কোনও ক্রিয়াকলাপের কম্পিউটিং বনাম কোনও মানের জন্য পরীক্ষার জটিলতা

Question

সাধারণভাবে আমরা জানি যে প্রদত্ত ইনপুটটিতে কোনও ফাংশন একটি নির্দিষ্ট মান নেয় কিনা তা পরীক্ষার জটিলতা that ইনপুটটিতে ফাংশনটি মূল্যায়নের চেয়ে সহজ। উদাহরণ স্বরূপ:

• কোনও অ-নেগেটিভ পূর্ণসংখ্যার ম্যাট্রিক্সের স্থায়ী মূল্যায়ন করা হচ্ছে # পি-হার্ড, তবুও এই ধরণের স্থায়ী শূন্য বা ননজারো পি-তে রয়েছে কিনা তা জানিয়ে দিচ্ছেন (দ্বিদলীয় মিল)

• এন সংখ্যা রয়েছে , যেমন বহুপদী এর নিম্নোক্ত বৈশিষ্ট্য রয়েছে (প্রকৃত অর্থে বেশিরভাগ আসল সংখ্যার মধ্যে এই বৈশিষ্ট্য থাকবে) । প্রদত্ত ইনপুট , এই বহুপদীটি শূন্য কিনা তা পরীক্ষা করতে গুণ এবং তুলনা ( বেন-অর এর ফলাফল অনুসারে , যেহেতু শূন্য সেটের উপাদান রয়েছে), তবে উপরোক্ত বহুবর্ষের মূল্যায়ন করতে কমপক্ষে লাগে পেটারসন-স্টকমিয়ারের পদক্ষেপ ।∏ n i = 1 ( x - a i ) n x Θ ( লগ এন ) n Ω ( $a_1,...,a_n$$\prod_{i=1}^{n}(x - a_i)$$n$$x$$\Theta(\log n)$$n$$\Omega(\sqrt{n})$

• বাছাই প্রয়োজন $\Omega(n \log n)$ (এছাড়াও একটি তুলনা গাছ ধাপ $\Omega(n \log n)$ বেন-অথবা এর ফলাফলের মাধ্যমে আবার একটি বাস্তব বীজগাণিতিক সিদ্ধান্ত গাছ পদক্ষেপ,), কিন্তু যদি একটি তালিকা অনুসারে বাছাই করা হয় পরীক্ষার শুধুমাত্র ব্যবহার $n-1$ তুলনা ।

বহুবর্ষে কি সাধারণ শর্ত রয়েছে যা বোঝাতেই যথেষ্ট যে (বীজগণিত) বহুবর্ষটি শূন্য কিনা তা পরীক্ষা করার জটিলতা বহুপদী মূল্যায়ন করার জটিলতার সমতুল্য?

আমি এমন শর্তগুলি খুঁজছি যা সমস্যার আগেই জটিলতা জানার উপর নির্ভর করে না।

( স্পষ্টকরণ 10/27/2010 ) পরিষ্কার করার জন্য, বহুপদী ইনপুটটির অংশ নয়। কি তার মানে, একটি দেওয়া হয় নির্দিষ্ট ফাংশন পরিবার $\{ f_n \}$ (এক প্রতিটি ইনপুট আকার (হয় bitlength বা ইনপুট সংখ্যা) জন্য), আমি জটিলতা তুলনা করতে চান ভাষা / সিদ্ধান্ত সমস্যা $\{ X : f_n(X) = 0 \text{ where } n \text{ is the "size" of } X \}$ মূল্যায়নের জটিলতা সঙ্গে ফাংশন $\{f_n\}$ ।

---

স্পেসিফিকেশন: বহুবর্ষের পরিবারের মূল্যায়ন / পরীক্ষার অসম্পূর্ণ জটিলতা সম্পর্কে আমি জিজ্ঞাসা করছি । উদাহরণস্বরূপ, একটি স্থির ক্ষেত্রের (বা জেড এর মতো রিং ) "স্থায়ী" কোনও একক বহুপদী নয়, তবে একটি অসীম পরিবার { p e r m n : n ≥ 0 } যেখানে একটি স্থায়ী হয় ক্ষেত্রের (বা রিং) উপর ম্যাট্রিক্স।$\mathbb{Z}$$\{perm_{n} : n \geq 0 \}$ n × $perm_{n}$$n \times n$

Comments

আপনার প্রশ্নের উত্তরটি কেবল বহুপদী উপর নির্ভর করে না, তবে এর প্রতিনিধিত্বের উপরও নির্ভর করে?

