এলোমেলো গ্রাফ জড়িত তাত্পর্য উপর একটি প্রকরণ

ধরুন আমাদের কাছে নোডের গ্রাফ রয়েছে । আমরা প্রতিটি নোডকে একটি বা একটি নির্ধারণ করতে চাই । এটিকে configuration এ একটি কনফিগারেশন Call বলুন । আমাদের যে টি নির্ধারণ করতে হবে তা হ'ল (অতএব s এর সংখ্যা )) একটি কনফিগারেশন , আমরা প্রতিটি নোড এবং তার প্রতিবেশীদের জন্য নির্ধারিত মানগুলি সংযুক্ত করি, কল করুন এই । তারপরে আমরা নোডের সংখ্যা গণনা করি যার জন্য : $n$ $+1$ $−1$ $\sigma \in \{+1,−1\}^n$ $+1$ $s$ $−1$ $n−s$ $\sigma$ $i$ $\xi_i(\sigma)$ $\xi_i(\sigma)$

N (σ) := \sum_{i = 1}^{n} 1 {ξ_{i} (σ) \geq 0} .

$N(\sigma):=\sum_{i=1}^n 1\{\xi_i(\sigma) \ge 0\}.$ প্রশ্নটি হল: কনফিগারেশনটি যা সর্বাধিক করে ? আরও গুরুত্বপূর্ণ বিষয়, আমরা কি

ক্ষেত্রে বাউন্ড দিতে পারি ? আমি ভাবছি যে এই সমস্যাটি কারও কাছে পরিচিত বলে মনে হচ্ছে, বা যদি গ্রাফ তত্ত্বের কোনও পরিচিত সমস্যার মধ্যে এটি হ্রাস করা যায়। যদি এটি সহায়তা করে তবে গ্রাফটি এর্ডস-রেনিই টাইপের (যেমন, জি (এন, পি) প্রান্ত সম্ভাবনা

, অর্থাৎ গড় ডিগ্রি

হিসাবে বৃদ্ধি পাবে ) হিসাবে ধরে নেওয়া যেতে পারে । প্রধান তদন্তটি সেই ক্ষেত্রে যেখানে

।

σ

$\sigma$

N (σ)

$N(\sigma)$

(max N) / n

$(\max N)/n$

s / n

$s/n$

p (\log n) / n

$p ~ (\log n)/n$

\log n

$\log n$

s / n \in (0, 1 / 2)

$s/n \in (0,1/2)$

graph-theory co.combinatorics optimization

— passerby51
সূত্র

আমি শিরোনাম পরিবর্তন করেছি, কারণ আপনি যা জিজ্ঞাসা করছেন তা পরিসরের ফাঁকে ফাঁকে থাকা সমস্যাগুলির সাথে সম্পর্কিত। এটি গ্রাফের মধ্যে স্বতন্ত্রতার সাথে সম্পর্কিত নয় (যা প্রান্তের ঘনত্বের বিচ্যুতি সম্পর্কে আরও বেশি)

— সুরেশ ভেঙ্কট

সরল বাউন্ড: এ এলোমেলো; , যেখানে প্রান্তবিন্দু ডিগ্রী এবং কিছু ধ্রুবক। সুতরাং, । তাহলে বলে এবং গ্রাফ হয় -regular, তারপর অস্তিত্ব আছে যেমন যে ।

σ

$\sigma$

Pr [ξ_{i} (σ) < 0] \leq \exp (- C δ_{i} (s / n - 1 / 2)^{2})

$\Pr[\xi_i(\sigma) < 0] \leq \exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)$

δ_{i}

$\delta_i$

i

$i$

C

$C$

E [N (σ)] \geq \sum_{i} 1 - \exp (- C δ_{i} (s / n - 1 / 2)^{2})

$E[N(\sigma)] \geq \sum_i{1-\exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)}$

s = 3 n / 4

$s = 3n/4$

(16 / C) \log n

$(16/C)\log n$

σ

$\sigma$

N (σ) \geq n - O (1)

