জোড়া লাগা দূরত্বে ত্রুটির যোগফলকে কমাতে গোলাকার

নিম্নলিখিত সমস্যার জটিলতা সম্পর্কে যা জানা যায়:

প্রদত্ত: যৌক্তিক সংখ্যা । $x_1 < x_2 < \dotso < x_n$
আউটপুট: পূর্ণসংখ্যা । $y_1 \le y_2 \le \dotso \le y_n$
উদ্দেশ্য: ন্যূনতম যেখানে $\sum_{1 \leq i < j \leq n} e (i, j),$ $\sum_{1 \le i < j \le n} e(i,j),$ $e (i, j) = | (y_{j} - y_{i}) - (x_{j} - x_{i}) | .$ $e(i,j) = | (y_j-y_i) - (x_j-x_i)|.$

এটি হ'ল আমরা যুক্তি সংখ্যার সাথে সংখ্যাসূচকভাবে গোল করতে চাই যাতে আমরা জোড়া লাগা দূরত্বে ত্রুটির যোগফলকে হ্রাস করি। প্রতিটি জোড় আমরা যথাসম্ভব এর বৃত্তাকার দূরত্ব রাখতে চাই । $i, j$ $y_j-y_i$ $x_j-x_i$

অনুপ্রেরণা: বিরক্তিকর মেট্রো ট্রিপ এবং ভ্রমণের সময়টির এক মিনিটের রেজোলিউশনে স্টেশনগুলির "অবস্থানগুলি" দেখানো একটি পোস্টার। এখানে আমরা ত্রুটি কমানোর যে মানুষ যদি তারা পোস্টার ব্যবহার স্টেশনগুলির মধ্যে ভ্রমণ চোখ তুলে তাকানোর সময় করতে এবং , সমস্ত জোড়া ওভার গড় । $i$ $j$ $i<j$

রাস্তার মানচিত্র

(সূত্র)

উদাহরণস্বরূপ, আমরা এখানে চারটি স্টেশনের (জোড়ের জন্য এ, বি, সি, ডি ব্যবহার করে) জোড়া লাগানোর দূরত্বগুলির নিম্নলিখিত অনুমানগুলি পড়তে পারি:

A – B ≈ 1 মিনিট, B – C ≈ 2 মিনিট, C – D ≈ 2 মিনিট
A – C ≈ 3 মিনিট, বি – ডি ≈ 4 মিনিট
একটি – ডি ≈ 5 মিনিট

এটি কি সর্বোত্তম সম্ভাব্যতা? আপনি যদি ভ্রমণের আসল সময়গুলি জানতেন তবে আপনি কি আরও ভাল সমাধান খুঁজে পেতে পারেন?

প্রথমদিকে, এটি গতিশীল প্রোগ্রামিংয়ের একটি সাধারণ অনুশীলনের মতো মনে হয়েছিল, তবে এখন মনে হচ্ছে কিছুটা প্রকৃত চিন্তাভাবনা প্রয়োজন।

এই সমস্যাটি কি কেউ চিনতে পারে? অথবা এটি সমাধানের জন্য একটি চতুর অ্যালগরিদম দেখুন?

সম্পাদনা: প্রশ্নের কয়েকটি প্রাকৃতিক রূপ রয়েছে যা মন্তব্যে উল্লেখ করা হয়েছে; আসুন তাদের কিছু নাম দিন:

মেঝে / সিল সংস্করণ: এটি required all । $y_i \in \{ \lfloor x_i \rfloor, \lceil x_i \rceil \}$ $i$
পূর্ণসংখ্যা সংস্করণ: সমস্ত জন্য যথেষ্ট । $y_i \in \mathbb{Z}$ $i$
একঘেয়ে সংস্করণ: এটি দরকার যে । $y_1 \le y_2 \le \dotso \le y_n$
নন-একঘেয়ে সংস্করণ: আমরা জন্য । $y_i > y_j$ $i < j$

মূল প্রশ্নটি মনোটোনিক পূর্ণসংখ্যা সংস্করণ হিসাবে বিবেচনা করে তবে এই সংস্করণের যে কোনওটির সাথে সম্পর্কিত উত্তরগুলি স্বাগত।

ds.algorithms reference-request optimization

— জুক্কা সুমেলা
সূত্র

আপনি কেবল সংলগ্ন পরিমাপের যত্ন নেওয়ার ক্ষেত্রে কী ডিপি কাজ করে?

