পিতে এমন ভাষা রয়েছে যাগুলির অস্তিত্ব পিএ বা জেডএফএসি থেকে স্বতন্ত্র? (টিসিএস সম্প্রদায় উইকি)

Question

উত্তর: জানা নেই।

জিজ্ঞাসিত প্রশ্নগুলি প্রাকৃতিক, উন্মুক্ত এবং দৃশ্যত কঠিন; প্রশ্নটি এখন একটি সম্প্রদায়ের উইকি।

সংক্ষিপ্ত বিবরণ

প্রশ্নটি জটিলতা ক্লাসের অন্তর্গত ভাষা $P$  ভাষাগুলিকে পৃথক করে দুটি টি পরিপূরক সাবক্লাসে ট্যুরিং মেশিন (টিএম) সিদ্ধান্ত গ্রহণের মাধ্যমে এই ভাষাগুলি গ্রহণ করার চেষ্টা করে:

• জিনস্টিক ভাষা এবং টিএমএস (যেটি বৈধতা / বোঝার পক্ষে সম্ভব), বনাম
• ক্রিপ্টিক ভাষা এবং টিএম (যা বৈধতা / বোঝার পক্ষে অপরিবর্তনীয়)।

সংজ্ঞা: গনস্টিক বনাম ক্রিপ্টিক সংখ্যা, টিএম এবং ভাষা

অ্যাকিয়োম ফ্রেমওয়ার্ক পিএ এবং জেডএফসির মধ্যে , আমরা ক্রিপ্টিক টুরিং মেশিন এবং ভাষা থেকে জ্ঞানস্টিককে নিম্নরূপে পৃথক করি:

D0   আমরা যে একটি গণনীয় বাস্তব সংখ্যার   হয় জ্ঞানবাদী iff এটা স্মৃতি একটি খালি নয় এমন সেটে যুক্ত করা হয়, প্রতিটি টি এম একটি সার্বজনীন টি এম উপর বৈধ কোড সমন্বয়ে গঠিত নম্বর, যেমন যে এর একটি সুনির্দিষ্ট তালিকা হিসাবে পিএ উল্লেখিত যে কোনো নির্ভুলতার জন্য ε > 0 একটি ইনপুট হিসাবে সরবরাহকৃত, প্রতিটি টি এম provably (ZFC মধ্যে) একটি আউটপুট নম্বর দিয়ে স্থগিত ণ provably যে (ZFC মধ্যে) সন্তুষ্ট r - ε < ণ < দ + + ε ।$r$$\epsilon\gt0$$o$$r-\epsilon\lt o\lt r+\epsilon$

মন্তব্য   এটি জানা যায় যে কয়েকটি গণনাযোগ্য বাস্তব জ্ঞানীয় নয় (একটি নিখুঁত উদাহরণের জন্য দেখুন জেএফএফ-এর প্রশ্নের রাফেল রেটিজিগের উত্তর " সেখানে কি অ-গঠনমূলক অ্যালগরিদম অস্তিত্বের প্রমাণ আছে? ")। এই গণনাযোগ্য-এখনও-বিশ্রী নম্বরগুলির সাথে ঝাঁকুনি এড়াতে, এই বিধিনিষেধ আরোপ করা হয়েছে যে রানটাইম এক্সপোনারগুলি টিএম দ্বারা গণনাযোগ্য যা স্পষ্টভাবে পিএতে গণনা করা হয়েছে (জেডএফসিতে বর্ণিত টিএমএসের সাথে বিপরীত হিসাবে)। আরও আলোচনার জন্য বিভাগীয় সংজ্ঞা বিবেচনা করুন (নীচে) বিভাগটি দেখুন ।

এখন আমরা সংজ্ঞা চাইতে তোলা স্বজ্ঞা যে জটিলতা বর্গ একটি উপসেট রয়েছে রহস্যপূর্ণ ভাষায় যা না (জ্ঞানবাদী) রানটাইম এক্সপোনেন্ট কম-বাউন্ড provably নিয়োগ করা যেতে পারে। $P$

সামনের দিকে তাকানোর জন্য, উপসংহার সংজ্ঞা ( ডি 5 ) একটি সাধারণভাবে ক্রিপ্টিক সিদ্ধান্ত টিএম এর ধারণাটি নির্দিষ্ট করে , যার সংজ্ঞাটি হ্রাসের অবকাশের দিকে দৃষ্টিভঙ্গি দ্বারা তৈরি করা হয়েছে যে (তুচ্ছভাবে) গুপ্ত গুণের গুপ্ত গণনাগুলি গণনাভিত্তিক অতিমাত্রায় এপি-কম্পিউটেশনকে আচ্ছাদন করে ing এই মূল সংজ্ঞাটির যুক্তি এবং উত্সগুলি পরে সংজ্ঞাযুক্ত বিবেচনার শিরোনামে আলোচনা করা হয়েছে  - এবং টিমোথি চৌ, পিটার শোর, সাশো নিকোলভ এবং লুকা ট্রেভিসনের মন্তব্যগুলির অবদানের কৃতজ্ঞতা স্বীকার করা হয়েছে।

ডি 1   একটি টিউরিং মেশিন এম দিয়েছেন যা সমস্ত ইনপুট স্ট্রিংয়ের জন্য থামে, এমকে ক্রিপ্টিক বলা হয় যদি নীচের বিবৃতিটি কমপক্ষে একটি গনস্টিক আসল সংখ্যা জন্য না প্রমাণযোগ্য বা খণ্ডনযোগ্য নয়  :$r \ge 0$

