ইউনিটরি গ্রুপের চেয়ে অপ্টিমাইজেশনের জটিলতা

ইউনিটারি গ্রুপ উপর বিভিন্ন ফাংশন অনুকূলকরণের গণ্য জটিলতা কী ? $\mathcal{U}(n)$

সাধারণত টাস্ক কোয়ান্টাম তথ্য তত্ত্ব প্রায়ই উদ্ভূত, ধরণ পরিমান বাড়ানোর হবে (অথবা উচ্চতর অর্ডার polynomials ) উপর সব ঐকিক ম্যাট্রিক্স । এই ধরণের অপ্টিমাইজেশন দক্ষতার সাথে (সম্ভবত প্রায়) গণনাযোগ্য, বা এটি এনপি-হার্ড? (সম্ভবত এটি সুপরিচিত, তবে আমি কোনও সাধারণ উল্লেখ খুঁজে পেতে অক্ষম হয়েছি) $\mathrm{Tr}AUBU^{\dagger}$ $U$ $U$

— মার্সিন কোটভস্কি
সূত্র

আপনি কি "বিভিন্ন ফাংশন" কে "ইউনিটরিয়ালগুলির উপর বহুবর্ষ" সীমাবদ্ধ রাখতে ঠিক আছেন?

— Artem Kaznatcheev

এই সমস্যাগুলি কীভাবে উত্থিত হয় সে সম্পর্কে আমি খুব বেশি জানি না, তবে এই সমস্যার প্রাকৃতিক শাস্ত্রীয় এনালগ কী হবে? আপনি কি সেই সমস্যার জটিলতা জানেন?

— রবিন কোঠারি

১৯৯১ সালের রজার ব্রোকেটের একটি খুব সুন্দর কাগজ রয়েছে যা দেখায় যে কীভাবে আপনি বর্ণিত ফর্মটি বাছাই করা এবং লিনিয়ার প্রোগ্রামিংটি প্রকাশ করতে হবে তবে অরথোগোনাল ম্যাট্রিক্সের উপরে রয়েছে। যদিও জটিলতার কোনও উল্লেখ নেই, তবে দুটি খুব ভিন্ন সমস্যা একইভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে তার অর্থ একটি জটিলতা নির্ধারণের জন্য আপনার সমস্যার কাঠামো সম্পর্কে কিছু জানা দরকার: eecs.berkeley.edu/~sburden/research/ জোনাথন / ব্রকেট 1991.pdf

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ আর্টেম: হ্যাঁ, অনুশীলনে নিম্ন ডিগ্রিগুলির বহুবচনগুলি সর্বাধিক প্রাসঙ্গিক বলে মনে করি।

— মার্সিন কোটভস্কি

আপনি যে ডিগ্রি -2 উদাহরণটি দিয়েছেন তাতে এটি

এবং

এর ইগেন-পচনকে নেমে আসে । জন্য

এবং

hermitian, ঐকিক

এর eigenspaces না থাকার ট্রেস পূর্ণবিস্তার ব্যবহার করা যেতে পারে

সেই সঙ্গে সারিবদ্ধ

; এরপরে তাদের ইগেনভ্যালুগুলির ক্রমগুলির বিন্দু-পণ্যটি সর্বাধিক করে তোলার পক্ষে যথেষ্ট, যা

এবং

ইতিবাচক অর্ধ-চূড়ান্ত হলে তুচ্ছ হয় (এবং এমন একটি ক্ষেত্রে যার সাথে আমরা আইগনালুগুলি পুনরুদ্ধার করতে পরিচয়টির বহুগুণ যোগ করে হ্রাস করতে পারি)। বা আপনি কি আরও সাধারণ ক্ষেত্রে আগ্রহী, ছোট-মাত্রিক সিস্টেমে কোয়ান্টাম মেকানিক্স দ্বারা অগত্যা প্রেরণা নেই?

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

U

$U$

U B U^{†}

$U B U^\dagger$

A

$A$

A

$A$

B

$B$

— নিল দে বৌদ্রাপ

উত্তর:

দুঃখিত আমি বিলম্বিত! কোয়ান্টাম কম্পিউটিং তত্ত্বে, ইউনিটরি গ্রুপের তুলনায় অপ্টিমাইজেশান সমস্যার প্রচুর উদাহরণ রয়েছে যা আশ্চর্যজনকভাবে (কমপক্ষে আমার কাছে), সেমিডেফিনাইট প্রোগ্রামিংয়ের হ্রাস দ্বারা (ধ্রুপদী) বহুবর্ষে সমাধানযোগ্য।