— ilaraz

@িলিরাজ: আপনার অর্থ কী তা নিশ্চিত নয়। বহুপদী ইনপুট অংশ নয়।

— অর্ণব

জোশুয়া, আপনি আরও ভাল পাঠযোগ্যতার জন্য প্রশ্ন 'ল্যাটেক্সাইজ' করতে পারেন?

— সুরেশ ভেঙ্কট

আমি ভ্যালিয়েন্টসের একটি কাগজ পেয়েছি ( dx.doi.org/10.1016/0020-0190(76)90097-1 ) "পরীক্ষা করা ও মূল্যায়নের তুলনামূলক জটিলতা", যা মূলত একই প্রশ্নটিকে বিবেচনা করে তবে স্ট্যান্ডার্ড ট্যুরিং মেশিন সেটিংয়ের পরিবর্তে একটি বীজগণিত সেটিং। তিনি আমার প্রশ্নের উত্তর দেন না, তবে আপনি যদি এই প্রশ্নটিকে আকর্ষণীয় মনে করেন তবে আপনি তাঁর কাগজটিকে আকর্ষণীয়ও দেখতে পারেন।

— জোশুয়া গ্রাচো 29:58

মাকোভস্কির "ফেফারম্যান-ভ্যাচট থিওরিমের আলগোরিদিম ব্যবহার" সম্ভবত প্রাসঙ্গিক। তিনি গ্রাফিকগুলিতে এমএসএল-নির্ভরযোগ্য কাঠামোর সংক্ষিপ্তসার করে বহুবচনগুলি সংজ্ঞায়িত করেছেন এবং দেখান যে যখন গ্রাফগুলি গাছের প্রস্থে সীমাবদ্ধ থাকে তখন তাদের মূল্যায়ন করা সহজ

— ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ

Answer 1

ওভার , শূন্য এবং মূল্যায়নের জন্য পরীক্ষা করছে "প্রায়" নিম্নলিখিত অর্থে একই: মনে করুন আপনি একটা সিদ্ধান্ত গাছ যা পরীক্ষার কিনা কিছু সরলীকরণযোগ্য বহুপদী আছে চ হয় অশূন্য। আমরা সি এর উপর কাজ করছি , সুতরাং আমরা কেবল সাম্যের জন্য পরীক্ষা করতে পারি তবে আমাদের "<" নেই। এটাই প্রশ্নটির দ্বিতীয় উদাহরণের গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য! এখন সাধারণ পথটি ধরুন , অর্থাত্ প্রায় সমস্ত ইনপুট দ্বারা নেওয়া পথটি (আমরা সর্বদা " ≠ " - ব্র্যাঙ্ক অনুসরণ করি)। তদ্ব্যতীত, ভি ( চ ) বিভিন্ন ধরণের সমস্ত উপাদানের সাধারণ পথ ধরুন । এই দুটি পাথ প্রথমবারের জন্য একটি পৃথক শাখা নেয় যেখানে নোড হওয়া যাক v যাক জ 1$\mathbb{C}$$f$$\mathbb{C}$$\not=$$V(f)$$v$ হ'ল দু'টি পথের সাধারণ উপসর্গ বরাবর পরীক্ষা করা বহুভিত্তিক। যেহেতু ভী ( চ ) বন্ধ করা হবে, সব উপাদানের মধ্যে মিথ্যা ভী ( চ ) এবং নাগালের বনাম এছাড়াও থাকা ভী ( জ মি ) । অতএব, যদি f ( x ) = 0 হয় , তবে h এর মধ্যে একটি আমি x এর উপর অদৃশ্য হয়ে যায়। আমরা করতে হিলবার্ট এর Nullstellensatz আবেদন জ 1 ⋯ জ মি এবং যে পেতে চ ছ $h_1,\dots,h_m$$V(f)$$V(f)$$v$$V(h_m)$$f(x) = 0$$h_i$$x$$h_1 \cdots h_m$ কিছু বহুপদী জন্য গ্রাম যে এর coprime চ । সংক্ষেপে, যখন আমরা f গণনা করছি না, যখন f ( x ) = 0 কিনা সিদ্ধান্ত নেওয়ারসময় আমাদেরকিছু কপিরাই জি এর জন্য f g গণনা করতে হবে।$f g = h_1 \cdots h_m$$g$$f$$f$$f(x) = 0$$fg$$g$