বিবৃতি: এম এর রানটাইম হ'ল ইনপুট দৈর্ঘ্যের ক্ষেত্রে ${O}(n^r)$$n$

ট্যুরিং মেশিনগুলি যা ক্রিপ্টিক নয় আমরা বলি গনস্টিক টিএম।

ডি 2   আমরা বলি যে একটি সিদ্ধান্ত ট্যুরিং মেশিন এম দক্ষ তবে যদি এটির জিনোস্টিক রানটাইম এক্সপোঞ্জার  যে ভাষা এল গ্রহণ করে তা অন্য কোনও টিএম দ্বারা স্বীকৃত হয় না যা কোনও জিওস্টিক রানটাইম এক্সপোনেন্ট আর এর চেয়ে ছোট থাকে  ।$r$$r$

ডি 3   আমরা বলি যে কোনও ভাষা এল ক্রিপ্টিক হয় যদি এটি (ক)  কমপক্ষে একটি টিউরিং মেশিন এম দ্বারা গ্রহণ করা হয় তবে তা দক্ষ এবং ক্রিপ্টিক উভয়ই, এবং তদুপরি (খ)  কোনও দক্ষ এবং জ্ঞানবাদী উভয়ই নয় এমন টিএম কার্যকরভাবে এলকে গ্রহণ করে TM

ডি 3 টি অন্যভাবে প্রকাশ করার জন্য , টিএমগুলি যে ভাষাটিকে সবচেয়ে দক্ষতার সাথে গ্রহণ করে তারা নিজেরাই গুপ্ত হয় যদি কোনও ভাষা হ'ল গুপ্তচর।

যে ভাষাগুলি ক্রিপ্টিক নয় আমরা সেগুলি জ্ঞানীয় ভাষা।

D4   আমরা বলি যে কোনও ক্রিপ্টিক টিএম হ'ল দৃ strongly ়ভাবে ক্রিপ্টিক হয় যদি ভাষা এটি গ্রহণ করে তবে তা ক্রিপ্টিক।

ডি 5   আমরা বলি যে একটি দৃ cry়ভাবে ক্রিপ্টিক টিএম যদি এটি দক্ষ হয় তবে তাত্ক্ষণিকভাবে ক্রিপ্টিক ।

ডি 5 কে অন্যভাবে প্রকাশ করার জন্য , প্রতিটি ক্রিপ্টিক ভাষাটি ক্যানোনিকালি ক্রিপ্টিক সিদ্ধান্ত টিএমগুলির একটি সেট দ্বারা গৃহীত হয়, যা সেই ভাষাটি মেনে নেয় সবচেয়ে দক্ষ সিদ্ধান্তের টিএম।

প্রশ্ন করা

নিম্নলিখিত অনুমান সি 0 প্রাকৃতিক এবং (আপাতদৃষ্টিতে) উন্মুক্ত:

সি0   জটিলতার ক্লাস পিতে কমপক্ষে একটি ক্রিপ্টিক ভাষা থাকে।

তিনটি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা হয়, চতুর্থাংশ 1 - চতুর্থাংশ 3 , প্রথম যা:

প্রশ্ন 1 C0 অনুমানটি   কি PA বা জেডএফসি থেকে স্বতন্ত্র?

সি0 সত্য বলে অনুমানের অধীনে - হয় জেডএফসিতে, অথবা জেডএফসির পরিপূরক স্বতন্ত্র স্বতন্ত্র হিসাবে - আরও দুটি প্রশ্ন প্রাকৃতিক:

প্রশ্ন 2 পি-   তে কমপক্ষে একটি গুপ্ত ভাষাকে কী দৃ concrete ়ভাবে উপস্থাপিত করা যেতে পারে, অর্থাত্ কোনও নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য পর্যন্ত সমস্ত শব্দ অন্তর্ভুক্ত করে এমন একটি সীমাবদ্ধ বর্ণমালায় স্পষ্ট শব্দের অভিধান হিসাবে প্রদর্শিত হয়? যদি তাই হয় তবে এরকম একটি অভিধান প্রদর্শন করুন।

চতুর্থাংশ 3   যে একটি শারীরিক টুরিং মেশিন (বহুপদী সময়) যে সিদ্ধান্ত নেয় নির্মাণের জন্য একটি সক্রিয় বিবরণ হিসাবে হয়, অন্তত একটি canonically রহস্যপূর্ণ সিদ্ধান্ত এম মূর্তভাবে উপস্থাপন করা, এর অভিধানের সব কথায় ক্যান Q2 এর ? যদি তাই হয়, এই ধরনের একটি টুরিং মেশিন গঠন করা এবং এটির সাথে কম্পিউটিং দ্বারা, এর রহস্যপূর্ণ ভাষা অভিধান প্রদর্শন Q2 এর ।

সংজ্ঞা বিবেচনা

সংজ্ঞা D0 বোঝায় যে প্রতিটি জিনস্টিক আসল সংখ্যা গণনাযোগ্য, তবে এটি জানা যায় যে কয়েকটি গণনাযোগ্য আসল সংখ্যা জ্ঞানস্টিক নয় । উদাহরণের জন্য, উত্তর দেখুন MathOverflow দ্বারা মাইকেল Cadilhac এবং রায়ান উইলিয়ামস এবং এর TCS StackExchange দ্বারা রাফায়েল Reitzig । আরও সাধারণভাবে, সংজ্ঞা D0 – D5 নন-ননস্টিক রানটাইম এক্সপোস্ট্যান্সের উল্লেখগুলি বাদ দেওয়ার জন্য তৈরি করা হয়।

