অনন্য সমাধানযোগ্য ধাঁধা (ইউএসপি) এর ক্ষমতা

ম্যাট্রিক্স গুণনের জন্য তাদের সিমনাল পেপার গ্রুপ-তাত্ত্বিক অ্যালগোরিদমগুলিতে কোহন, ক্লেইনবার্গ, সেজেগডি এবং উমানস অনন্যভাবে সমাধানযোগ্য পাজল (নীচে সংজ্ঞায়িত) এবং ইউএসপি ক্ষমতা ধারণার প্রবর্তন করেন। তারা দাবি করেন যে কপারস্মিথ এবং উইনোগ্রাড, পাটিগণিত অগ্রগতির মাধ্যমে নিজস্ব গ্রাউন্ডব্রেকিং পেপার ম্যাট্রিক্সের গুণকে "স্পষ্টতই" প্রমাণ করেছেন যে ইউএসপি ক্ষমতাটি 3/2 is । এই দাবিটি আরও বেশ কয়েকটি জায়গায় পুনর্বিবেচিত হয়েছে (এখানে সিস্টিওরিয়াসহ), তবুও কোথাও এর ব্যাখ্যা খুঁজে পাওয়া যায়নি। নীচে কপারস্মিথ এবং উইনোগ্রেড কী প্রমাণিত করে এবং এটি কেন পর্যাপ্ত নয় সে সম্পর্কে আমার নিজের বোঝার নীচে। $3/2^{2/3}$

এটি কি সত্য যে ইউএসপি ক্ষমতা 3/2 ? যদি তাই হয়, প্রমাণের জন্য কোনও রেফারেন্স আছে? $3/2^{2/3}$

অনন্যভাবে সমাধানযোগ্য ধাঁধা

দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ একটি স্বতন্ত্রভাবে দ্রবণযোগ্য ধাঁধা (ইউএসপি) এর আকার 2 এর উপসেট থাকে , যা আমরা তিনটি "টুকরো" সংগ্রহ হিসাবেও মনে করি (এর সাথে মিল রেখে) নীচের সম্পত্তিটি সন্তুষ্ট করে যেখানে ভেক্টরগুলি , যেখানে তারা এবং যে জায়গাগুলি তারা রয়েছে ) places ধরা যাক আমরা সমস্ত পিসগুলি লাইনে সাজিয়েছি । তারপরে অবশ্যই অন্যান্য লাইনে প্রতিটি টুকরো, অন্য একটি টুকরো রাখার একটি অনন্য উপায় থাকতে হবে যাতে তারা "ফিট" হয়। $n$ $k$ $\{1,2,3\}^k$ $n$ $n$ $1$ $2$ $3$ $1$ $n$

যাক প্রস্থ এর USP সর্বাধিক দৈর্ঘ্য হতে । USP ধারণক্ষমতা হয় একটি ইউএসপিতে, প্রতিটি টুকরোটি অনন্য হওয়া দরকার - এর অর্থ হ'ল কোনও দুটি লাইনে ঠিক একই জায়গায় চিহ্ন নেই । এটি (একটি সংক্ষিপ্ত যুক্তির পরে) দেখায় যে এবং তাই । $N(k)$ $k$

κ = sup_{k} N (k)^{1 / k} .

$\kappa = \sup_k N(k)^{1/k}.$

c \in {1, 2, 3}

$c \in \{1,2,3\}$

N (k) \leq \sum_{a + b + c = k} min {(\binom{k}{a}), (\binom{k}{b}), (\binom{k}{c})} \leq (\binom{k + 2}{2}) (\binom{k}{k / 3}),

$N(k) \leq \sum_{a+b+c=k} \min \left\{ \binom{k}{a}, \binom{k}{b}, \binom{k}{c} \right\} \leq \binom{k+2}{2} \binom{k}{k/3},$

κ \leq 3 / 2^{2 / 3}

$\kappa \leq 3/2^{2/3}$

উদাহরণ (দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের ইউএসপি ): length দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ এর অ-উদাহরণ , যেখানে - এবং - খণ্ড দুটি পৃথক উপায়ে সাজানো যেতে পারে: $4$ $4$

\begin{aligned} 1111 \\ 2131 \\ 1213 \\ 2233 \end{aligned}

$\begin{align*} 1111 \\ 2131 \\ 1213 \\ 2233 \end{align*}$

3

$3$

3

$3$

2

$2$

3

$3$

\begin{aligned} 123 & 132 \\ 231 & 321 \\ 312 & 213 \end{aligned}

$\begin{align*} 123 && 132 \\ 231 && 321 \\ 312 && 213 \end{align*}$

তামা-উইনোগ্রাড ধাঁধা

একজন কপারস্মিথ-Winograd দৈর্ঘ্যের ধাঁধা (CWP) এবং প্রস্থ একটি উপসেট নিয়ে গঠিত এর আকারের জন্য কোন দুটি - যা মধ্যে "টুকরা" অনন্য এবং , (তারা এটিকে কিছুটা আলাদাভাবে উপস্থাপন করে)) $n$ $k$ $S$ $\{1,2,3\}^k$ $n$ $a \neq b \in S$ $c \in \{1,2,3\}$

{i \in [k] : a_{i} = c} \neq {i \in [k] : b_{i} = c} .

