3 মাত্রায় গোলকের ভিসি-মাত্রা

Question

আমি নিম্নলিখিত সেট সিস্টেমের ভিসি-মাত্রা অনুসন্ধান করছি।

বিশ্ব $U=\{p_1,p_2,\ldots,p_m\}$ যেমন যে $U\subseteq \mathbb{R}^3$। সেট সিস্টেমে$\mathcal{R}$ প্রতিটি সেট $S\in \mathcal{R}$ একটি গোলকের সাথে সম্পর্কিত $\mathbb{R}^3$ যেমন সেট $S$ মধ্যে একটি উপাদান রয়েছে $U$ যদি এবং কেবলমাত্র যদি संबंधित ক্ষেত্রটি এতে থাকে $\mathbb{R}^3$।

আমি ইতিমধ্যে জানি যা বিবরণ।

1. ভিসি-মাত্রা সর্বনিম্ন ৪. এটি কারণ কারণ $p_1,p_2,p_3,p_4$ একটি টেট্রহেড্রনের 4 টি কোণ তখন এটির দ্বারা ছিন্নভিন্ন হতে পারে $\mathcal{R}$

2. ভিসি-মাত্রাটি প্রায় 5 হয় This এটি কারণ সেট সিস্টেমটি এম্বেড করা যেতে পারে $\mathcal{R}^4$ গোলক সঙ্গে $\mathcal{R}^3$ হাইপারপ্লেনের সাথে সম্পর্কিত $\mathcal{R}^4$। এটি হাইপার প্লেন ইন বলে জানা যায়$\mathcal{R}^d$ ভিসি-ডাইমেনশন আছে $d+1$।

Answer 1

এখানে একটি সহজ যুক্তি দেওয়া হল:

ধরুন একটা সেট আছে $U$5 টি পয়েন্ট যা বল দ্বারা ছিন্নভিন্ন হতে পারে। সুতরাং যে কোনও সেট জন্য$S \subseteq U$, একটি বল আছে $B$ St $B \cap U = S$ এবং একটি বল $B'$ St $B' \cap U = U \setminus S$। অতএব,$B \cap B'$ এর কোন পয়েন্ট নেই $U$। যদি$B \cap B' = \emptyset$, $B$ এবং $B'$একটি বিমান দ্বারা পৃথক করা যেতে পারে। অন্যথায়, এর পৃষ্ঠতল ছেদ$B$ এবং $B'$একটি বৃত্ত হয়। যে বিমানটিতে বৃত্তটি রয়েছে তা পৃথক করে tes$S$ থেকে $U \setminus S$। অতএব,$U$ হাফ স্পেসগুলি দ্বারা বিচ্ছিন্ন হতে পারে, একটি বৈপরীত্য।

উচ্চ মাত্রায় একই যুক্তি দেখায় যে বলগুলির ভিসি-মাত্রা অর্ধ স্পেসের ভিসি-মাত্রার সমান।

Comments

হ্যাঁ. আমি এই সমাধানটি বুঝতে পেরেছি, তবে খুব দেরি করেছি;)।

— সারিল হার-পিল্ড

Answer 2

আমার সমাধানটি ভুল। অন্যান্য উত্তর দেখুন ...

Comments

নাপস, আমি একটি আলাপের উদাহরণ হিসাবে এটি অন্তর্ভুক্ত করছি। <= 5 হিসাবে উল্লেখ করার পরিবর্তে আমি ভেবেছিলাম সঠিক সংখ্যাটি নোট করা ভাল be যাইহোক, ধন্যবাদ.

— আশ্বিনকুমার বিভি 4

আমি ধরে নিয়েছিলাম যে এটি হোমওয়ার্কের সমস্যা নয় ...

— হ্যার-পেলেড

@ সরিল: আমি একটি সহজ প্রমাণ পেয়েছি। আমার কি পোস্ট করা উচিত নাকি আপনি আরও কিছু ভাবতে চান?

— সাশো নিকোলভ

আলাদা উত্তর হিসাবে পোস্ট করুন, এবং তারপরে আমি আমার মুছে ফেলব ...

— সারিল হার-পিল্ড