টিসিএস উইকিতে যেমন আলোচনা করা হয়েছে "পিতে কি বোঝা যায় না এমন ভাষাগুলি রয়েছে ? ," সংজ্ঞা D0 – D5 নিশ্চিত করে যে প্রতিটি ক্রিপ্টিক ভাষা কমপক্ষে একটি টিএম দ্বারা স্বীকৃত হয় যা তাত্পর্যপূর্ণ ক্রিপ্টিক is (এটিও লক্ষ করুন যে বর্তমান প্রশ্নে "ক্রিপ্টিক" শব্দটি উইকিতে ব্যবহৃত কম বর্ণনামূলক শব্দ "বোধগম্য" প্রতিস্থাপন করে)।

 তদ্ব্যতীত - ডি 3 (ক ) এবং ডি 3 (বি) এর দৃষ্টিতে - কোনও গনস্টিক টিএম-তে কোনও স্পষ্টতই ক্রিপ্টিক টিএমের গণ্যগতভাবে তুচ্ছ হ্রাস নেই যা সম্ভবত একই ভাষাটিকে স্বীকৃতি দেয়। বিশেষ করে, থেকে D3 (ক) এবং D3 তে (খ) বাধাগ্রস্ত polylimiter হ্রাস কৌশল যে মন্তব্য রূপরেখা ছিল পিটার শোর , এবং Sasho Nikolov , এবং স্বাধীনভাবে দ্বারা লুকা Trevisan , এবং বাধা খুব polynomially clocked হ্রাস কৌশল টিমোথি চীনা , সমস্ত যার মধ্যে একইভাবে একটি গণনাভিত্তিক অতিশয় এপি-কম্পিউটিশন ওভারলেয় করে ক্রিপ্টিক গণনাগুলি মাস্ক করে ।

সাধারণভাবে, "জিনস্টিক" এবং "ক্রিপ্টিক" সংজ্ঞাগুলি ইচ্ছাকৃতভাবে সুর করা হয় যাতে গাণিতিকভাবে তুচ্ছ হ্রাসের বিষয়ে দৃust় হতে পারে (এবং এটি সম্পূর্ণভাবে সম্ভব যে এই সংজ্ঞাগুলির আরও টিউন করা পছন্দনীয় হতে পারে)।

পদ্ধতিগত বিবেচনা

ল্যান্স ফোর্টনোর পর্যালোচনা " জটিলতার তত্ত্বে অনুমানের স্বাধীনতা (বা অন্যথায়) প্রতিষ্ঠার জন্য জরিপ পদ্ধতি বনাম এনপি সমস্যার স্থিতি " জরিপ পদ্ধতি; বিশেষত কাঙ্ক্ষিত পরামর্শগুলি হ'ল ল্যান্স পর্যালোচনা করে যে পদ্ধতিগুলি Q1 এর উত্তর দিতে সহায়তা করতে পারে (বা না) ।

এটা আরও অনেক প্রশ্ন প্রাকৃতিক যে স্পষ্ট। উদাহরণস্বরূপ, হার্টম্যানিস-স্টার্নস কনজিউচার আমাদের জিজ্ঞাসা করতে অনুপ্রাণিত করে "ক্রিপ্টিক রিয়েল-টাইম মাল্টিট্যাপ টুরিং মেশিনের কি অস্তিত্ব আছে? তাদের অস্তিত্ব কি (বা না) পিএ বা জেডএফসি থেকে স্বতন্ত্র?"

জিলবার্গারের ধরণের বিবেচনা

যে ইভেন্টে Q1 এর উত্তর "হ্যাঁ" দিয়ে দেওয়া হয়, তারপরে সদস্যতা নির্ধারণ করে এমন Oracles পিএ বা জেডএফসির বাইরে উপস্থিত থাকে এবং অতএব আধুনিক জটিল তত্ত্বের একটি প্রয়োজনীয় উপাদানটি (বর্তমানে) কোনও আনুষ্ঠানিক ব্যবস্থার মধ্যে থাকতে পারে না বলে জানা যায় is যুক্তি। $P$

এই ক্ষেত্রে জটিলতা তত্ত্বটি বেশিরভাগ গাণিতিক শাখাগুলি থেকে আলাদা, যেমন ডোরন জিলবার্গার তার সাম্প্রতিক " মতামত 125: এ যে উদ্বেগ প্রকাশ করেছেন : এখন অ্যালান টুরিং 100-বছর-বয়সী হয়ে উঠেছে , এখন সময় এসেছে তার অর্ন্তীয় অবদানগুলিকে নতুন করে দেখার , এটি প্রচুর ভাল করেছে তবে প্রচুর ক্ষতিকারকটি "যুক্তিযুক্তভাবে সু-প্রতিষ্ঠিত।

জিলবার্গারের উদ্বেগগুলি Z0    (! Q1  ) এবং&& (! C0  ) হিসাবে মাপদণ্ড হিসাবে সুস্পষ্ট রূপ নেয় যা নিম্নলিখিত মানদণ্ডের সমান:$\equiv$

জেড0:   জিলবার্গারের সংবেদনশীলতা মাপদণ্ড   জটিল শ্রেণীর পি   এর সংজ্ঞাগুলিকে জিলবার্গার-বোধগম্য বলা হয় যদি পি এর সমস্ত ভাষা প্রমাণিতভাবে জ্ঞানীয় হয়।

জটিলতা ক্লাস পি সম্পর্কে স্টিফেন কুকের সংজ্ঞা   জিলবার্গার-বোধগম্য কিনা তা বর্তমানে জানা যায়নি ।

উদ্দেশ্যমূলক বিবেচনা

"জ্ঞানীস্টিক" এবং "ক্রিপ্টিক" এর সংজ্ঞাগুলি নীচের মতো অনুমানগুলি (শেষ পর্যন্ত) সিদ্ধান্তের দিকে দৃষ্টিভঙ্গি দিয়ে তৈরি করা হয়েছে:

গ 1   আসুন এবং এন পি ' এর জ্ঞানবাদী বিধিনিষেধ হতে পি এবং এন পি রেস্প। তারপর পি ' ≠ এন পি ' পারেন পিএ বা ZFC মধ্যে প্রতিপাদ্য বা খণ্ডনীয় হয়।$P'$$NP'$$P$$NP$$P' \ne NP'$

সি 2   (পিএ বা জেডএফসিতে স্পষ্টভাবে প্রমাণিত)$P' \ne NP'$

পরিষ্কারভাবে সি 2   সি 1 , এবং বিপরীতভাবে এটি অনুমেয় যে (মেটা) উপপাদ্য সি 1 এর একটি প্রমাণ (শক্তিশালী) উপপাদ্য সি 2 এর প্রমাণের দিকে দিকনির্দেশ সরবরাহ করতে পারে ।$\to$ 

সামগ্রিক প্রেরণা হ'ল প্রত্যাশা / অন্তর্নিহিত / আশা যে জ্ঞানস্টিক এবং ক্রিপ্টিক টিএম এবং ভাষার মধ্যে কিছু সুসংগত পার্থক্যের জন্য, সি 1 এর প্রমাণ এবং সম্ভবত সি 2 আলোকিত করতে পারে - এবং এর সাথে তুলনামূলক ব্যবহারিক প্রভাবও থাকতে পারে - সম্ভবত সম্ভবত আরও শক্ত এবং গভীর প্রমাণ যে । $P\ne NP$

জুরিস হার্টম্যানিস তদন্তের এই লাইনটিকে গুরুত্বের সাথে অনুসরণ করার জন্য প্রথম জটিল তাত্ত্বিকদের মধ্যে ছিলেন; উদাহরণস্বরূপ হার্টমানিসের মনোগ্রাফের ফিজিবল কম্পিউটেশন এবং প্রভিশনাল কমপ্লেক্সিটি প্রোপার্টি (1978) দেখুন।

নামকরণ বিবেচনা

অক্সফোর্ড ইংরেজি অভিধান (ওইডি) থেকে আমাদের কাছে রয়েছে:

• জ্ঞানবাদী (বিশেষণ)  জ্ঞান সংক্রান্ত; জ্ঞান ভিত্তিক; বুদ্ধিজীবী   "এগুলি [সংখ্যা] একটি গুরুত্বপূর্ণ, জ্ঞানবাদী এবং অনুমানমূলকভাবে উপস্থিত রয়েছে, তবে অপারেটিভ পদ্ধতিতে নয়" "

• cryptic (adj)  তাত্ক্ষণিকভাবে বোধগম্য নয়; রহস্যময়, রহস্যময়   "মানবজাতির পক্ষে কার্যকর বিধিগুলির পরিবর্তে, তারা [দার্শনিকরা] ক্রিটিক এবং অন্ধকারের বাক্যকে আবদ্ধ করে।"

স্পষ্টতই কোনও গাণিতিক পর্যালোচনা এর আগে "জ্ঞানস্টিক" শব্দটি কোনও অর্থে ব্যবহার করে নি। যাইহোক, মনোযোগ মার্কাস Kracht সাম্প্রতিক নিবন্ধ "টানা হয় মারেফাহ " ( দার্শনিক লজিক জার্নাল , MR2802332), যা OED অর্থে ব্যবহার করে।

স্পষ্টতই কোনও গাণিতিক পর্যালোচনা জটিলতার তত্ত্বের সাথে - এর প্রযুক্তিগত দিক থেকে "ক্রিপ্টিক" শব্দটি ব্যবহার করেন নি। যাইহোক, চার্লস এইচ বেনেটের " যৌক্তিক গভীরতা এবং শারীরিক জটিলতা " নিবন্ধটির দিকে দৃষ্টি আকর্ষণ করা হয়েছে ( ইউনিভার্সাল ট্যুরিং মেশিনে: একটি অর্ধ-শতাব্দী জরিপ , 1988) যা উত্তরণ সহ রয়েছে

কোনও বস্তুর সাথে যুক্ত অন্য ধরণের জটিলতা হ'ল অসুবিধা হ'ল বস্তুটিকে বোঝাতে একটি উপলব্ধিযোগ্য অনুমানের সন্ধান করা। এই ধরণের জটিলতাযুক্ত অবজেক্টগুলিকে "ক্রিপ্টিক" বলা যেতে পারে : অবজেক্টের জন্য কল্পনাযোগ্য উত্স খুঁজে পাওয়া কোনও ক্রিপ্টোগ্রাম সমাধান করার মতো।

স্বাভাবিকতা, খোলামেলাতা এবং অসুবিধা বিবেচনা করুন

এই প্রশ্নের স্বাভাবিকতা জুরিস হার্টম্যানিসের মনোগ্রাফের সম্ভাব্য গণনা এবং প্রাপ্য জটিল জটিলতা (১৯ 197৮) এর থিসিসকে চিত্রিত করে যে:

"অ্যালগরিদমের জটিলতা সম্পর্কে ফলাফলগুলি আমূলভাবে পরিবর্তিত হয় যদি আমরা কেবল গণনাগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করি যা আনুষ্ঠানিকভাবে প্রমাণিত হতে পারে।"

এই প্রশ্নগুলির খোলামেলাতা এবং অসুবিধা ল্যান্স ফোর্টনউয়ের পর্যালোচনা " পি ভার্সাস এনপি সমস্যার অবস্থা " (২০০৯) এর সমাপ্তির সাথে বিস্তৃতভাবে ব্যঞ্জনবর্ণ যে:

"আমরা কেউই পি বনাম এনপি সমস্যাটি সত্যই বুঝতে পারি না, আমরা কেবল এই ক্রমবর্ধমান জটিল প্রশ্নের চারপাশে স্তরগুলি ছুলতে শুরু করেছি।"