$N(\sigma) \geq n - O(1)$

— সাশো নিকোলভ

@ সুরেশ: ধন্যবাদ কম্পিউটার বিজ্ঞানীদের জিজ্ঞাসা সম্পর্কে আমি এটাই পছন্দ করি, আপনি নতুন কিছু শিখুন! সুতরাং পরিসীমা স্থানের তাত্পর্য সমস্যা সম্পর্কে জানতে ভাল জায়গা কোথায়? (সম্ভবত একটি সংক্ষিপ্ত সংক্ষিপ্ত কাগজ?)

— passerby51

@ সাশো: ধন্যবাদ কোনও কারণে, আমি সমীকরণগুলি সঠিকভাবে দেখতে পাচ্ছি না (তারা পার্শ্ববর্তী পাঠ্যের সাথে সংঘর্ষে পড়েছে)) আমি এটি পড়ার চেষ্টা করব এবং আপনার কাছে ফিরে যাব। তবে আমার উল্লেখ করা উচিত যে আমার জন্য আকর্ষণীয় ব্যবস্থাটি is এবং কাছে যাওয়ার সাথে সাথে সমস্যাটি আরও শক্ত হয়ে । (এটি আসল সমস্যাটির প্রতিসাম্য বিবেচনার কারণে এটি হয়েছে)) আমি মনে করি না এলোমেলো এটি ।

s / n \in (0, 1 / 2)

$s/n \in (0,1/2)$

s / n

$s/n$

1 / 2

$1/2$

σ

$\sigma$

s / n \in (0, 1 / 2)

$s/n \in (0,1/2)$

— passerby51

অনুমান / আশাটি হ'ল জি (এন, পি) এর জন্য বা । আমি শুধু সম্পর্কে আমার মূল পোস্টে টাইপো বুঝতে পেরেছি । এর জন্যে দুঃখিত. অ্যাভারেজ ডিগ্রি not হিসাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে ।

(max N) / n = o (1)

$(\max N)/n = o(1)$

p (\log n) / n

$p ~ (\log n) / n$

p (\log n)^{1 + ϵ} / n

$p ~ (\log n)^{1+\epsilon} /n$

p

$p$

\log n

$\log n$

p

$p$

— passerby51

উত্তর:

আপনি একটি "দ্বিতীয় মুহূর্ত পদ্ধতি" হিসাব, এক আমি ব্যবহৃত অনুরূপ সঙ্গে এই দিকে অগ্রসর হতে একটি র্যান্ডম বাধ্যতা সন্তুষ্টি সমস্যার জন্য একটি ধারালো থ্রেশহোল্ড , বিচ্ছিন্ন গণিত 285 / 1-3 (2004), 301-305।

যখন গড় ডিগ্রি পর্যাপ্ত পরিমাণে ধ্রুবক বারের মতো বৃদ্ধি পায় , তখন এই পদ্ধতির প্রায়শই সন্তুষ্টিজনকতার দ্বার খুঁজে পাওয়ার জন্য যথেষ্ট ছিল। এটি সম্ভবত এমন দফাগুলির ভগ্নাংশও দেখাতে পারে যা একটি অসন্তুষ্টিজনক উদাহরণে সন্তুষ্ট হতে পারে, যদিও আমি এটি তদন্ত করি নি। $\log n$

আপনার সমস্যাটিকে আমার সাধারণের মতো দেখতে, আপনি সিএনএফ সূত্রের ধারাগুলির অন্তর্নিহিত একটি বিশেষ গ্রাফিকাল কাঠামো সহ এটি একটি "MAX-AT-LEAST-HALF-SAT" হিসাবে দেখতে পারেন। আমি মনে করি না যে এই বিশেষ কাঠামোটি সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে বিশ্লেষণে সহায়তা করবে, এবং যেহেতু আপনার ধারাটির আকারটি অ-ইউনিফর্ম এবং আপনার "খারাপ" অ্যাসাইনমেন্ট সেটটি গ্রিনিনিউজকে দেখতে হবে এবং এটি দেখতে হবে কিনা এখনো কাজ করে.