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ সুরেশভেঙ্কট: আসলে, সেই ক্ষেত্রে সমস্যাটি খুব সহজ হয়ে যায়: আপনি কেবলমাত্র প্রতিটি জন্য সেরা অবিচ্ছেদ্য দূরত্ব নির্বাচন করুন । অর্থাৎ আপনি প্রতিটি স্বতন্ত্রভাবে ছোট করতে পারবেন ।

y_{i} - y_{i - 1}

$y_i - y_{i-1}$

i

$i$

e (i - 1, i)

$e(i-1,i)$

— জুলকা সুমেলা

এস্টি আরকিনের এই প্রতিবেদন সম্পর্কিত বলে মনে হচ্ছে: ams.sunysb.edu/~estie/papers/beautiifications.pdf প্রমাণিত হয়েছে যে আউটপুটে স্বতন্ত্র আন্তঃ-পয়েন্ট দূরত্বের সংখ্যা হ্রাস করা এনপি-হার্ড। এই প্রশ্নগুলির মতো এটি স্থানান্তরের মোট যোগফল নয়, তবে প্রতিবেদনে থাকা কঠোরতা গ্যাজেটগুলি এই সমস্যার জন্য কঠোরতার প্রমাণ দিতে পারে।

— Val

আমার অনুভূতি আছে যে সুপরিচিত কৌশলগুলি ব্যবহার করে এই সমস্যাটি অবশ্যই সমাধানযোগ্য হবে। আসুন দেখে নেওয়া যাক যে লোকেরা এটি সমাধান করতে উদ্বুদ্ধ করতে যথেষ্ট পরিমাণে যথেষ্ট enough :)

— Jukka Suomela

@ ভিজেএন: আমি এই সমস্যার গণ্য জটিলতায় আগ্রহী। আপনি যদি প্রমাণ করতে পারেন যে একটি বহু-সময়ীয় স্থানীয় অনুসন্ধান পদ্ধতি রয়েছে যা বিশ্বব্যাপী সর্বোত্তম খুঁজে পাওয়ার গ্যারান্টিযুক্ত , অনুগ্রহ আপনার।

— Jukka Suomela

উত্তর:

ঠিক আছে. ডিপি অ্যালগরিদম অযথা জটিল বলে মনে হচ্ছে। মন্তব্যগুলি পড়ার পরে আমি মনে করি এটি সমস্যার একজাতীয় সংস্করণটি সমাধান করতে পারে (তবে আমি প্রতিটি বিবরণ পরীক্ষা করে দেখিনি)।

প্রথমে প্রতিটি , যেখানে হল অবিচ্ছেদ্য অংশ, ভগ্নাংশ। ধরে হয় বৃত্তাকার থেকে , যেখানে নন-নেগেটিভ পূর্ণসংখ্যা (সাধারণ কোর্সের নেতিবাচক হতে পারে, কিন্তু আমরা সবসময় তাই নামান করতে পারে ক্ষুদ্রতম 0)। $x_i = \lfloor x_i\rfloor +\{x_i\}$ $\lfloor x_i\rfloor$ $\{x_i\}$ $x_i$ $\lfloor x_i \rfloor + v_i$ $v_i$ $v_i$ $v_i$

এই রাউন্ডিংটি করার সময় এখন , জোড়ার জন্য বিবেচনা করুন । ব্যয় হওয়া উচিত $x_i$ $x_j$

| | v_{i} - v_{j} + ⌊ x_{i} ⌋ - ⌊ x_{j} ⌋ | - | {x_{i}} - {x_{j}} + ⌊ x_{i} ⌋ - ⌊ x_{j} ⌋ | |