উইকি গাইডেন্স

বিশেষত প্রশ্নগুলির সাথে সম্পর্কিত সংজ্ঞা সংশোধন এবং প্রমাণ কৌশলগুলি বিশেষত চাওয়া হয় Q1 – Q3 এবং হার্টম্যানিস-ধরণের অনুমান C1 – C2-কে বিস্তৃতভাবে আলোকিত ।

Comments

আমি নিশ্চিত না যে আপনি Q3 এ কী বোঝাতে চেয়েছেন; দেখে মনে হচ্ছে ইনপুট উপস্থাপনা টিএমএস ঠিক কী কাজ করে তা প্রভাবিত করে।

ইতিবাচক অর্ধ-চূড়ান্ত আসল সংখ্যাটি কী? সত্যিকারের প্রতিসাম্য ম্যাট্রিক্সের জন্য আমি "পজিটিভ সেমিডেফাইন্ট" বুঝতে পারি, তবে সংখ্যার জন্য এটি কী বোঝায় !?

— ডেভিড Monniaux

এর অর্থ শূন্য বা তার বেশি (1x1 ম্যাট্রিক্স হিসাবে দেখা একটি সংখ্যা)।

— জন সিডলস

তদন্তের আকর্ষণীয় লাইন দীর্ঘদিন ধরে ভেবেছি যে ব্লামস স্পিডআপ থেম এর এই জাতীয় প্রশ্নগুলির সাথে এবং / বা পি =? এনপি এর কিছু সংযোগ থাকতে পারে তবে এটি যে কোনও জায়গায় পেরেক দেওয়া হয়েছে বা অন্বেষণ করা হয়নি। বিশেষত, খুব কড়া / কঠোর প্রমাণ দেখেননি যে পি তে কোন ভাষা নেই যা ব্লাম দ্বারা চিহ্নিত শ্রেণীর মধ্যেও রয়েছে যে প্রোগ্রামটির "কোনও দ্রুততম অ্যালগরিদম নেই"

— ভিজেএন

@ জনসিডলস আমি মনে করি না যে পি এর মধ্যে কোন জ্ঞানী ভাষার উপস্থিতি রয়েছে, এমনকি এনপি পিতে থাকলেও আমরা সম্ভবত সেগুলি আলাদা করে আলাদাভাবে আলাদা আলাদা পদ্ধতিতে অনুসন্ধান করতে এবং অন্যদের অনুসন্ধানের মাধ্যমে আলাদা করতে পারি।

— তাইফুন বেতন

Answer 1

আমি মনে করি যে আপনি যে প্রশ্নটি এখানে জিজ্ঞাসা করছেন তার সাথে এখানে একটি মৌলিক অন্তর্নিহিত অসুবিধা রয়েছে (এবং আপনি যে আপনার বোধগম্য ভাষা সম্পর্কে আপনার সম্পর্কিত প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করেছিলেন)।

মোটামুটিভাবে বললে, মনে হয় আপনি একটি ভাষা $L$ যেমন যে

তবে জেডএফসি জানে না যে L ∈ $L\in P$$L\in P$ ।

আপনার প্রশ্নের সমস্যাগুলি বোঝার জন্য, আমি মনে করি আপনাকে প্রথমে উপলব্ধি করতে হবে যে কোনও ভাষার এল এর অন্তর্নিহিত এবং এক্সটেনশনাল সংজ্ঞাগুলির মধ্যে একটি মৌলিক পার্থক্য রয়েছে । এক্সটেনশনালি, এল নির্ধারণ করা হয় কোন শব্দগুলি এল বা এর সদস্য নয় সেগুলি দ্বারা । এটি, দুটি ভাষা এল এবং এল ′$L$$L$$L$$L$$L'$ extensionally সমান যদি এবং কেবল যদি তারা সদস্য হিসেবে ঠিক একই শব্দ ধারণ করে। বিপরীতভাবে, একটি intensional সংজ্ঞা কিছু বর্ণনা অবস্থার একটি শব্দের জন্য হতে $L$$L$ । একটি টিউরিং মেশিন যা এল গ্রহণ করে$L$, বা একটি প্রথম-অর্ডার সূত্র এল এর । যা হ'ল এবং যদি কেবলমাত্র x ∈ এল , এর অন্তর্নিহিত সংজ্ঞা হিসাবে ভাবা যায়$\phi(x)$$x\in L$$L$

মুল বক্তব্যটি হ'ল পি এর প্রতিটি (এক্সটেনশনালি) এমন একটি বিবরণ স্বীকার করে যা অত্যন্ত সোজা, কারণ $L$$P$$P$ একটি তথাকথিত "সিনট্যাকটিক" জটিলতা শ্রেণি। যথা, কেবলমাত্র একটি বহুগুণে ক্লকড টিউরিং মেশিন নিন, এটি ঠিক সময় মতো পছন্দসইভাবে শেষ হয়। যেমন পিএ বা ZFC, যেমন করছেন গণিত, জন্য কোন "যুক্তিযুক্ত" সিস্টেম প্রমাণ করতে হবে যে সক্ষম হতে যাচ্ছে যদি আপনি এই সহজবোধ্য বর্ণনা ব্যবহার$L\in P$।$L$