Comments

সুতরাং পরীক্ষার জটিলতা অবশ্যই f g এর মূল্যায়নের জটিলতায় ধরা পড়ে । তারপর থেকে চ সরলীকরণযোগ্য হয়, মূল্যায়নের জটিলতা চ polynomially মূল্যায়নের জটিলতা দ্বারা বেষ্টিত চ ছ , ডিগ্রী চ ছ , এবং ভেরিয়েবল সংখ্যা। সুতরাং যদি f এর বহুপদী ডিগ্রি থাকে এবং চ ( এক্স ) = 0 পরীক্ষা করা যথেষ্ট সহজ হয়, তবে পরীক্ষা এবং মূল্যায়ন সমান। (তবে, যদি হয় তবে ডি ই জি $f(x)=0$ $fg$$f$$f$$fg$$fg$$f$$f(x)=0$$deg f$বড় বা টেস্টিং যদি কঠিন হয় - এর ডিগ্রি খুব বড় বলুন - তবে এটি খুব সামান্য বলে says)$g$

— জোশুয়া গ্রাচো

আমি এটি পাই না: আপনি যদি মূল্যায়ন করতে পারেন তবে শূন্যের জন্য আপনি আরও একটি অপারেশন দ্বারা পরীক্ষা করতে পারেন, যথা, শেষে একটি সমতা পরীক্ষা test কি ভুল হয়ে যেতে পারে পারে যে মূল্যায়নের হয় চ ছ মূল্যায়নের তুলনায় সস্তা চ কিছু কারণে। (দ্রষ্টব্য: চ এর মূল্যায়ন করার অর্থ জেনেরিক পয়েন্টে $f$$fg$$f$$f$

— অর্থাত

অবিকল। মূল্যায়ন মূল্যায়নের তুলনায় অনেক সহজ হতে পারে চ । (আমি জানি যে চ এর মূল্যায়নের অর্থ জেনেরিক পয়েন্টে মূল্যায়ন করা; আমি বুঝতে পারি না কেন আপনি কেন আপনার শেষ প্যারেন্টিফিকাল মন্তব্যটি প্রয়োজনীয় বলে মনে করেছিলেন, তবে এটি বিন্দুটি ছাড়াও হতে পারে)) আপনি ঠিক কী পান না এটি কী? আপনার শেষ মন্তব্যের ভিত্তিতে আমি বলব যে আমরা উভয় পরিস্থিতি বুঝতে পারি এবং একে অপরের বোঝার সাথে একমত হই ... বার্গিসার দ্বারা "মাল্টিভারিয়েট পলিনোমিয়ালসের কারণগুলির জটিলতা "ও দেখুন, যা আমার আগের মন্তব্যে আমি বলেছিলাম একই সিদ্ধান্তে এসেছি। $fg$$f$$f$

— জোশুয়া গ্রাচো

এই আলোচনা থেকে অতিরিক্ত আকর্ষণীয় উপসংহার: যদিও নননেজিটিভ ম্যাট্রিক্সের স্থায়ীত্ব শূন্য হয় বা না তবে পরীক্ষা করা যদি স্বেচ্ছাসেবী জটিল ম্যাট্রিক্সের স্থায়ীত্ব শূন্য হয় তবে পরীক্ষা করা সহজ এবং যদি স্থায়ী মূল্যায়ন করা সহজ হয় তবেই testing

— জোশুয়া গ্রাচো

দুঃখিত, আমি আপনার প্রথম মন্তব্য ভুল বুঝেছি। সবকিছু ঠিক আছে.