$||v_i-v_j+ \lfloor x_i\rfloor - \lfloor x_j\rfloor| - |\{x_i\}-\{x_j\} + \lfloor x_i\rfloor - \lfloor x_j\rfloor||$

পরম মানগুলির কারণে প্রকাশটি জটিল। তবে খেয়াল করুন যে আমাদের একঘেয়েমি রয়েছে তাই দুটি অভ্যন্তরের পরম মানগুলির মধ্যে একই চিহ্ন থাকতে হবে। যেহেতু আমাদের একটি বহিরাগত পরম মান রয়েছে তাই সেই চিহ্নটি কী তা তা সত্যই বিবেচ্য নয়, অভিব্যক্তিটি কেবল সরল করে

| v_{i} - v_{j} - ({x_{i}} - {x_{j}}) |

$|v_i-v_j - (\{x_i\} - \{x_j\})|$

এখন থেকে আমরা সমাধানটি একঘেয়ে কথা বলে ধরে নিই, তবে পরিবর্তে, আমরা সমস্ত জোড়ের জন্য উপরের পদটির যোগফলকে হ্রাস করার উদ্দেশ্যটি পরিবর্তন করি। যদি এই সমস্যার সমাধানটি একঘেয়ে হয়ে যায় তবে অবশ্যই এটি একঘেয়ে সংস্করণের সর্বোত্তম সমাধান। (এটিকে ভাবুন: সমাধানটি একঘেয়ে না হলে মূল সমস্যাটির একটি অসীম জরিমানা থাকে, নতুন সমস্যাটিতে আরও ছোট জরিমানা থাকে, যদি একরোটিক সমাধানটি নতুন সংস্করণে জিতও হয় তবে এটি অবশ্যই মনোোটনিক সংস্করণের সমাধান হতে পারে)

এখন আমরা প্রমাণ করতে চাই, যদি solution , সর্বোত্তম সমাধানে আমাদের অবশ্যই থাকা উচিত । $\{x_i\} > \{x_j\}$ $v_i \ge v_j$

ধরুন এটি সত্য নয়, আমাদের একটি জুটি তবে । আমরা দেখাব যে আমরা যদি অদলবদল তবে সমাধানটি আরও ভাল হয়ে যায়। $\{x_i\} > \{x_j\}$ $v_i < v_j$ $v_i$ $v_j$

প্রথমে আমরা এবং মধ্যে শব্দটির তুলনা , এখানে এটি স্পষ্টভাবে স্পষ্ট হয়েছে যে অদলবদল কঠোরভাবে ভাল কারণ অ-অদলবদল সংস্করণে, এবং the একই চিহ্ন রয়েছে, পরম মান দুটি পরম মানগুলির যোগফল হবে। $i$ $j$ $v_i-v_j$ $\{x_j\}-\{x_i\}$

এখন যে কোনও জন্য আমরা জোড়া এবং এর যোগফলের তুলনা । অর্থাৎ আমাদের তুলনা করা দরকার $k$ $(i,k)$ $(j,k)$

$|v_i-v_k-(\{x_i\}-\{x_k\})|+|v_j-v_k-(\{x_j\}-\{x_k\})|$ এবং। $|v_j-v_k-(\{x_i\}-\{x_k\})|+|v_i-v_k-(\{x_j\}-\{x_k\})|$

ব্যবহারের , , , পরম মান ভিতরে চার পদ বোঝাতে, এটা পরিষ্কার যে । এছাড়াও এটি পরিষ্কার যে। পরম মানের উত্তেজনা দ্বারা, আমরা জানি। সমস্ত এর সমষ্টি গ্রহণ করুন , আমরা জানি যে অদলবদল আরও ভাল। $A$ $B$ $C$ $D$ $A+B = C+D$ $|A-B| \ge |C-D|$ $|A|+|B| \ge |C|+|D|$ $x_k$