সুতরাং আপনি যদি জেডএফসিকে বিভ্রান্ত করতে চান তবে আপনাকে কিছু (অন্তরঙ্গ) এর বিবরণ নিয়ে আসতে হবে করা হয় যে, "খুব জটিল" ZFC এর সহজবোধ্য বর্ণনা সমতুল্য হচ্ছে সনাক্ত করা এল । এটি সম্ভব, তবে কিছু দিক থেকে এটি আকর্ষণীয় হওয়া খুব সহজ। আপনাকে যা করতে হবে তা হ'ল আমরা জানি যে জেডএফসি বুঝতে পারে না (যেমন, নিজস্ব ধারাবাহিকতা) এবং এটিকেকোনওভাবে এল এর সংজ্ঞা দিয়ে মিশিয়ে ফেলুন। উদাহরণস্বরূপ, এখানে পূর্ণসংখ্যার একটি সেট বর্ণনা:$L$$L$$L$

হল সমান এবং x প্রমাণটি এনকোড করে না যে জেডএফসিটি অসঙ্গত।$x$$x$

ধরে নিই যে জেডএফসি সুসংগত, উপরের সূত্রটি এমনকি পূর্ণসংখ্যার সেটকে সংজ্ঞায়িত করে, তবে জেডএফসি এটি জানে না। কিছুটা বেশি ঝুঁকির সাথে, আমরা সহজেই এমনকী পূর্ণসংখ্যার সেটের বিবরণ পেতে পারি যা জেডএফএসি পি তে প্রমাণ করতে সক্ষম হবে না$P$ ।

ফল আপনি প্রত্যাশী করছি কারণ এটা কঠিন প্রমাণ করতে হবে যে যে যে সেখানে ভাষা যে পি যে বিষয়ে কারণ আমাদের জন্য "খুব জটিল" হয়, তাহলে আমার মনে হয় তুমি ভুল আপ ঘেউ ঘেউ গাছ। Extensionally, প্রতিটি ভাষা পি হয় পি তুচ্ছ কারণে। আপনি পি ভাষায় অসম্পূর্ণ বর্ণনামূলক বর্ণনামূলক বর্ণনার সাথে জলে জলে কাঁচা করতে পারেন , তবে এটি একটি সাধারণ কৌশল যা বিশেষ করে পি এর সাথে কোনও সম্পর্ক রাখে না , তাই আমি মনে করি না এটির বেশি অন্তর্দৃষ্টি পাওয়া যায়।$P\ne NP$$P$$P$$P$$P$$P$

Comments

টিমোথি, এই দুর্দান্ত রচনার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আমি কি সঠিকভাবে প্রশংসা করি যে পি এর মানক সংজ্ঞা - প্রতি অরোরা এবং বারাক কম্পিউটেশনাল কমপ্লেক্স िटी : একটি আধুনিক পদ্ধতির এবং / বা হার্টম্যানিসের সম্ভাব্য গণনা এবং প্রাপ্য জটিল জটিলতা , বা মিলেনিয়াম প্রাইজ স্টেটমেন্ট - এক্সটেনশনাল নয় ? তবুও সম্ভবত কিছু সমস্যা আরও ট্র্যাকটেবল হতে পারে যদি পি এর সংজ্ঞাটি যথাযথভাবে সংশোধন করা হয়, এই ভিত্তিতে যে (হার্টম্যানিস অনুসারে) "আমরা যদি কেবলমাত্র প্রমাণযোগ্য বিবেচনা করি তবে আমাদের অ্যালগরিদমের জটিলতার" বিশ্ব দৃষ্টিভঙ্গি "কীভাবে পরিবর্তন করা উচিত তা আরও অনুসন্ধান করতে হবে to অ্যালগরিদমের বৈশিষ্ট্য।

— জন সিডলস

@ জনসিডলস পি এর স্ট্যান্ডার্ড সংজ্ঞাটি হ'ল "সমস্ত ভাষার সেট যা কিছু পলটাইম টিএম সিদ্ধান্ত নিতে পারে"। কোনও ভাষা কীভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় (নিবিড়ভাবে বা এক্সটেনশনালভাবে) ছবিটি মোটেও প্রবেশ করে না: আমাদের কেবলমাত্র কোনও নির্দিষ্ট মেশিন কিছু নির্দিষ্ট ভাষা গ্রহণ করে তা প্রমাণ করার প্রয়োজন হলে এটি কেবলমাত্র ছবিতে প্রবেশ করে।

— সাশো নিকোলভ

সাশো, টিমোথি চৌ'র জবাবের জোর (যেমন আমি এটি পড়েছি) হ'ল "যদি আমরা পি কে এক্সটেনশনালিভাবে সংজ্ঞায়িত করি তবে পি-তে সদস্যপদ সিদ্ধান্ত নেওয়া ক্ষুদ্র।" আপনার মন্তব্যের জোর (যেমনটি আমি এটি পড়েছি) তা হ'ল বর্তমান সময়ের সম্মেলনের মাধ্যমে, " পি নিবিড়ভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে ।" এই দুটি পর্যবেক্ষণের সংমিশ্রণটি হার্টমানিসের এই মন্তব্যকে প্রশংসা করার দিকে পরিচালিত করে: "যদি আমরা কেবলমাত্র গণনাগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করি যা আনুষ্ঠানিকভাবে প্রমাণিত হতে পারে" তবে অ্যালগরিদমের জটিলতা সম্পর্কে ফলাফলগুলি বেশ আমূলভাবে পরিবর্তিত হয়। " এবং তাই আমরা স্বভাবতই আশ্চর্য হই যে, পি এর সংজ্ঞাটি কীভাবে বৈচিত্রপূর্ণ হতে পারে, যাতে আরও সহজে তাত্ত্বিকতা প্রমাণিত হয়।

— জন সিডলস

@ জন: আমি এক্সপোশনারি উদ্দেশ্যে "ইনটেনশনাল" এবং "এক্সটেনশনাল" পদটি চালু করেছি। পদগুলি আনুষ্ঠানিকভাবে গণিতে ব্যবহৃত হয় না। বিশেষত, আমি নিশ্চিত নই যে এটি " মানক সংজ্ঞা" -এ এই বিশেষণগুলি প্রয়োগ করতে সহায়তা করে । যাইহোক, আপনার অন্য বিষয়টি, যে পি সংজ্ঞায়নের বিভিন্ন উপায় অন্বেষণ ফলপ্রসূ হতে পারে, আমি তার সাথে একমত হতে পারি। $P$$P$