— মার্কাস ব্লুজার

Answer 2

মাকোভস্কির "ফেফারম্যান – ভ্যাচট থিওরিমের আলগোরিদিম ব্যবহার" সম্ভবত প্রাসঙ্গিক। তিনি গ্রাফগুলিতে এমএসএল-নির্ভরযোগ্য কাঠামোগুলির সংক্ষিপ্তসার করে বহুভুজকে সংজ্ঞায়িত করেন এবং দেখান যে যখন গ্রাফগুলি গাছের প্রস্থে সীমাবদ্ধ হয় তখন তারা মূল্যায়নের জন্য ট্র্যাকটেবল হয়।

এটি এফপিটি হওয়ার বাইরে টেস্টিং / মূল্যায়নের জটিলতার পার্থক্য সম্পর্কে বেশি কিছু বলে না। একটি মানটির জন্য পরীক্ষার অর্থ হল যদি ভেরিয়েবলগুলির এমন কোনও সেটিং উপস্থিত থাকে যা এমএসও 2 সূতাকে প্রদত্ত গ্রাফের সত্যায় মূল্যায়ন করে তবে মূল্যায়নের সাথে এমএসও 2 সূত্রের সন্তোষজনক কার্যভারগুলি গণনা করা জড়িত। এটি স্যাট গণনা জটিলতার সাথে স্যাট জটিলতার সাথে সম্পর্কিত হওয়ার প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত বলে মনে হয়।

10/29 সম্পাদনা করুন অন্য কার্যকর ধারণাটি হতে পারে ইউনিফর্ম অসুবিধাজনিত পয়েন্ট সম্পত্তির সন্ধান করা। স্পষ্টতই এই সম্পত্তির বহুপথগুলি সমস্ত পয়েন্টে মূল্যায়ন করা সহজ, বা প্রায় প্রতিটি পয়েন্টে মূল্যায়ন করা শক্ত। মাকোভস্কি 46-52 স্লাইডগুলিতে কিছু উল্লেখ দিয়েছেন - http://www.cs.technion.ac.il/admlogic/TR/2009/icla09-slides.pdf

Answer 3

আমি এই ধারণাটি উত্থাপন করতে যাচ্ছি যে স্থির মৌলিক পি (বা এর কোনও সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র সম্প্রসারণ, এবং একই ক্ষেত্রের মধ্যে সীমাবদ্ধ সহগের সাথে ) জন্য এফ পি- তে একটি বহুপদী মূল্যায়ন করা আপনার মানদণ্ডের সাথে মানিয়ে যাবে।$q(x)$$\mathbb F_p$$p$

আরও দৃ concrete়ভাবে, একটি বহুবচন বিবেচনা করা যাক । আমরা জানি যে এক্স 2 = এক্স মধ্যে এফ 2 , তাই যদি আমরা ধরে নিই যে কোন বহুপদী যখন একটি ইনপুট মাধ্যমে প্রদত্ত কমে ফর্ম আগে থেকেই, কেবলমাত্র আমরা এক বিবেচনা করা ছেড়ে দেওয়া হয়: 0 , 1 , x এর , এক্স + + 1 এবং সেই অনুযায়ী মূল্যায়ন 0 বা 1 এর যে কোনও একটিতে এই বহুবচনগুলির জন্য প্রায় 2 টি গণিতের অপারেশন লাগে takes$\mathbb F_2[x]$$x^2=x$$\mathbb F_2$$0,1,x,x+1$$0$$1$

আমি বিশ্বাস করি যে একই ধরণের "গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের স্থির সংখ্যার মাধ্যমে ধ্রুবক সময়" বিবৃতিটি ক্ষেত্রে সাধারণত প্রযোজ্য যেখানে q = p n যেখানে p প্রধান। মনে রাখবেন যে n স্থির না হলে এই বিবৃতি আর কার্যকর হবে না$\mathbb F_q$$q=p^n$$p$$n$