লক্ষ্য করুন যে এখন আমাদের মনোোটোনিক ফ্লোর / সিল সংস্করণের সমাধান রয়েছে: সেখানে একটি থ্রোসোল্ড থাকতে হবে, যখন always bigger সর্বদা বড় থাকে, যখন এটি সর্বদা ছোট হয়, যখন এটি কিছুটা সমান হয় এবং কিছুটা নিচে, যদিও সমাধানের মানটি কেবল সংখ্যার উপর নির্ভর করে। আমরা এই সমস্ত সমাধানগুলি গণনা করি এবং ক্ষুদ্রতম উদ্দেশ্যমূলক কার্যকারিতা সহ একটি চয়ন করি। (এই সমস্ত সমাধান অগত্যা একঘেয়ে করা হয়)। $\{x_i\}$

অবশেষে আমরা সমস্যার একঘেয়ে ইন্টিজার সংস্করণে যেতে চাই। আমরা বাস্তবে সর্বোত্তম সমাধানটি মনোোটোনিক ফ্লোর / সিল সংস্করণের মতোই প্রমাণ করতে পারি।

আমরা অধিকৃত হিসাবে, ক্ষুদ্রতম 0. গ্রুপের সব এর তাদের মতে এর, এবং কল তাদের গ্রুপ । আমরা প্রথমে প্রমাণ করব যে কোনও খালি গোষ্ঠী নেই, তবে এটি সহজ, যদি গোষ্ঠী খালি থাকে তবে যে কোনও কেবল । উদ্দেশ্য ফাংশন সর্বদা উন্নত হয় তা দেখতে সহজ (মূলত কারণ )। $v_i$ $x_i$ $v_i$ $0,1,2,...,\max\{v_i\}$ $k$ $v_i > k$ $v_i = v_i-1$ $|\{x_i\}-\{x_j\}| < 1$

এখন আমরা প্রমাণ হইবে গড় দলের অন্তত গড় দলের প্লাস । এটি সত্য না কেবল সকল জন্য গণনা আবার উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনটির উন্নতি দেখায়। $\{x_i\}$ $k+1$ $\{x_i\}$ $k$ $1/2$ $v_i = v_i-1$ $v_i > k$

যেহেতু of এর গড় পরিধি , তাই সেখানে বেশিরভাগ দুটি গ্রুপ রয়েছে, যা মেঝে / সিল সংস্করণের সাথে মিলে যায়। $\{x_i\}$ $[0,1)$

— রং জি
সূত্র

কেবল একটি বর্ধিত মন্তব্য ... (সম্ভবত তুচ্ছ এবং / অথবা ভুল :)

তাহলে এবং লঘিষ্ট সাধারণ গুণিতক হয় গুলি, তাহলে আমরা rationals পরিত্রাণ পেতে পারেন: । $x_i = a_i / b_i$ $M$ $b_i$ $x'_i = M*x_i$

যদি (মেঝে, সিল সীমাবদ্ধতা) হয় তবে আমরা ( এর দূরত্ব ব্যবহার করে প্রকাশ করতে বাইনারি ভেরিয়েবলগুলি ব্যবহার করতে বা ): $y_i \in \{ \lceil x_i \rceil, \lfloor x_i \rfloor \}$ $v_i$ $y'_i$ $x'_i$ $L_i = x'_i - M*\lfloor x_i \rfloor$ $R_i = x'_i - M*\lceil x_i \rceil$

$y'_i = x'_i + L_i * v_i + R_i * (1 - v_i) = x'_i + (L_i - R_i)*v_i + R_i = x'_i + D_i *v_i + R_i$

