রৈখিক স্বতন্ত্র ফুরিয়ার সহগ co

19

ভেক্টর স্পেস একটি মৌলিক সম্পত্তি যে একটি ভেক্টর স্থান মাত্রা এর দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে সুসংগত স্বাধীন রৈখিক সীমাবদ্ধতার - যে বিদ্যমান আছে সুসংগত স্বাধীন ভেক্টর যা এর অর্থেগোনাল । $V \subseteq \mathbb{F}_2^n$ $n-d$ $d$ $d$ $w_1, \ldots, w_d \in \mathbb{F}_2^n$ $V$

একটি ফুরিয়ার দৃষ্টিকোণ থেকে, এই বলে যে সূচক ফাংশন সমতূল্য এর করেছে সুসংগত স্বাধীন নন-জিরো ফুরিয়ার কোফিসিয়েন্টস। নোট করুন যে মোট -নন-জিরো ফুরিয়ার সহগ রয়েছে তবে তার মধ্যে কেবলমাত্র লাইনারি স্বতন্ত্র। $1_V$ $V$ $d$ $1_V$ $2^d$ $d$

আমি ভেক্টর স্পেসগুলির এই সম্পত্তিটির একটি আনুমানিক সংস্করণ খুঁজছি। বিশেষত, আমি নিম্নলিখিত ফর্মের একটি বিবৃতি খুঁজছি:

যাক আকার হওয়া । তারপর, সূচক ফাংশন হয়েছে সর্বাধিক সুসংগত স্বাধীন ফুরিয়ার কোফিসিয়েন্টস যার পরম মান অন্তত হয় । $S \subseteq \mathbb{F}_2^n$ $2^{n-d}$ $1_S$ $d\cdot\log(1/\varepsilon)$ $\varepsilon$

এই প্রশ্নটি একটি "কাঠামো বনাম র্যান্ডমনেস" দৃষ্টিকোণ থেকে দেখা যেতে পারে - স্বজ্ঞাতভাবে, এই জাতীয় দাবিতে বলা হয় যে প্রতিটি বৃহত সেট একটি ভেক্টর স্পেস এবং একটি ছোট পক্ষপাতদুষ্ট সেটকে একটি পরিমাণে পচে যেতে পারে। এটি সর্বজনবিদিত যে প্রতিটি ফাংশন কে একটি "লিনিয়ার অংশ" হিসাবে বিভক্ত করা যেতে পারে যার মধ্যে বড় ফুরিয়ার সহগ এবং একটি "সিউডোর্যান্ডম অংশ" রয়েছে যা ছোট পক্ষপাত রয়েছে । আমার প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করে যে লিনিয়ার অংশে কেবল লিনিয়ারে স্বতন্ত্র ফুরিয়ার সহগের সংখ্যা রয়েছে whether $f:\mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2$ $\mathrm{poly}(1/\varepsilon)$

— বা মীর
সূত্র

3

হাই বা, আপনি কি আপনার শেষ দাবির জন্য একটি উল্লেখ দিতে পারেন যে প্রতিটি ফাংশনটি একটি রৈখিক অংশ + সিউডোর্যান্ডম অংশে বিভক্ত হতে পারে? ধন্যবাদ!

— হেনরি ইউয়েন

2

এটি কোথায় প্রথম প্রকাশিত হয়েছিল সে সম্পর্কে আমি নিশ্চিত নই। এটা তোলে Parseval বৈষম্য সরাসরি সম্পুরক হল: Parseval থেকে, আপনি যে বুলিয়ান ফাংশন সর্বাধিক আছে পেতে

অক্ষর যার ফুরিয়ার কোফিসিয়েন্টস অন্তত পরম মান আছে

। এখন, "লিনিয়ার" অংশটি পরের অক্ষরের সমষ্টি হতে (একই সহগ সহ) এবং "সিউডোর্যান্ডম অংশ "টিকে অন্য সমস্ত অক্ষরের যোগফল (একই সহগ সহ) হিসাবে বিবেচনা করুন।

1 / ε^{2}

$1/\varepsilon^2$

ε

$\varepsilon$

— বা মায়ার

12

নিম্নলিখিতগুলি কি একটি পাল্টা উদাহরণ নয়?

এর সংখ্যাগরিষ্ঠ হওয়া যাক , এটি আকার এর একটি সূচক , সুতরাং । জন্য , আপনি তাই $f(x)$ $x_1, \ldots, x_{1/\epsilon^2}$ $2^n/2$ $d = 1$ $\hat{f}(\{i\}) = \Theta(\epsilon)$ $1 \le i \le 1/\epsilon^2$ $1/\epsilon^2$ রৈখিকভাবে স্বাধীন বড় ফুরিয়ার সহগ।

— পার অস্ট্রিন
সূত্র

9

সম্ভবত আপনি যা চান কখনও কখনও "চ্যাংসের লেমা" বা "তালাগ্র্যান্ডের লেমা" ... এখানে "স্তর -1 অসাম্য" নামে পরিচিত: http://analysisofbooleanfunitions.org/?p=885

$1_S$ $2^{-d}$ $\gamma 2^{-d}$ $O(d/\gamma^2)$ $F_2$

— রায়ান ও'ডনেল
সূত্র

ϵ

$\epsilon$

γ

$\gamma$