— আব্রাহাম ডি ফ্ল্যাক্সম্যান
সূত্র

সিএসপি হিসাবে এটিকে দেখার পক্ষে এটি একটি তাত্পর্যপূর্ণ সমস্যা হিসাবে দেখার চেয়ে ভাল ফিট বলে মনে হচ্ছে

— সাশো নিকলভ

ধন্যবাদ. এটি খুব আকর্ষণীয় দেখায়। আমি এই ব্যাপারে নজর দিব।

— passerby51

আমাকে আমার মন্তব্যটি বিস্তারিতভাবে জানাতে দিন। প্রথমত, এটি তাত্পর্যের অনুরূপ, তবে অবশ্যই বিভিন্ন উপায়ে ভিন্ন। সেটগুলির একটি সিস্টেম দেওয়া হয়েছে , সিস্টেমের তাত্পর্যটি। আসুন। আপনার সংজ্ঞাটি পৃথক হয়েছে যে আপনি কতগুলি ইতিবাচক এবং সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে কতটা বড় তা জানতে চেয়েছেন । দ্রুত পরিচয়ের জন্য, সম্ভবত আমার লিখিত নোটগুলি সহায়তা করতে পারে। চ্যাজেলের একটি দুর্দান্ত বই রয়েছে যা প্রচুর বিবরণে যায়। $m$ $S_1, \ldots, S_m \subseteq \{1, \ldots n\} = [n]$ $\min_{\sigma:[n] \rightarrow \{\pm 1\}}{\max_{j}{|\sum_{i \in S_j}{\sigma(i)}|}}$ $\sigma(S_j) = |\sum_{i \in S_j}{\sigma(i)}|$ $\sigma(S_j)$ $\sigma(S_j)$

একটি সহজ সম্ভাব্য নিম্ন বাঁধার জন্য যখন , আমার মন্তব্য অনুসারে, ডিগ্রি সিকোয়েন্স , [ সহ একটি গ্রাফ , আপনি একসাথে চয়ন করতে পারেন সমস্ত ক্রম থেকে ( স্বাধীন নয়, তবে এই ক্ষেত্রেও চেরনফকে আবদ্ধ করা প্রমাণ করা উচিত)। আমাদের এবং একটি দ্বারা আবদ্ধ, কিছু ধ্রুবক । সুতরাং । সুতরাং কিছু বিদ্যমান $s > n/2$ $G = ([n], E)$ $\delta_1, \ldots, \delta_n$ $\sigma$ $s$ $1$ $\sigma_i$ $E[\xi_i(\sigma)] = \delta_i s/n$ $\Pr[\xi_i(\sigma) < 0] \leq \exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)$ $C$ $E[N(\sigma)] \geq n - \sum_i{\exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)}$ $\sigma$ যে এই সীমা অর্জন।

সম্পাদনা: দেখে মনে হচ্ছে আপনি কেস । আগের অনুচ্ছেদের মতো একইভাবে এলোমেলোভাবে বাছাই করা যাক । প্রতিস্থাপন ছাড়া স্যাম্পলিং জন্য কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য এর একটি সংস্করণ ব্যবহার ( আকারের একটি নমুনা , আপনাকে দেখাতে হবে যে সক্ষম হওয়া উচিত গ্রাফ ছেদচিহ্ন থেকে প্রতিস্থাপন ছাড়া) গড় সঙ্গে একটি গসিয়ান মত আচরণ এবং সম্পর্কে , তাই কিছু সি এবং কেন্দ্রীয় সীমা তত্ত্ব থেকে ত্রুটি পরামিতি। আমাদের $s < n/2$ $\sigma$ $\sigma$ $s$ $\xi_i(\sigma)$ $\delta_i (2s/n - 1)$ $\delta_i$ $\Pr[\xi_i(\sigma) \geq 0] =\exp(-C\delta_i(2s/n - 1)^2) \pm \eta(n)$ $\eta(n)$ $n\eta(n) = o(n)$ , যাতে আপনি । $N(\sigma) \geq \sum_{i}{\exp(-C\delta_i(2s/n - 1)^2)} - o(n)$