এবং মূল সমস্যাটি (?!?) কম হওয়া সমতুল্য হওয়া উচিত : $v_i$

$\sum_{1 \le i < j \leq n} | D_i * v_i - D_j * v_j |$

সঙ্গে $v_i \in \{0,1\}, D_i \in \mathbb{Z}$

— মারজিও দে বিয়াসি
সূত্র

আপনার উপরের ত্রুটি fn ধারণাটি ব্যবহার করে আপনার শেষ সংক্ষেপণ প্রসারিত করা যায় , এটি কি সর্বোত্তমভাবে প্রদর্শিত হবে যেখানে প্রতিটি বাইনারি ভেরিয়েবল মেঝে / সিল কাছাকাছি রয়েছে ? যাতে পাতার শুধুমাত্র কিভাবে জন্য রাউন্ডে ক্ষেত্রে আকারে যেখানে একটি পূর্ণসংখ্যা।

e^{'} (i, j)

$e'(i,j)$

x_{n}

$x_n$

x_{n}

$x_n$

m_{n} + \frac{1}{2}

$m_n + {1 \over 2}$

m

$m$

— vzn

@ ভিজেএন: আমি মনে করি এটি একটি পাল্টা নমুনা। যদি আমরা গোল করে রাউন্ডিং মাপদণ্ড ব্যবহার করে আমরা পেয়েছি ত্রুটি রয়েছে , তবে এর ত্রুটি (ফলাফলটি যদি একই হয় তবে আমরা LCM দ্বারা গুণিত যুক্তিগুলি অপসারণ করি)।

(0, 1.4, 8.7)

$(0, 1.4, 8.7)$

x_{i}

$x_i$

(0, 1, 9)

$(0, 1, 9)$

1.4

$1.4$

(0, 2, 9)

$(0,2,9)$

1.2

$1.2$

— মারজিও ডি বায়াসি

ঠিক আছে তবুও নতুন ধারণা। আবার বিবেচনা করুন । সমষ্টি প্রসারিত করুন। এটি এবং সাথে অনেক পদ কমে যাবে । তবে পরেরটি সমান ! সুতরাং এটি হ্রাস করার আকারে একটি সমস্যা হ্রাস করে যেখানে 0/1 সারি ভেক্টর এবং একটি ধ্রুবক কলাম ভেক্টর । সত্য? তারপরে এটি তুচ্ছ, এবং কেবল নির্বাচন করুন যে এটি 1 এর সাথে সম্পর্কিত উপাদানটি নেতিবাচক হলে 0 এবং যদি এটি ধনাত্মক হয় .... QED?

e^{'} (i, j)

$e'(i,j)$

v_{i}

$v_i$

v_{i}^{2}

$v_i^2$

v_{i}

$v_i$

X * D

$X*D$

X

$X$

D

$D$

X

$X$

D

$D$

— vzn

@vzn: আপনি যদি পরম মান ফাংশনটি দিতে ত্রুটি ব্যবহার করেন তবে আপনি এই পদগুলি পান ; আপনি কীভাবে এটিকে হ্রাস করবেন?

((y_{i}^{'} - y_{j}^{'}) - (x_{i}^{'} - x_{j}^{'}))^{2}

$((y'_i - y'_j) - (x'_i - x'_j))^2$

- 2 * D_{i} * D_{j} * v_{i} * v_{j}

$- 2*D_i * D_j * v_i * v_j$

— মারজিও ডি বায়াসি

ওহো! আপনি বুঝতে পেরে আমি মন্তব্যটি মুছে ফেলার আগে তার উত্তর দিয়েছি .. যাইহোক এটি এখনও প্রায় লিনিয়ার ম্যাট্রিক্স অপ্টিমাইজেশান সমস্যার হ্রাস পাবে বলে মনে হচ্ছে? এছাড়াও যেখানে কলামের ভেক্টর ...?

