গড় বিকৃতি এম্বেডিংস

11

দুটি মেট্রিক স্পেস এবং এবং একটি এম্বেডিং । প্রথাগত মেট্রিক স্থান embeddings মান পরিমাপ মূল নিকৃষ্টতম-কেস অনুপাত চূড়ান্ত দূরত্ব হিসেবে: $(X, d)$ $(Y, f)$ $\mu : X \rightarrow Y$ $\mu$

ρ = max_{p, q \in X} {\frac{d (x, y)}{f (μ (x), μ (y))}, \frac{f (μ (x), μ (y))}{d (x, y)}}

$\rho = \max_{p,q \in X} \{ \frac{d(x,y)}{f(\mu(x), \mu(y))}, \frac{f(\mu(x), \mu(y))}{d(x,y)} \}$

মানের অন্যান্য পদক্ষেপগুলি যদিও রয়েছে: ধামধে এবং আল "গড়" বিকৃতিটি অধ্যয়ন করে:

σ = \frac{\sum d (x, y)}{\sum f (μ (x), μ (y))} .

$\sigma = \frac{\sum d(x,y)}{\sum f(\mu(x), \mu(y))}.$

তবে, আমি এখানে যে পরিমাপে আগ্রহী তা হ'ল এমডিএস-এর মতো পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করা হয়, যা গড় সংযোজনীয় ত্রুটি দেখে:

ε^{2} = \sum | d (x, y) - f (μ (x), μ (y)) |^{2}

$\varepsilon^2 = \sum | d(x,y) - f(\mu(x), \mu(y))|^2$

যদিও এমডিএস-এর মতো পদ্ধতিগুলি থিওরিসিএস সম্প্রদায়ের বাইরে ব্যাপকভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে, তবে আমি কেবলমাত্র একটি কাগজ ( ধামধের এট আল দ্বারা ) সম্পর্কে অবগত রয়েছি যা এই পরিমাপের অধীনে অপ্টিমাইজেশন পরীক্ষা করে, এবং তাও লাইনে এমবেডিংয়ের সীমিত সমস্যার জন্য ( ) (পার্শ্ব দ্রষ্টব্য: তাসোস সিডিরোপল্লোস ২০০৫ এমএস থিসিসের পূর্ববর্তী কাজের একটি সুন্দর পর্যালোচনা আছে) $Y = \mathbb{R}$

ত্রুটির এই ধারণার অধীনে কঠোর মানের বিশ্লেষণ সম্পর্কে লোকেরা কী সচেতন সে সম্পর্কে আরও সাম্প্রতিক কোন কাজ রয়েছে? যদিও এই সমস্যাগুলি সাধারণত এনপি-হার্ড হয় তবে আমি যে বিষয়ে বেশি আগ্রহী তা হ'ল যে কোনও ধরণের অনুমান।

approximation-algorithms cg.comp-geom embeddings

— সুরেশ ভেঙ্কট
সূত্র

3

$\epsilon^2$

$O(1)$ $\Omega(k)$ $\epsilon^2$ $k$

$\log^c(n)$

— মরটিজ
সূত্র

এটি একটি ভাল পরামর্শ। আমি অবশ্যই মেট্রিক লেবেলিংয়ের কাজটি সন্ধান করব। এটি পরিচিত যে এমনকি লাইনে এম্বেড করা MAX এসএনপি-হার্ড, তবে দৃ stronger় ফলাফলগুলি দেখতে আকর্ষণীয় (হতাশ হওয়া সত্ত্বেও) হবে।

— সুরেশ ভেঙ্কট

2

$\epsilon^2 \le (\rho-1)\sum d(x,y)^2$ $f(\mu(x), \mu(y)) \ge d(x,y)$ $x,y$

$\ell_2$

— আদিত্য
সূত্র

ভাল যুক্তি. আমি আমার উত্তর পরিবর্তন করেছি।

— মরিটজ

ϵ

$\epsilon$

S := \sum d (x, y)^{2}

$S:= \sum d(x,y)^2$

ℓ_{1}

$\ell_1$

ℓ_{2}

$\ell_2$

ϵ^{2}

$\epsilon^2$

o (S)

$o(S)$

(1 + o (1))

$(1+o(1))$

x, y

$x,y$ । আমরা কী বলতে পারি (কনস্টের ডিগ্রি) প্রসারণকারীদের জন্য এই জাতীয় এম্বেডিং পেতে পারি? (বা প্রমাণ করা সম্ভব নয়?)

— আদিত্য