Comments

কার্টার: আপনার যুক্তি অনুসারে, যা প্রযুক্তিগতভাবে সঠিক, পলিনোমিয়ালের কোনও সীমাবদ্ধ সেটগুলির ক্ষেত্রে এটি একই সত্য । যাইহোক, কোনও অর্থবহ ফ্যাশনে asympotic জটিলতা বিবেচনা করার জন্য, আমাদের অবশ্যই বহুবর্ষের অসীম পরিবারগুলিকে বিবেচনা করতে হবে। এর অর্থ হ'ল হয় সসীম ক্ষেত্রের উপরে কাজ করা তবে ক্ষেত্রের (আকার) পরিবর্তিত হতে দেওয়া বা অসীম ক্ষেত্রগুলিতে কাজ করা। উদাহরণস্বরূপ, আমরা যখন "স্থায়ী" বলি বাস্তবে আমরা অসীম পরিবার সম্পর্কে কথা বলি , যেখানে p e r m n একটি n × n ম্যাট্রিক্সের স্থায়ী ।$\{perm_{n} : n \geq 0\}$$perm_{n}$$n \times n$

— জোশুয়া গ্রাচো

যথেষ্ট ন্যায্য, "একটি অসীম ক্ষেত্রের বহুবর্ষ" দিয়ে প্রশ্ন বিবৃতিটি স্পষ্ট করে তুলুন পরিবর্তে একটি উত্তর প্রয়াসকে নিম্নোক্ত করুন যা প্রয়োজনীয় স্পষ্টতা উল্লেখ করে: স্থায়ী সাথে আপনার উদাহরণটি এটিকে সুস্পষ্ট করে না, কারণ ম্যাট্রিকগুলি এখনও কিছু স্থির হয়ে গেছে রিং বা ক্ষেত্র। এছাড়াও, এর ক্ষেত্রে , আমি কেবল নিজেকে কেবলমাত্র 4 টি বহুবচন বিবেচনায় সীমাবদ্ধ রাখছি না, বরং বহুবর্ষের সময়রেখার সাথে চারটি সময়ের মধ্যে যে কোনও একটির সাথে উচ্চতর ডিগ্রি বহুবচনকে হ্রাস করতে x 2 = x এর সমতুল্য সম্পর্ককে ব্যবহার করছি ডিগ্রী। $\mathbb F_2$$x^2=x$

— কার্টার তাজিও শোনওয়াল্ড

কার্টার: আমি ভেবেছিলাম যে এটি স্পষ্ট যে আমি অ্যাসিম্পটিকগুলি সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছি, তবে আমি এখন স্পষ্ট করে দিয়েছি। আপনি মাল্টিভার পলিগুলিও ব্যবহার করতে পারেন যেখানে ওয়ারগুলির সংখ্যা নির্ধারিত নয়। ডাউনভোটের জন্য দুঃখিত, তবে আমি মনে করি না যে 1-var পলিটের সীমাবদ্ধ সেটগুলি ও (1) অপ্সের সাথে মূল্যায়ন করা যায় বলে উল্লেখ করার জন্য আপনি অর্ধেক অনুগ্রহের (+25) প্রাপ্য। আমি জানি আপনি আসলে কম স্পষ্ট কিছু দেখিয়েছিলেন, তবে এটি প্রশ্নের সাথে প্রাসঙ্গিক ছিল না: ইতিমধ্যে প্রশ্নটির মন্তব্যগুলিতে উল্লেখ করা হয়েছে , পলি ইনপুটটির অংশ নয়। সুতরাং F_2 এর ওপরে অবশ্যই 4 টি 1-ভারী পলিগুলি বিবেচনা করতে হবে (x ^ 2 = x ব্যবহার করা অপ্রয়োজনীয়)।

— জোশুয়া গ্রাচো

উম্ম, আপনার স্পষ্টতা এখনও ভাঙা হয়েছে, স্টাফ বা এর বাজে কথাগুলির জন্য আপনার কাছে একটি নির্দিষ্ট রিং বা ক্ষেত্র থাকতে হবে । $perm_n$