$\{ i \in [k] : a_i = c \} \neq \{ i \in [k] : b_i = c \}.$

প্রতিটি ইউএসপি হ'ল সিডাব্লুপি (যেমন আমরা উপরে মন্তব্য করেছি), তাই সিডাব্লুপি ক্ষমতা সন্তুষ্ট । উপরে আমরা মন্তব্য করেছি যে । কপারস্মিথ এবং Winograd দেখিয়েছেন, একটি অত্যাধুনিক যুক্তি ব্যবহার করে, যে । তাদের যুক্তি স্ট্রাসেন দ্বারা সরল করা হয়েছিল ( বীজগণিত জটিলতার তত্ত্বটি দেখুন )। আমরা নীচে একটি সহজ প্রমাণ স্কেচ। $\lambda$ $\lambda \geq \kappa$ $\lambda \leq 3/2^{2/3}$ $\lambda = 3/2^{2/3}$

প্রদত্ত , এস, এস, এস এর প্রতিটি থাকা সমস্ত ভেক্টর সমন্বিত থাকতে দিন । জন্য যাক সবকিছুর যুগল গঠিত যেমন যে , এবং । গ্রাফের প্রতিটি স্বতন্ত্র সেট একটি সিডব্লিউপি। এটি সুপরিচিত যে প্রতিটি গ্রাফের আকারের একটি পৃথক আকার আছে(প্রমাণ: সম্ভাব্যতার সাথে প্রতিটি শীর্ষবিন্দু নির্বাচন করুন এবং প্রতিটি বেঁচে থাকা প্রান্ত থেকে একটি ভার্টেক্স সরিয়ে নিন)। আমাদের ক্ষেত্রে, $k$ $V$ $k/3$ $1$ $2$ $3$ $c \in \{1,2,3\}$ $E_c$ $a,b \in V$ $\{ i \in [k] : a_i = c \} = \{ i \in [k] : b_i = c \}$ $E = E_1 \cup E_2 \cup E_3$ $G = (V,E)$ $|V|^2/4|E|$ $|V|/2|E|$

| V | = (\binom{k}{k / 3}) (\binom{2 k / 3}{k / 3}), | E | \leq 3 | E_{1} | = \frac{3}{2} (\binom{k}{k / 3}) {(\binom{2 k / 3}{k / 3})}^{2} .

$|V| = \binom{k}{k/3} \binom{2k/3}{k/3}, \quad |E| \leq 3|E_1| = \frac{3}{2}\binom{k}{k/3} \binom{2k/3}{k/3}^2.$ অতএব

\frac{| V |^{2}}{4 | E |} = \frac{1}{6} (\binom{k}{k / 3}) ⟹ λ \geq \frac{3}{2^{2 / 3}} .

$\frac{|V|^2}{4|E|} = \frac{1}{6} \binom{k}{k/3} \Longrightarrow \lambda \geq \frac{3}{2^{2/3}}.$

— যুবাল ফিল্ম
সূত্র

আকর্ষণীয়, তবে এখানে কি একটি প্রশ্ন রয়েছে, বা এটি কেবল সাহিত্যের কোনও ত্রুটির প্রতিপত্তি?

— ডেভিড এপস্টিন

প্রশ্নটি সত্য যে ইউএসপি ক্ষমতা 3/2 , এবং যদি তাই হয় তবে কোথায় প্রমাণ পাওয়া যাবে whether

3 / 2^{2 / 3}

$3/2^{2/3}$

— যুবাল ফিল্মাস

অন্যান্য অনেক প্রশ্নের মতো, এগুলির উত্তর পাওয়া যাবে স্টাদার্সের থিসিসে। একজন স্থানীয় USP একটি CWP যদি তাদের ইউনিয়ন রয়েছে যা একমাত্র উপায় যা একটি 1 টুকরা, 2 টুকরা এবং একটি 3 টুকরা একসঙ্গে ফিট করতে পারে হয় । স্পষ্টতই একটি স্থানীয় ইউএসপি হ'ল ইউএসপি, এবং [সিকেএসইউ] এর একটি নির্মাণ দেখায় যে ইউএসপি ক্ষমতা স্থানীয় ইউএসপি দ্বারা অর্জন করা হয়েছে (আমরা এটি গঠনমূলকভাবে দেখাব)। $S$

কপারস্মিথ এবং উইনোগ্রাড নিম্নোক্ত দুটি বৈশিষ্ট্য সহ তে প্রায় 2 বুদ্ধিমান স্বাধীন বিতরণ করে : (1) , (2) কোন যেমন যে 1 টুকরা , এর 2 টুকরা এবং 3-টুকরা একসঙ্গে একটি ভেক্টর গঠন যদি পরে । $S$ $2^V$ $\Pr[x \in S] = (|V|/2|E|)^{1-\epsilon}$ $x,y,z \in V$ $x$ $y$ $z$ $w \in V$ $x,y,z \in S$ $w \in S$

আমরা একটি র্যান্ডম উপসেট চয়ন এর বন্টন অনুযায়ী, এবং প্রতিটি প্রান্ত জন্য , আমরা অপসারণ উভয় ছেদচিহ্ন । ছেদচিহ্ন বাম প্রত্যাশিত সংখ্যা প্রায় হয় । ফলস্বরূপ সেট একটি স্থানীয় ইউএসপি: যদি তে থাকে যেখানে এর 1-টুকরা, এর 2-টুকরা এবং 3-টুকরা ফিট করে একটি টুকরো , তবে এবং তাই এর থেকে সরানো হয় । $S$ $V$ $(x,y) \in E$ $x,y$ $(|V|^2/2|E|)^{1-\epsilon}$ $T$ $x,y,z \in T$ $x$ $y$ $z$ $w$ $x,y,z,w \in S$ $x,y,z$ $S$

— যুবাল ফিল্ম
সূত্র