এলোমেলোভাবে ইনক্রিমেন্টাল ডেলাউন ট্রায়াঙ্গুলেশন অ্যালগরিদমের সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতি কী?

আমি জানি যে র্যান্ডমাইজড ইনক্রিমেন্টাল ডেলাউন ট্রাইঙ্গুলেশন অ্যালগরিদম ( গণনা জ্যামিতিতে প্রদত্ত ) এর প্রত্যাশিত সবচেয়ে খারাপতম রানটাইমটি হ'ল ম্যাথক্যাল । একটি অনুশীলন রয়েছে যা সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে রানটাইম বোঝায় is । আমি উদাহরণ তৈরি করার চেষ্টা করেছি যেখানে এটি আসলে ক্ষেত্রে তবে এখনও সফল হয়নি। $\mathcal O(n \log n)$ $\Omega(n^2)$

সেই চেষ্টা এক ব্যবস্থা এবং এমনভাবে যেমন যে, যখন একটি বিন্দু যুক্ত করতে বিন্দু সেট অর্ডার ছিল ধাপে প্রায় প্রান্ত নির্মিত হয়। $p_r$ $r$ $r-1$

আরেকটি পদ্ধতির মধ্যে পয়েন্ট-লোকেশন কাঠামো জড়িত থাকতে পারে: পয়েন্টগুলি এমনভাবে সাজানোর চেষ্টা করুন যাতে পয়েন্ট ধাপে চিহ্নিত করার জন্য পয়েন্ট-লোকেশন কাঠামোয় নেওয়া পথ যতটা সম্ভব দীর্ঘ হয়। $p_r$ $r$

তবুও, আমি নিশ্চিত নই যে এই দুটি পদ্ধতির মধ্যে কোনটি সঠিক (যদি আদৌ) এবং কিছু ইঙ্গিতের জন্য খুশি হবে।

— Tedil
সূত্র

বক্ররেখা উপর সব পয়েন্ট স্থাপন করার চেষ্টা করুন কিছু সঠিকভাবে বাছাই জন্য ।

y = x^{r}

$y = x^r$

r

$r$

— পিটার শর

প্রথম পদ্ধতির নিম্নলিখিত হিসাবে আনুষ্ঠানিক করা যেতে পারে।

দিন $P$ একটি স্বেচ্ছাসেবক সেট হতে $n$ প্যারাবোলার ধনাত্মক শাখার দিকে নির্দেশ করে $y=x^2$ ; এটাই,

পি = {({টি}_{1}, {টি}_{1}^{2}), ({টি}_{2}, {টি}_{2}^{2}), ..., ({টি}_{এন}, {টি}_{এন}^{2})}

$P = \{ (t_1, t_1^2), (t_2, t_2^2), \dots, (t_n, t_n^2) \}$ কিছু ইতিবাচক বাস্তব সংখ্যা জন্য

t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}

$t_1, t_2, \dots, t_n$ । সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই, ধরে নিন এই পয়েন্টগুলি ক্রমবর্ধমান ক্রমের সাথে সূচিত হয়:

0 < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{n}

$0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n$ ।

দাবি: এর ডেলাউন ট্রাইঙ্গুলেশনে $P$ , বামতম পয়েন্ট $(t_1, t_1^2)$ হ'ল প্রতিটি পয়েন্টের প্রতিবেশী $P$ ।

এই দাবিটি বোঝায় যে একটি নতুন পয়েন্ট যুক্ত করা হয়েছে $(t_0, t_0^2)$ প্রতি $P$ সঙ্গে $0 < t_0 < t_1$ জোড়ে $n$ ডেলাউন ট্রায়াঙ্গুলেশনে নতুন প্রান্ত। সুতরাং, inductively, যদি আমরা ক্রমবর্ধমান ডেলাউন এর ত্রিভুজ্যরণ চুক্তি $P$ ডান থেকে বাম ক্রমে পয়েন্টগুলি সন্নিবেশ করে , তৈরি করা ডেলাউন প্রান্তের মোট সংখ্যা $\Omega(n^2)$ ।