— কার্টার তাজিও শোনওয়াল্ড

আমি আপনার সাথে সাধারণভাবে একমত, তাই আমি স্পষ্টতা স্থির করেছি। মজার বিষয় হল, 0,1, -1 কোফস (যেমন পারম এবং ডিট) সহ বহুবর্ষের ক্ষেত্রে, ক্ষেত্রটি পরিবর্তিত হতে দেওয়া মোট বোকামি নয়। এক যেমন ফলে কল্পনা করতে পারে: "কিনা টেস্টিং 0 মূল্যায়নের যত কঠিন ঘ ঙ টি এন বেশি এফ পি এন (কিছু নিদিষ্ট ক্রম জন্য" পি এন , প্রাইম ক্ষমতা সব অগত্যা একই বৈশিষ্ট্য )। স্বীকার করা হলেও, এটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রের মতো প্রাকৃতিক ফলস্বরূপ হবে না। $det_{n}$$det_{n}$$\mathbb{F}_{p_{n}}$$p_{n}$

— জোশুয়া গ্রাচো

Answer 4

আমি প্রশ্নটি সঠিকভাবে বুঝতে পেরেছি কিনা তা নিশ্চিত নই তবে আমাকে কিছুটা আলোকপাত করার চেষ্টা করুন।

সাধারণত, নির্দিষ্ট মানগুলিতে বহুবর্ষের মূল্যায়ন করা পরিচয় পরীক্ষার চেয়ে সহজ, বিশেষত যখন বহুপদী প্রতিনিধিত্ব একটি সার্কিটের মাধ্যমে হয় (কিছু সংক্ষিপ্ত প্রতিনিধিত্ব)। তবে, প্রচুর র্যান্ডমাইজড আইডেন্টিটি টেস্টিং অ্যালগরিদম রয়েছে ( শোয়ার্জ-জিপেল সর্বাধিক সোজা-ফরোয়ার্ড) যা কেবল মূল্যায়নের ক্ষেত্রে কাজ করে।

নির্দিষ্ট কিছু ক্ষেত্রে, আমাদের পরিচয় পরীক্ষার জন্য 'ব্ল্যাক-বাক্স' পরীক্ষা আছে যেখানে আপনি কোনও বহুপদী শূন্য বা না তা কেবলমাত্র পূর্বনির্ধারিত পয়েন্টের সেটাকে মূল্যায়ন করে পরীক্ষা করতে পারেন। এর একটি সহজ উদাহরণ হ'ল বহুপদী যদি 'স্পারস' হয় (কেবল মনোমালি থাকে)। এক্সপোজিশনটিকে সহজতর করার জন্য, বহনীয় বহুবচনটি ধরে নেওয়া যাক (প্রতিটি এককটি স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের পণ্য)।$n^{O(1)}$

অবিবাহিত ব্যক্তিকে মাল্টিভারিয়েট মাল্টলাইনারি বহুবচন পাঠানোর প্রাকৃতিক উপায়টি হল প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে । ফলস্বরূপ বহুবচনটি হ'ল ∑ i ∈ S α i y a i । এটি অবশ্যই একটি ক্ষতিকারক ডিগ্রি বহুমুখী হতে পারে তবে আসুন r এর গুলি একটি ছোট পরিসরের জন্য Modulo y r - 1 এ যান । এখন এক আর এক জোড়া মনোমালিন্যের জন্য "খারাপ" হবে যদি y a এবং y b একই মোনমিয়াল মডুলো y r - 1 এ ম্যাপ করে থাকে$x_i \mapsto y^{2^i}$$\sum_{i\in S} \alpha_i y^{a_i}$$y^r - 1$$r$$r$$y^a$$y^b$$y^r - 1$। বা অন্য কথায়, বিভক্ত করে a - খ । সুতরাং যতক্ষণ না r ∏ i , j ∈ S ( a i - a j ) কে বিভক্ত করে না ততক্ষণ এটি ঘটবে না। অত: পর এটি একটি বহুপদী সীমায় চালানোর জন্য যথেষ্ট দ 's। সুতরাং, কিছু সংস্থার শিকড়গুলিতে বহুপদী মূল্যায়ন করার পক্ষে যথেষ্ট এবং আমরা বহুবর্ষের বাইরে শূন্য কিনা তা খুঁজে বের করতে পারি।$r$$a - b$$r$$\prod_{i,j\in S} (a_i - a_j)$$r$