অস্বীকৃতি: যদি ধ্রুবক / ছোট হয় বা খুব কাছে কাছাকাছি থাকে তবে এটি কেবল অর্থবোধক । এছাড়াও গণনাগুলি কিছুটা হিউরিস্টিক এবং খুব সাবধানতার সাথে করা হয় না। $\delta_i$ $s/n$ $n/2$

— সাশো নিকোলভ
সূত্র

সুন্দর লিঙ্ক এবং যুক্তি জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আমি সম্ভাব্য যুক্তিটি পছন্দ করি তবে আমার মনে হয় আপনার আবদ্ধের সাথে কিছু ভুল আছে। আপনি এটি সেট করে দেখতে পারেন , যার জন্য আমাদের । মনে হচ্ছে এই কি ভুল হয়েছে যে: আপনি বাছাই তাহলে সমস্যা উল্লেখিত সেট থেকে এলোমেলোভাবে অবিশেষে, প্রতিটি PROB হয়েছে। এবং প্রোব হ'ল । এর হচ্ছে । অতএব, যা নেতিবাচক ...

s = 0

$s = 0$

P r [ξ_{i} (σ) < 0] = 1

$Pr[\xi_i(\sigma) < 0] = 1$

σ

$\sigma$

σ_{j}

$\sigma_j$

γ := s / n

$\gamma := s/n$

+ 1

$+1$

1 - γ

$1-\gamma$

- 1

$-1$

E [ξ_{i} (σ)] = (2 γ - 1) δ_{i}

$E[ \xi_i(\sigma)] = (2\gamma-1) \delta_i$

γ \in (0, 1 / 2)

$\gamma \in (0,1/2)$

— passerby51

না স্বাধীন ও কঠোরভাবে বলতে আমরা বলতে Hoeffding বৈষম্য ব্যবহার করতে পারবেন না হবে। তবে আসুন আমরা এই ছোটখাটো উপেক্ষা করে তাদের ধরে নিই তবে , এর পরে আবদ্ধ হবে যা রাখে । পেতে আমরা সেট করতে পারি না ।

{σ_{j}}

$\{\sigma_j\}$

P r [\frac{1}{δ_{i}} ξ_{i} (σ) < - t + 2 γ - 1) \leq \exp (- δ_{i} t^{2} / 2)

$Pr[ \frac{1}{\delta_i} \xi_i(\sigma) < -t + 2\gamma - 1) \le \exp ( -\delta_i t^2/2)$

t \geq 0

$t \ge 0$

t = 2 γ - 1 < 0

$t = 2\gamma - 1 < 0$

P r [ξ_{i} (σ) < 0]

$Pr[\xi_i(\sigma) <0]$

— passerby51

দুঃখিত, আমার এটি নির্দিষ্ট করা উচিত ছিল: অনুমানটি এখানে । অন্যথায় এটি কোনও অর্থবোধ করে না এবং আপনার বেরি-এসিনের মতো শক্তিশালী কিছু দরকার। আমি মনে করি মূলত স্বতন্ত্র হিসাবে ধরে নেওয়া যেতে পারে

s > n / 2

$s > n/2$

σ_{j}

$\sigma_j$

— সাশো নিকোলভ

@ passerby51 একটি স্কেচ যুক্ত করেছেন যে আপনি কীভাবে কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বের একটি পরিমাণগত সংস্করণ ব্যবহার করার চেষ্টা করতে পারেন সম্ভাব্যতা সীমাবদ্ধভাবে প্রসারিত করার জন্য ।

s / n < 1 / 2

$s/n < 1/2$

— সাশো নিকোলভ