এখানে একটি প্রাথমিক উদাহরণ ছিল: একটি সমাধানে খনি সমস্যা 2000 থেকে, 2003 Barnum, Saks, এবং Szegedy দেখিয়েছেন যে প্রশ্ন (চ), একটি বুলিয়ান ফাংশন চ কোয়ান্টাম ক্যোয়ারী জটিলতা: {0,1} ^এন → {0,1 ।, সময়কাল বহুবর্ষে 2 ^এন (যেমন, চ এর সত্য সারণির আকার) গণনা করা যায় । আমি এটি সম্পর্কে ভাবছিলাম কিন্তু এটি কীভাবে করব তা দেখতে পেলাম না, যেহেতু সমস্ত সম্ভাব্য কোয়ান্টাম ক্যোয়ারী অ্যালগরিদমগুলির উপর সাফল্যের সম্ভাবনাটিকে সর্বোত্তম করতে হবে, প্রত্যেকটির নিজস্ব সেট (সম্ভবত 2 ^এন- আকারযুক্ত) একক ম্যাট্রিক্স রয়েছে। বার্নুম এট আল। একক ম্যাট্রিক্স এবং পজিটিভ সেমাইডাইফিনেট ম্যাট্রিক্স, তথাকথিত চোই-জামিলোকোভস্কি আইসোমরফিজমের মধ্যে "দ্বৈত" ব্যবহার করে এসডিপিতে হ্রাস পেয়েছে। কিউ (এফ) বৈশিষ্ট্যযুক্ত আরও একটি সাম্প্রতিক ও সহজ এসডিপি-র জন্য, রিচার্ডের 2010 এর পেপারটি দেখায় যে নেতিবাচক-ওজন বিরোধী পদ্ধতিটি সর্বোত্তম।

এই কৌশলটি কাজে লাগানো হয়েছে এমন আরও একটি গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্রে হ'ল কোয়ান্টাম ইন্টারেক্টিভ প্রুফ সিস্টেম। যদিও এটি স্বজ্ঞাতভাবে স্পষ্ট নয়, 2000 সালে কিটাভ এবং ওয়াটরাস প্রমাণ করেছেন যে কিউআইপি ⊆ এক্সপি । 3-রাউন্ড কোয়ান্টাম ইন্টারেক্টিভ প্রুফ সিস্টেমে উত্পন্ন ক্ষতিকারক আকারের ইউনিটরি ম্যাট্রিক্সগুলির উপর ভিত্তি করে অনুকূলকরণের সমস্যা হ্রাস করে, একক-তাত্পর্যপূর্ণ আকারের এসডিপি সমাধানের জন্য (আবার আমি মনে করি, মিশ্র রাজ্যগুলির মধ্যে চোই-জামিলিকোভস্কি আইসোমরফিজম ব্যবহার করে) একক ম্যাট্রিক্স)। সাম্প্রতিক কিউআইপি = পিএসপিএসিই ব্রেকথ্রুটি দেখিয়ে এসেছে যে নির্দিষ্ট এসডিপি প্রায় আরও ভাল সমাধান করা যেতে পারে, এনসিতে (যেমন, লগ-গভীরতার সার্কিট দ্বারা)।

সুতরাং, ইউনিটেরিয়াল গ্রুপের সাথে জড়িত আপনার নির্দিষ্ট অপ্টিমাইজেশনের সমস্যা যাই হউক না কেন, আমার অনুমান যে এটি আপনি যেভাবে ভাবেন তার চেয়ে দ্রুত সমাধান করা যেতে পারে - যদি না এমনকি আরও সহজ উপায়ে হয়, তবে এসডিপিতে হ্রাস দ্বারা!

— স্কট অ্যারনসন
সূত্র

প্রিয় স্কট! বার্নুম, সাকস এবং সিজেজি স্পষ্টভাবে চোই-জামিলোকোভস্কি আইসোমরফিজমের উল্লেখ করেননি এবং আমি বুঝতে পারি না এটি কীভাবে তাদের নির্মাণের সাথে সম্পর্কিত। আপনি এই সম্পর্কে বিস্তারিত বলতে পারেন? আমি জিজ্ঞাসা করছি কারণ আমি বুঝতে চেষ্টা করছি যে ত্রুটিপূর্ণ ওরাকলসের ক্ষেত্রে একই রকম ফলাফল সম্ভব কিনা।

— জরিস

-3

দুটি হাডামার্ড ম্যাট্রিক সমান কিনা তা নির্ধারণ করা গ্রাফ আইসোমর্ফিিজম (জিআই) সম্পূর্ণ সমস্যা। ব্রেন্ডন ম্যাকের এই বিষয়ে একটি কাগজ রয়েছে। বিডি ম্যাককে, গ্রাফ আইসোমর্ফিিজমের মাধ্যমে হাদামার্ড সমতা, বিচ্ছিন্ন গণিত, 27 (1979) 213-216 দেখুন।

— Dursun
সূত্র

\pm 1

$\pm 1$