিত (এবং বীজগণিত জ্যামিতি) উপবৃত্তাকার কার্ভ গ্রুপ, (সংখ্যা-তাত্ত্বিক) lattices, এবং অবশ্যই modern প্রায় সমস্ত আধুনিক ক্রিপ্টোগ্রাফিক কাজের ভিত্তি হিসাবে ক্রিপ্টোগ্রাফিতে বেশ বড় ভূমিকা পালন করেছে।Zp


1
আমি যেমন বুঝতে পেরেছি, অন্যান্য অন্যান্য বীজগণিত কাঠামো (সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র, রিং এবং অন্যান্য কাঠামো) আধুনিক ক্রিপ্টোতে ব্যবহৃত হচ্ছে - যা ধীরে ধীরে সংখ্যার তত্ত্বকে ত্যাগ করে এবং জালিকাগুলি, ত্রুটি-সংশোধনকারী কোডগুলি এবং "কোয়ান্টাম-প্রতিরোধী" সমস্যার দিকে আরও ফোকাস করছে।
জোশ

1

কার্যকরী প্রোগ্রামিংয়ে সমস্যাগুলির জন্য সর্বাধিক সাধারণ এবং মার্জিত বিমূর্ততাগুলি সাধারণত বীজগণিত (বা বিভাগ-তাত্ত্বিক) প্রকৃতিতে থাকে: মনোয়েডস, সেমিরিংস , ফান্টেক্টর, মোনাডস, এফ-বীজগণিত, এফ-কোলজিব্রাস ইত্যাদি কয়েকটি ক্লাসিক ফলাফল (যেমন, ইয়োনডা) লেমমা) গণ্য বিষয়বস্তু এবং ইউটিলিটি আছে।

এছাড়াও, সেখানে হোমোপি টাইপ থিয়োরি রয়েছে, যা টাইপ থিয়োরির (সাজানো) একটি বীজগণিত টপোলজিকাল সেটিংয়ে ব্যাখ্যা করে।


0

সম্প্রতি, আমরা অনুসন্ধান করেছি (স্প্রিংগারিংকের উপর আমাদের কাগজটি দেখুন: ঘন ঘন আইটেমসেট খনির পদ্ধতির একটি আনুষ্ঠানিক সিরিজ-ভিত্তিক একীকরণ ) আনুষ্ঠানিক সিরিজ এবং ভারিত অটোমেটার মাধ্যমে প্যাটার্ন মাইনিং (ডেটা মাইনিংয়ের একটি জনপ্রিয় উদাহরণ) প্যাটার্নের একীকরণের প্রচেষ্টা। এই সরঞ্জামগুলি মনোয়েড এবং সেমিরিং স্ট্রাকচারের মধ্যে ম্যাপিংয়ের উপর ভিত্তি করে।

আমাদের সাইট ব্যবহার করে, আপনি স্বীকার করেছেন যে আপনি আমাদের কুকি নীতি এবং গোপনীয়তা নীতিটি পড়েছেন এবং বুঝতে পেরেছেন ।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.