আমরা দাবিটি নীচের হিসাবে প্রমাণ করতে পারি। যে কোনও বাস্তব মূল্যবোধের জন্য $0<a<b<c$ , দিন $C(a,b,c)$ পয়েন্টগুলির মাধ্যমে অনন্য বৃত্তটি চিহ্নিত করুন ote $(a,a^2), (b,b^2), (c,c^2)$ ।

থিম: $C(a,b,c)$ কোন পয়েন্ট থাকে না $(t,t^2)$ কোথায় $a<t<b$ অথবা $c<t$ ।

প্রুফ: যে চারটি পয়েন্ট স্মরণ করুন $(a,b), (c,d), (e,f), (g,h)$ cocircular হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি

| \begin{matrix} 1 & একটি & খ & {একটি}^{2} + + খ^{2} \\ 1 & গ & ঘ & গ^{2} + + ঘ^{2} \\ 1 & ই & চ & ই^{2} + + চ^{2} \\ 1 & ছ & জ & ছ^{2} + + জ^{2} \end{matrix} | = 0

$\begin{vmatrix} 1 & a & b & a^2 + b^2 \\ 1 & c & d & c^2 + d^2 \\ 1 & e & f & e^2 + f^2 \\ 1 & g & h & g^2 + h^2 \\ \end{vmatrix} = 0$ সুতরাং, একটি পয়েন্ট

(t, t^{2})

$(t,t^2)$ বৃত্তে থাকা

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$ যদি এবং কেবল যদি

| \begin{matrix} 1 & একটি & {একটি}^{2} & {একটি}^{2} + + {একটি}^{4} \\ 1 & খ & খ^{2} & খ^{2} + + খ^{4} \\ 1 & গ & গ^{2} & গ^{2} + + গ^{4} \\ 1 & টি & {টি}^{2} & {টি}^{2} + + {টি}^{4} \end{matrix} | = 0

$\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 & a^2 + a^4 \\ 1 & b & b^2 & b^2 + b^4 \\ 1 & c & c^2 & c^2 + c^4 \\ 1 & t & t^2 & t^2 + t^4 \\ \end{vmatrix} = 0$ এটিকে প্রসারিত এবং ফ্যাক্টর করতে শক্ত নয় (উদাহরণস্বরূপ, ওল্ফ্রাম আলফাকে জিজ্ঞাসা করুন)

4 \times 4

$4\times4$ নিম্নলিখিত ফর্ম মধ্যে নির্ধারক:

\begin{matrix} (*) & (a - b) (a - c) (b - c) (a - t) (b - t) (c - t) (a + b + c + t) = 0 \end{matrix}

$(a-b)(a-c)(b-c)(a-t)(b-t)(c-t)(a+b+c+t) = 0 \tag{$*$}$ সুতরাং,

(t, t^{2})

$(t,t^2)$ মিথ্যা

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$ যদি এবং কেবল যদি

t = a

$t=a$ ,

t = b

$t=b$ ,

t = c

$t=c$ , বা

t = - a - b - c < 0

$t=-a-b-c < 0$ । তাছাড়া, কারণ

0 < a < b < c

$0<a<b<c$ , এই চারটি শিকড় আলাদা, যা বোঝায় যে প্যারাবোলা আসলে ক্রস করে

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$ এই চারটি পয়েন্টে। এটা যে অনুসরণ করে

(t, t^{2})

$(t,t^2)$ ভিতরে মিথ্যা

C (a, b, c)

$C(a,b,c)$ যদি এবং কেবল যদি

- a - b - c < t < a

$-a-b-c<t<a$ অথবা

b < t < c

$b<t<c$ ।

◻

$\qquad\Box$

— Jeffε
সূত্র

আপনাকে ধন্যবাদ, যদিও আমি আসলে কেবল একটি ইঙ্গিত চেয়েছিলাম (প্রমাণ ছাড়াই);

— টেডিল