— টিমোথি চৌ চৌ

হ্যাঁ, জিনস্টিক এবং ট্রান্সসেন্টালেন্টাল সংজ্ঞাগুলি নীচের মতো বিবৃতি প্রমাণ করার দিকে (শেষ পর্যন্ত) দৃষ্টিভঙ্গি দিয়ে তৈরি করা হয়েছে: থিওরেম লেট পি ' এবং এনপি' পি এবং এনপি রেস এর জ্ঞাতীয় বিধিনিষেধ হ'ল। তারপরে পি ' । এনপি' । "জ্ঞানস্টিক" এর যথাযথ বিস্তৃত-তবু-প্রাকৃতিক সংজ্ঞার জন্য, এই জাতীয় প্রমাণ তুলনামূলকভাবে আলোকিত হতে পারে এবং এর তুলনামূলক ব্যবহারিক ফলস্বরূপ থাকতে পারে (পিও P এনপি ) প্রমাণ হিসাবে । এএএএএফসিটি, জুরিস হার্টম্যানিস প্রথম জটিলতার তাত্ত্বিকদের মধ্যে এই তদন্তের বিষয়টি গুরুত্বের সাথে অনুসরণ করেছিলেন।

— জন সিডলস

Answer 2

চতুর্থাংশ 1: $\:$
কিউ 2 নেই :$\:$ হ্যাঁ, বাইনারি-ইন-কমপক্ষে-কম-টু-1-এস

থিম: $\:$ কমপক্ষে 1 এর একটি কম্পিউটাবল রানটাইম এক্সপোঞ্জেন সহ প্রতিটি টিএম ট্রান্সসেন্টেন্টাল।

প্রুফ:
আসুন A এবং B পুনরাবৃত্তভাবে অবিচ্ছেদ্য সেট হতে দিন ।$\:$যাক একটি টুরিং মেশিন হতে যে উল্লেখ উ:$M_0$$\:$ কে একটি টিউরিং মেশিন হিসাবে বি হিসাবে গণ্য করা যাক Let$M_1$$\;\;$গণনীয় রানটাইম এক্সপোনেন্ট R সঙ্গে কোনো টুরিং মেশিন জন্য যখন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে [যদি এম 0 মি এর ঠিক ধাপে মেনে নেয় তবে আর + (1 / টি), এম 1 যদি ঠিকভাবে পদক্ষেপে এম গ্রহণ করে তবে r- (1 / t), অন্যথায় r], প্রতিটি আর মি অ- নেতিবাচক এবং গণনাযোগ্য এবং একটি সর্বদা আছে [যদি$\langle r_0,r_1,r_2,r_3,...\rangle$$M_0$$M_1$$r_m$$\:m\in A\:$ তাহলে ডি 1 এর বক্তব্যটি সত্য] এবং [যদি $\:m\in B\:$ তাহলে ডি 1 এর বক্তব্য মিথ্যা]। $\;\;$গণনীয় রানটাইম এক্সপোনেন্ট R সঙ্গে কোনো টুরিং মেশিন জন্য যখন উপরের হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যেহেতু এ এবং বি পুনরাবৃত্তভাবে অবিচ্ছেদ্য, তাই কমপক্ষে একটি মিটার রয়েছে যার জন্য আর মিটারের সাথে ডি 1 এর বক্তব্য না প্রমাণযোগ্য বা খণ্ডনযোগ্য নয়।$\langle r_0,r_1,r_2,r_3,...\rangle$$r_m$$\:$অতএব টুরিং মেশিন হ'ল ক্ষুদ্রতর ental


সংজ্ঞা:
কমপক্ষে-টু-1-ইন-বাইনারি হ'ল অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার সমষ্টি যা এর বাইনারি
উপস্থাপনায় কমপক্ষে দুটি 1 এস থাকে।$\:$ (বাজি আপনি কখনই অনুমান করতে পারবেন না ^ _ ^)

সংজ্ঞা:
এম হল টিউরিং মেশিন যা এর ইনপুটটির বাইনারি উপস্থাপনাটি স্ক্যান করে
, যদি এটি কমপক্ষে দুটি 1s খুঁজে পায় তবে গ্রহণ করে এবং অন্যথায় প্রত্যাখ্যান করে।

স্পষ্টতই, এম বাইনারি-এ কমপক্ষে-টু-1-1-ইন-বাইনারি স্থির করে এবং রানটাইম এক্সপোঞ্জার 1 রয়েছে এবং একটি ছোট রানটাইম এক্সপোঞ্জেন্ট সহ অন্য কোনও ট্যুরিং মেশিনও বাইনারি-এ অন্তত-দু'-1-ইন স্থির করে না।
trivially,$\: 1\leq 1 \:$$1$$\;\;$লেমা দ্বারা, এম দক্ষ এবং ট্রানসেন্টালেন্টাল।
এর অর্থ কমপক্ষে-কম-টু-1-ইন-বাইনারিটিও ট্রান্সইডেন্টাল।

সুতরাং টিপিসিসিসি হ'ল পিএ (এবং জেডএফসি) এর উপপাদ্য এবং
কমপক্ষে কমপক্ষে দুই-1-ইন-বাইনারি একটি কংক্রিট ট্রান্সইডেন্টাল ভাষা।