V * V^{T}

$V * V^T$

V

$V$

— vzn

আরেকটি বর্ধিত মন্তব্য ... ভুল হতে পারে।

আমি ফ্লোর / সিল সীমাবদ্ধতাগুলির সাথেও কেসটি বিবেচনা করছি এবং আমি ডায়নামিক প্রোগ্রামিং ব্যবহার করে এটি সমাধান করার চেষ্টা করছি (আমি পারব না, তবে সাধারণ বিভাজনটি ছোট হলে এটি কার্যকর হয়)।

যাক এর ভগ্ন অংশ হতে , আমরা ক্ষুদ্রতম থেকে জিনিস বিবেচনা বৃহত্তম করা। ধরুন বৃহত্তম , এবং কারণ আমরা প্রোগ্রামিং ইতিমধ্যে আমরা "কিছু" জানি গতিশীল করছেন (আমি ব্যাখ্যা করবে কি এই কিছু হয়) ব্যতীত অন্য সব কিছুর জন্য সন্তোষজনক সমাধান সম্পর্কে । $\{x_i\}$ $x_i$ $\{x_i\}$ $\{x_k\}$ $x_k$

এখন উপরে বা নীচে গোল করার সময় অবজেক্টিভ ফাংশনের পার্থক্যটি বিবেচনা করুন । যদি প্রাথমিকভাবে কিছু টি বৃত্তাকার হয় তবে পার্থক্যটি কেবলমাত্র 1 (সত্যই খুব সাবধানতার সাথে পরীক্ষা করা হয়নি তবে মনে হয় এটি কেস, এটি সত্যই গুরুত্বপূর্ণ যে এর বাম বা হোক না কেন , পার্থক্যটি সর্বদা একই থাকে); যদি মূলত কিছু বৃত্তাকার হয় তবে পার্থক্য । সুতরাং: আমরা জানি যে নিম্নলিখিত তিনটি পরিমাণ জানা থাকলে আমাদের কী সিদ্ধান্ত নেওয়া উচিত: $x_k$ $x_i$ $x_i$ $x_k$ $x_i$ $2\{x_k\}-2\{x_i\}-1$

কত জিনিস গোল করা হয়
কত জিনিস গোল করা হয়
are of এর যোগফলগুলি যেগুলি গুলি বৃত্তাকার $\{x_i\}$ $x_i$

ঠিক আছে, 1 এবং 2 মূলত একই, আমরা প্রথম এন পয়েন্টগুলির জন্য ([পয়েন্টগুলি যখন as _ ক্রম অনুসারে সাজানো হয়) এর সর্বোত্তম সমাধান হতে পারি, তবে [N, Ndown, Sdown] কে সর্বোত্তম সমাধান হতে পারি of এর বৃত্তাকার নীচে নেডাউন এবং round of এর যোগফল হ'ল ডাউন is তাহলে কীভাবে চ [এন -১] থেকে চ [এন] যেতে হবে তা লেখা শক্ত নয়। $\{x_i\}$ $x_i$ $\{x_i\}$

সমস্যাটি অবশ্যই, শ্যাডনের তাত্পর্যপূর্ণভাবে অনেকগুলি মান থাকতে পারে। তবে এটি কার্যকর হয় যখন হয় সাধারণ বিভাজকটি ছোট হয়, বা আমরা প্রথমে সমস্ত কিছু গ্রিড পয়েন্টে নিয়ে যেতে পারি এবং একটি এফপিটিএএস পেতে পারি (যদি উপরের গতিশীল প্রোগ্রামটি সঠিক হয় ...)

— রং জি
সূত্র

সবেমাত্র @ মারজিও দে বিয়াসির মন্তব্য লক্ষ্য করা গেছে। উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনটি ব্যবহার করে এই ডায়নামিক প্রোগ্রামিং সম্পর্কে ভাবা অনেক সহজ। যেহেতু আমরা অনুসারে মূলত বাছাই করছি , যখন আমরা চূড়ান্তটিকে বিবেচনা করার চেষ্টা করি তখন সমস্ত পরম মান অদৃশ্য হয়ে যায়। অতিরিক্ত ব্যয় হয় হয় বা ।

