Submodularity শক্তিশালীকরণ

13

একটি সেট-ফাংশন হ'ল মনোোটোন সাবমোডুলার যদি সমস্ত , $f$ $A,B$

f (A) + f (B) \geq f (A \cup B) + f (A \cap B) .

$f(A) + f(B) \geq f(A \cup B) + f(A \cap B).$

একটি শক্তিশালী সম্পত্তি হ'ল গ্রহণ করা

\begin{matrix} f (A) + f (B) + f (C) + f (A \cup B \cup C) \geq \\ f (A \cup B) + f (B \cup C) + f (A \cup C) + f (A \cap B \cap C) . \end{matrix}

$\begin{multline*} f(A) + f(B) + f(C) + f(A\cup B\cup C) \geq \\f(A\cup B) + f(B\cup C) + f(A\cup C) + f(A \cap B \cap C). \end{multline*}$

, এই সম্পত্তি মনোটোন submodularity বোঝায়।

C = A \cup B

$C = A\cup B$

এই সম্পত্তি জানা হয়?

পটভূমি

এই সম্পত্তিটি কভারেজ ফাংশনগুলিকে চিহ্নিত করার চেষ্টা করার সময় উপস্থিত হয়েছিল। কিছু ভরযুক্ত মহাবিশ্ব দেওয়া (সব ওজন অ নেতিবাচক) এবং একটি পরিবার এর সাব-সেট নির্বাচন এর , কভারেজ ফাংশন জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় মধ্যে সেট দ্বারা আচ্ছাদিত উপাদানের মোট ওজন যেমন । ফাংশন সর্বদা একঘেয়ে এবং submodular হয়। কথোপকথনটি সত্য নয়। $U$ $X$ $U$ $f(S)$ $S \subseteq X$ $S$ $f$

প্রশ্নে সম্পত্তি যে বোঝা মামলার কভারেজ ফাংশন । অনুরূপ, আরও জটিল বৈশিষ্ট্য বৃহত্তর জন্য কাজ করে । এই সমস্ত বৈশিষ্ট্য কভারেজ ফাংশন দ্বারা সন্তুষ্ট, সুতরাং এটি একটি সম্পূর্ণ বৈশিষ্ট্য। $f$ $|X| = 3$ $X$

ds.algorithms approximation-algorithms submodularity

— যুবাল ফিল্ম
সূত্র

13

$k^{th}$

$f(B)-f(A)\ge 0$ $A\subseteq B$

$(f(A\cup B)-f(B))-(f(A)-f(A\cap B))\le 0$

$n$

অনুরূপ কিছু ইতিমধ্যে সম্ভাব্যতার মধ্যে জানা ছিল। কভারেজ ফাংশনটিকে সম্ভাব্যতা পরিমাপ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে (একটি স্কেলিং ধ্রুবক পর্যন্ত)। আমি যে রেফারেন্সটি সন্ধান করতে পেরেছিলাম তা হ'ল সম্ভাবনার বিষয়ে ফিলারের বই থেকে 439 পৃষ্ঠা।

— অশ্বিনীকুমার বিভি
সূত্র

f (A \cup {x}) \geq f (A)

$f(A \cup \{x\}) \geq f(A)$

f (A \cup {x}) + f (A \cup {y}) \geq f (A \cup {x, y}) + f (A)

$f(A \cup \{x\}) + f(A \cup \{y\}) \geq f(A \cup \{x,y\}) + f(A)$

A, B

$A,B$

7

\begin{matrix} f (A \cap B) + f (A \cap C) + f (B \cap C) + f ((A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)) \geq \\ f (A \cap (B \cup C)) + f (B \cap (A \cup C)) + f (C \cap (A \cup B)) + f (A \cap B \cap C) . \end{matrix}

$\begin{multline*} f(A \cap B) + f(A \cap C) + f(B \cap C) + f((A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)) \geq \\ f(A \cap (B \cup C)) + f(B \cap (A \cup C)) + f(C \cap (A \cup B)) + f(A \cap B \cap C). \end{multline*}$ "সামগ্রিক" শর্তটি কাগজে "সিউমা-বুলিয়ান ফাংশনগুলির একটি সুপারওডুলারালিটি-টাইম অসমতার মাধ্যমে শঙ্কার একটি বৈশিষ্ট্য" ক্রামা, হামার এবং হল্টজম্যান (অসমতা (4%) দ্বারা লেখা হয়েছে, যা বিরল সংগ্রহের অংশ "কোয়ানটিটিভেটিভ মেথডেন" ইন ডার্ট শার্টশটস উইসেন্সচ্যাফটেন "। এই অবস্থাটি আমার মতোই হওয়া উচিত।

\begin{matrix} f (A) + f (B) + f (C) + f (A \cap B \cap C) \geq \\ f (A \cup B \cup C) + f (A \cap B) + f (A \cap C) + f (B \cap C) . \end{matrix}

$\begin{multline*} f(A) + f(B) + f(C) + f(A \cap B \cap C) \geq \\ f(A \cup B \cup C) + f(A \cap B) + f(A \cap C) + f(B \cap C). \end{multline*}$

C = \emptyset

$C = \varnothing$

— যুবাল ফিল্ম
সূত্র