Comments

রিকি, আপনাকে অনেক ধন্যবাদ! এটা আপনার প্রতিভাশালী "এ-লিস্ট দুই 1s-ইন-বাইনারি" (ALT1siB) ভাষা ও টি এম এটি গ্রহণ ভাবা দিন সময় নিতে হবে ... আছে naturality এর কারণগুলো যে D1-5 হয় (আশা) নিশ্চিত করতে টিউন করা হয়েছে এবং এটি (আশাকরি) ALT1siB শ্রদ্ধা। "ALT1siB জটিলতা সম্পর্কে আমাদের কী শিক্ষা দেয়?" সম্পর্কিত অন্তর্দৃষ্টিগুলি বিশেষত চাওয়া হয় আপনি যদি এই বিষয়ে মন্তব্য দেওয়ার বিষয়ে চিন্তা করেন তবে তাদের কৃতজ্ঞতা জানানো হবে।

— জন সিডলস

(আপনি আশা করেই এটি উপলব্ধি করতে পারেন তবে) আমি কেবলমাত্র ALT1siB ব্যবহার করছি এটির সঠিক রৈখিক জটিলতা রয়েছে, তাই এটি জটিলতা সম্পর্কে আমাদের কিছু শেখায় না। $\:$ লেমা আমাদের যা শিখায় তা হ'ল বেশিরভাগ প্রাকৃতিক ট্যুরিং মেশিনগুলি ট্রান্সইেন্টালেন্টাল। $\;\;$

$r$

হুমম ... এটি অন্যভাবে বলার জন্য, যেহেতু ট্রান্সসিডেন্টাল সম্পর্কিত আমাদের সংজ্ঞাটি এতটাই বিস্তৃত যে (আপনার লেমমা অনুযায়ী) এমনকি টিএম এরও যে আমরা (মনে করি আমরা) ঠিক বুঝতে পেরেছি - এটি, টিএমের যেটিকে আমরা জ্ঞানবাদী হিসাবে বিবেচনা করি - বাস্তবে ট্রান্সসেন্টালেন্টাল, তারপরে "ট্রান্সসেন্টালাল" এর সংজ্ঞাটি সীমাবদ্ধ করা দরকার (আশা করি খুব কম)। উদাহরণ: আমরা আমাদের সাধারণ জ্ঞানের অন্তর্নিহিতাকে সম্মান জানাতে চাই যে টিএম যেগুলি একেএস প্রিমিটিটি পরীক্ষার মাধ্যমে আধ্যাত্মিকতা নির্ধারণ করে তারা জ্ঞানচর্চা হতে পারে না ট্রানসেন্টালেন্টাল। আপনার উত্তরটি দেখায় যে একটি (আশাবাদী নাবালিক) সংজ্ঞাযুক্ত সুরের প্রয়োজন ... তবে কী?

— জন সিডলস

রিকি, আমি অবাক হয়েছি যে আপনি মি , এস এবং টি এর জন্য সুস্পষ্ট সংজ্ঞা দেওয়ার জন্য আপনার উত্তরটি সম্পাদনা করতে মনস্থ করবেন কিনা । এটি যেমন দাঁড়িয়েছে, এই সংখ্যার সংজ্ঞাটি অনুমান করতে হবে এবং আমি কোনওভাবেই আত্মবিশ্বাসী নই যে আমি সঠিকভাবে অনুমান করেছি। বিশেষত, আমি কি সঠিকভাবে বুঝতে পেরেছি যে ডি 1- তে "আসল" কে "যুক্তিযুক্ত" তে পরিবর্তন করা আপনার পোস্ট (এএএফআইসিটি) দ্বারা চিহ্নিত ফাঁকটি বন্ধ করে দেবে, যেমন সংশোধিত ডি 1 এর অন্তত কিছু টিএম জিনস্টিক?

— জন সিডলস

Answer 3

$x_n := 2 + \sum_{i=0}^n [1/2^i \mbox{ if $i$ encodes a proof that $\bf{ZF}$ is inconsistent, and 0 otherwise}]$$n$$x_n$$x_n$$x := 2 + \sum_{i=0}^\infty [1/2^i \mbox{ if $i$ encodes a proof that $\bf{ZF}$ is inconsistent, and 0 otherwise}]$

$x$$\bf{ZF}$

$x > 1$$M'_x$$n$$N$$s$$N$$s$$|s|^x/\log(|s|)$ steps (this function is time-constructible, because $x$ is gnostic), and inverts the result. By the Recursion Theorem, we may choose $M_x$ to be $M'_x$ with a fixed index of $M_x$ as its first input. Then a standard argument (the Time Hierarchy Theorem) shows that $M_x$ has runtime $\mathcal O(|s|^y)$ precisely when $y\ge x$, and that $M_x$ is efficient for its language.

Therefore, for $x$ as in Definition 1, $M_x$ will run in time $\mathcal O(|s|^2)$ precisely if $x = 2$, ie if $\bf{ZF}$ is consistent; moreover this fact will itself be provable in $\bf ZF$. So [if $\bf ZF$ is consistent], $M_x$ is a [strongly and canonically] cryptic machine, and this fact will be provable in $\bf ZF + Con(\bf ZF)$.

However, $\bf ZF + \not Con(\bf ZF)$ proves that all languages in $\bf P$ are gnostic, since it proves that $\bf ZF$ proves that every language has runtime $\mathcal O(|s|^z)$ for every $z$. So it is undecidable in $\bf ZF$ whether any cryptic language exists.

To answer your second and third questions, the definition I gave above for $M_x$ is quite concrete; I don't think a full Turing machine description would be very illuminating. I suppose I could give a pseudo-code description of the program, though.

Comments

Ben, thank you for this carefully reasoned and thoughtfully phrased answer. It will take a few days to digest it ... I hope to comment in a week or so!

— John Sidles