"রঙিন ম্যাট্রিক্স" এর অস্তিত্ব

9

সম্পাদনা করুন: এই পোস্ট সম্পর্কিত এখন একটি ফলো আপ প্রশ্ন আছে।

সংজ্ঞা

যাক এবং পূর্ণসংখ্যার হতে। আমরা স্বরলিপি ব্যবহার । $c$ $k$ $[i] = \{1,2,...,i\}$

একটি ম্যাট্রিক্স বলা হয় যে যদি টু রঙিন ম্যাট্রিক্স থাকে তবে নিম্নলিখিতগুলি থাকে: $c \times c$ $M = (m_{i,j})$ $c$ $k$

আমাদের সকলের জন্য , $m_{i,j} \in [k]$ $i, j \in [c]$
সবার জন্য সঙ্গে এবং আমরা আছে । $i,j,\ell \in [c]$ $i \ne j$ $j \ne \ell$ $m_{i,j} \ne m_{j,\ell}$

আমরা লিখতে যদি অস্তিত্ব আছে একটি -to- রং ম্যাট্রিক্স। $c \leadsto k$ $c$ $k$

নোট করুন যে তির্যক উপাদানগুলি অপ্রাসঙ্গিক; আমরা কেবল এর অ-তির্যক উপাদানগুলিতে আগ্রহী $M$ ।

নিম্নলিখিত বিকল্প দৃষ্টিকোণ সহায়ক হতে পারে। যাক $R(M,\ell) = \{ m_{\ell,i} : i \ne \ell \}$ সারি অ তির্যক উপাদানের সেট হতে $\ell$ , এবং একইভাবে দিন $C(M,\ell) = \{ m_{i,\ell} : i \ne \ell \}$ column কলাম non এ অ-তির্যক উপাদানের সেট $\ell$ । এখন $M$ হ'ল $c$ টু- $k$ রঙিন ম্যাট্রিক্স ইফফ

R (M, ℓ) \subseteq [k], C (M, ℓ) \subseteq [k], R (M, ℓ) \cap C (M, ℓ) = \emptyset

$R(M,\ell) \subseteq [k], \quad C(M,\ell) \subseteq [k], \quad R(M,\ell) \cap C(M,\ell) = \emptyset$ জন্য

ℓ \in [c]

$\ell \in [c]$ । এটি হ'ল সারি

ℓ

$\ell$ এবং কলাম must

ℓ

$\ell$ অবশ্যই আলাদা আলাদা উপাদান থাকা উচিত (বাদে অবশ্যই ত্রিভুজটিতে)।

থেকে থেকে বিশেষ ধরণের হ্যাশ ফাংশন হিসাবে ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করা সহায়ক হতে পারে । $M$ $[c]^2$ $[k]$

উদাহরণ

এখানে to- কালারিং ম্যাট্রিক্স রয়েছে: $6$ $4$

[\begin{matrix} - & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & - & 3 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 4 & - & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 & - & 3 & 2 \\ 4 & 2 & 2 & 4 & - & 2 \\ 3 & 4 & 3 & 4 & 3 & - \end{matrix}] .

$\begin{bmatrix} -&2&2&1&1&1\\ 3&-&3&1&1&1\\ 4&4&-&1&1&1\\ 3&2&2&-&3&2\\ 4&2&2&4&-&2\\ 3&4&3&4&3&- \end{bmatrix}.$

সাধারণভাবে, এটি জানা যায় যে কোনও আমাদেরউদাহরণস্বরূপ, এবং । এটি দেখতে, আমরা নিম্নলিখিত নির্মাণগুলি ব্যবহার করতে পারি (যেমন, নাওর এবং স্টকমিয়ার 1995)। $n \ge 2$

(\binom{2 n}{n}) ⇝ 2 n .

${2n \choose n} \leadsto 2n.$

20 ⇝ 6

$20 \leadsto 6$

6 ⇝ 4

$6 \leadsto 4$

Let এবং । যাক থেকে একটি bijection হতে সব সেটে এর -subsets , যে, এবং সকলের জন্য । প্রত্যেকের জন্য সঙ্গে , ইচ্ছামত চয়ন $c = {2n \choose n}$ $k = 2n$ $f$ $[c]$ $n$ $[2n]$ $f(i) \subseteq [2n]$ $|f(i)| = n$ $i$ $i,j \in [c]$ $i \ne j$

m_{i, j} \in f (i) ∖ f (j) .

$m_{i,j} \in f(i) \setminus f(j).$

মনে রাখবেন যে । এটি নির্মাণটি সত্যই রঙিন ম্যাট্রিক্স যাচাই করা সহজবোধ্য; বিশেষত, আমাদের কাছে এবং । $f(j) \setminus f(i) \ne \emptyset$ $R(M,\ell) = f(\ell)$ $C(M,\ell) = [k] \setminus f(\ell)$

প্রশ্ন

উপরের নির্মাণটি কি সর্বোত্তম? অন্যথায় রাখুন, আমাদের কাছে কোনও জন্য ?