D_{i}

$D_i$

\sum D_{i} v_{i}

$\sum D_iv_i$

(N - 1) D_{k} - \sum D_{i} v_{i}

$(N-1) D_k - \sum D_iv_i$

— Rong Ge

ঠিক আছে এর ইতিবাচক হতে হবে না। তবে সেটিও পরিচালনা করা যায়। আমাদের কেবলমাত্র মধ্যে পার্থক্যটি বলতে হবে এবং । ননড হ'ল আগের এর সংখ্যা 0 এর সমান, আগের এর সমান 1 এর সমান

D_{i}

$D_i$

\sum | D_{i} v_{i} |

$\sum |D_i v_i|$

N d o w n | D_{k} | + N u p D_{k} - \sum D_{i} v_{i}

$Ndown|D_k| + Nup D_k - \sum D_iv_i$

v_{j}

$v_j$

v_{j}

$v_j$

— রঙ্গ জি

এটি আশাব্যঞ্জক বলে মনে হচ্ছে তবে আমি মনে করি ইনপুট মানগুলি একে অপরের খুব কাছাকাছি থাকলে আরও কিছু সমস্যা রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ এবং । এখন যদি আমরা বৃত্তাকার এবং বৃত্তাকার করতে পারি তবে আমাদের আর দুর্দান্ত সম্পত্তি থাকবে না যে বৃত্তাকার বা নীচে উপর নির্ভর করে ত্রুটিটি ঠিক 1 দ্বারা পরিবর্তিত হবে। অন্যদিকে, আমরা যদি পয়েন্টগুলির ক্রম পরিবর্তন করে এমন গোলটি নিষিদ্ধ করি (যেমন আমার মূল প্রশ্নে রয়েছে), তবে মনে হয় আমাদের গতিশীল প্রোগ্রামে এখনও পাওয়া যায় এমন সম্ভাব্য গোলগুলি সম্পর্কে নজর রাখা দরকার; আমরা তা করতে পারি?

x_{i} = 1.1

$x_i = 1.1$

x_{k} = 1.9

$x_k = 1.9$

x_{i}

$x_i$

x_{k}

$x_k$

x_{k}

$x_k$

— Jukka Suomela

@ জুলকা সুমেলা, আমি আপনার মন্তব্যটি দেখার পরে, আমি বুঝতে পেরেছিলাম যে আমাদের বৃহত্তর with এর সাথে কখনই ছোট with দিয়ে কিছু গোল করা উচিত নয়। আপনি যদি সমস্ত মামলা পরীক্ষা করেন তবে এটি প্রমাণিত হতে পারে। তারপরে সমস্যার উত্তরটি (গোল সীমাবদ্ধতার সাথে) স্পষ্ট: একটি চৌম্বক থাকতে হবে, প্রান্তিকের উপরে আপনাকে গোল করা উচিত, নীচে আপনার নীচে গোলাকার হওয়া উচিত, প্রান্তিক্রে সম্ভবত কিছুটি বৃত্তাকার এবং কিছুটা নীচে হওয়া উচিত তবে কেবল মানের সংখ্যা উপর নির্ভর করে। এই সমাধানগুলি সহজেই গণনা করা যায়।

{x_{i}}

$\{x_i\}$

{x_{i}}

$\{x_i\}$

— রং জি

আমার বোঝানো সমস্ত কেস পরীক্ষা করে ধরা যাক, ধরুন , regions এবং দ্বারা বিভক্ত তিনটি অঞ্চলের একটির মধ্যে অন্য একটি of মনে করুন , এবং হয় হয় বৃত্তাকার বা নীচে। ডাউন এবং আপ মধ্যে সমস্ত ক্ষেত্রে ডাউন এবং গোল করার চেয়ে খারাপ আর হয় না ।

{x_{i}} < {x_{j}}

$\{x_i\} < \{x_j\}$

{x_{k}}

$\{x_k\}$

{x_{i}}

$\{x_i\}$

{x_{j}}

$\{x_j\}$

{x_{k}}

$\{x_k\}$

x_{i}

$x_i$

x_{j}

$x_j$

x_{j}

$x_j$

x_{i}

$x_i$

— Rong Ge