ব্ল্যাক-বাক্স পরিচয় পরীক্ষার অ্যালগোরিদমগুলিতে আরও অগ্রগতি হয়েছে। এখনই, তারপরে বেশিরভাগ সীমাবদ্ধ গভীরতা 3 টি সার্কিট (ভেরিয়েবলগুলির যোগফলগুলির যোগফল) এ দাঁড়িয়ে থাকে। (এফডাব্লুআইডাব্লু) এর কিছু আমার এমএসসি থিসিসের 3 এবং 4 অধ্যায়টিতে আরও বিশদে উল্লেখ করা হয়েছে । এবং সম্প্রতি পাশাপাশি সাক্সেনা এবং শেশেদ্রির আরও উন্নতি হয়েছে ।

Comments

পরিচয় পরীক্ষার সাথে আমি যদি কিছু সংযোগ মিস করি না তবে আমি মনে করি আপনি ভুল বুঝে থাকতে পারেন। বহুবর্ষগুলি আমার প্রশ্নের ইনপুটটির অংশ না - এ ছাড়াও আমি বহুবর্ষীয় পরিবার দ্বারা নির্ধারিত কোনও সিদ্ধান্ত সমস্যা এবং একটি কার্যকরী সমস্যার ক্ষেত্রে বরং আকর্ষণীয় --- আমি পরিচয় পরীক্ষার বিষয়ে জিজ্ঞাসা করছি না, তবে পরীক্ষণ, প্রদত্ত ইনপুট , f ( x ) = 0 হোক । এই অবরোহমার্গী সাধারণ সমস্যা তুলনায় অনেক সহজ: প্রদত্ত ইনপুট x এর , মূল্যায়ন চ ( এক্স ) । আশা করি আমি যে প্রশ্নটি স্রেফ প্রশ্নের সাথে যুক্ত করেছি তা আরও স্পষ্ট করে তুলেছে $x$$f(x)=0$$x$$f(x)$

— জোশুয়া গ্রাচো

আহ! আমি দেখছি ... স্পষ্টতার জন্য ধন্যবাদ; আমার উত্তর সে ক্ষেত্রে খুব বেশি প্রাসঙ্গিক নয়।

— রামপ্রসাদ

Answer 5

যে কোনও # পি সমস্যা, বা এমনকি # পি / পলিও বহুবচন হিসাবে লেখা যেতে পারে: ন্যানড গেটের বাইরে একটি সার্কিট তৈরি করুন, এটিকে হিসাবে লিখুন যেখানে x এবং y 0-1 মানের মান হয় এবং সমস্ত ইনপুট যোগফল । এই একটি বহুপদী দেয় জেড [ X 1 , । । । , X এন ] আকারের ইনপুট জন্য এন । সিদ্ধান্তের সমস্যাটি 0 টি কিনা এটি পরীক্ষা করছে।$1-xy$$x$$y$$\mathbb{Z}[x_1,...,x_n]$$n$

Comments

হ্যাঁ। এটি স্থায়ী উদাহরণের কিছুটা সাধারণ সংস্করণ। এই জাতীয় সিদ্ধান্তের সমস্যাটি হ'ল (বা এন পি / পি ও এল ওয়াই )। মনে করা হয় যে # পি এন পি এর তুলনায় উল্লেখযোগ্যভাবে শক্ত (যেহেতু এটি সম্পূর্ণ বহুপদী স্তরক্রমের মতোই শক্ত)। আপনার উপর একটি সাধারণ অবস্থার কি জানেন # পি সমস্যা, একটি সন্তুষ্ট যে # পি ফাংশন চ যে বোঝা চ তাদের সিদ্ধান্ত সংস্করণের তুলনায় কোন কঠিন? $NP$$NP/poly$$\# P$$NP$$\# P$$\# P$$f$$f$

— জোশুয়া গ্রাচো

একটি অনুমান আছে যে এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার প্রাকৃতিক গণনা সংস্করণগুলি সর্বদা # পি-সম্পূর্ণ, তবে আমি অন্য কোনও সম্পর্ক জানি না। এক ধরণের তুচ্ছ অবস্থা হ'ল সমস্যাটি স্ব-হ্রাসযোগ্য এবং চ একটি বহুপদী দ্বারা আবদ্ধ।

— কলিন ম্যাককুইলান