(\binom{2 n}{n}) + 1 ⇝ 2 n

${2n \choose n} + 1 \leadsto 2n$

n \geq 2

$n \ge 2$

এটি সুপরিচিত যে উপরের নির্মাণটি asympototically টাইট; অগত্যা । এটি অনুসরণ করে, উদাহরণস্বরূপ, লিনিয়ালের (1992) ফলাফল থেকে বা রামসে তত্ত্বের সরাসরি প্রয়োগ থেকে। তবে আমার কাছে এটি স্পষ্ট নয় যে নির্মাণটি ধ্রুবকগুলির সাথেও কঠোর। কিছু সংখ্যক পরীক্ষাগুলি পরামর্শ দেয় যে উপরের নির্মাণটি অনুকূল হতে পারে। $k = \Omega(\log c)$

প্রেরণা

প্রশ্নটি গ্রাফ রঙ করার জন্য দ্রুত বিতরণ করা অ্যালগরিদমের অস্তিত্বের সাথে সম্পর্কিত। উদাহরণস্বরূপ, ধরে নিন যে আমাদের একটি নির্দেশিত বৃক্ষ দেওয়া হয়েছে (সমস্ত প্রান্ত একটি মূল নোডের দিকে ভিত্তি করে ), এবং ধরে নিই যে আমাদের গাছটির যথাযথ কালারিং দেওয়া হয়েছে । এখন এমন একটি বিতরণকৃত অ্যালগরিদম রয়েছে যা সিঙ্ক্রোনাস যোগাযোগের রাউন্ডে গাছের যথাযথ যদি কেবল । $c$ $k$ $1$ $c \leadsto k$

co.combinatorics lower-bounds dc.distributed-comp

— জুক্কা সুমেলা
সূত্র

"বিকল্প দৃষ্টিকোণে" ডিসপ্লে গণিতে, [সি] পড়তে হবে [কে]। এটি অনুসরণকারী লাইনে, "সকলের জন্য [কে]" পড়তে হবে "সমস্ত এল l ইন [সি]"।

— Tsuyoshi Ito

9

এই অর্থে সর্বোত্তম যে ধরে রাখতে পারে না। বস্তুত, এটা সহজ দেখতে হয় গ -to- ট রং ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান যদি এবং কেবল যদি আছে গ সাব-সেট নির্বাচন একটি ₁ , ..., একটি _গ সেট {1, ..., ট } যেমন যে কোন স্বতন্ত্র আমি এবং ঞ সন্তুষ্ট একজন _i ⊆ A _j । ("কেবল যদি" দিকের জন্য, সি- টু- কে রঙিন ম্যাট্রিক্সের জন্য A _i = R ( M , i ) নিন $\binom{2n}{n}+1 \leadsto n$ এম । "যদি" দিকনির্দেশের জন্য সেট করুন এম _আইজ ∈ এ _আই ∖ এ _জে ।) যে পরিবারগুলির মধ্যে অন্য কোনওটি নেই সেগুলির পরিবারকে স্পারনার পরিবার বলা হয় , এবং এটি স্পারারের উপপাদ্য যে স্পারনার পরিবারে সর্বাধিক সংখ্যক সেট আকারের মহাবিশ্ব ট হয় । এর অর্থ হলো । $\binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}$ $c \leadsto k \iff c \le \binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}$

— সোসোশি ইতো
সূত্র

1

ওহ, ঠিক আছে, আমি ভেবেছিলাম সারিগুলির মতো মনে হয় একটি স্পারনার পরিবার তৈরি করতে হবে, তবে কীভাবে এটি প্রমাণ করতে হয় তা দেখেনি। তবে আপনি একেবারে সঠিক: যদি আমাদের কাছে তবে , এবং সেইজন্য । এটা সহজ ছিল, অনেক ধন্যবাদ!

R (M, i) \subseteq R (M, j)

$R(M,i) \subseteq R(M,j)$

m_{i, j} \in R (M, i) \subseteq R (M, j)

$m_{i,j} \in R(M,i) \subseteq R(M,j)$

C (M, j) \cap R (M, j) \neq \emptyset

$C(M,j) \cap R(M,j) \ne \emptyset$

— জুলকা সুমেলা

0

কিছুটা কঠোর অ্যাসিম্পটোটিকের জন্য এটি প্রমাণিত হতে পারে যে:

যদি , তবে $c \leadsto k$ $c \leq 2^k$

ধরা যাক, কালার ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্সের কালারিং রয়েছে । এখন ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি সারিটি এতে উপস্থিত রঙের সেট দ্বারা রঙ করুন। এটি সাবসেট ব্যবহার করে সারিগুলির একটি রঙ দেয় । বিভিন্ন সারিতে অবশ্যই আলাদা আলাদা রঙ থাকতে হবে। অন্যথায়, ধরুন যে , সারি কাছে সারি মতো রঙ । এর অর্থ হ'ল রঙ উভয় সারি এবং কলাম যা সত্য যে আমরা রঙিন দিয়ে শুরু করেছি তার বিপরীতে। এটি অনুসরণ করে যে $c \times c$ $k$ $[k]$ $i \lt j$ $i$ $j$ $(i,j)$ $j$ $j$ $c \leq 2^k$

— hbm
সূত্র

আপনার বিশ্লেষণের চেয়ে আপনি কী দাবি করছেন তা আমি নিশ্চিত নই তবে দয়া করে সঠিক উত্তরটির জন্য আমার উত্তরটি দেখুন।

— Tsuyoshi Ito