কোনও এনসি কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়া

আমি প্রশ্নটির একটি বিশেষ ক্ষেত্রে জিজ্ঞাসা করতে চাই কিউ চেং কর্তৃক " প্রদত্ত এনসি ⁰ সার্কিট কোনও অনুগমন গণনা করে কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়া" যা উত্তরহীন রেখে গেছে।

যদি প্রতিটি আউটপুট গেট সিন্ট্যাক্টিকালি বেশিরভাগ কে ইনপুট গেটের উপর নির্ভর করে তবে একটি বুলিয়ান সার্কিটকে এনসি ⁰_কে সার্কিট বলা হয় । (আমরা বলে যে একটি আউটপুট গেট ছ চিহ্নগুলি সিন্টেক্সের উপর নির্ভর করে একটি ইনপুট গেট ছ 'যখন সেখান থেকে একটি নির্দেশ পথ ছ ' থেকে ছ বর্তনী একটি নির্দেশ acyclic গ্রাফ হিসেবে দেখা হবে।)

পূর্বোক্ত প্রশ্নে কিচেনগ নীচের সমস্যার জটিলতা সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করেছিলেন, যেখানে কে ধ্রুবক:

উদাহরণ : এন- বিট ইনপুট এবং এন- বিট আউটপুট সহ একটি এনসি ⁰_কে সার্কিট । প্রশ্ন : প্রদত্ত সার্কিট কি perm 0, 1} ⁿ এ একটি অনুমান গণনা করে ? অন্য কথায়, {0, 1} থেকে ফাংশন বর্তনী একটি bijection দ্বারা নির্ণয় করা হয় ^এন করতে {0, 1} ^এন ?

যেহেতু কাভাহ এই প্রশ্নে মন্তব্য করেছিলেন, সহজেই বোঝা যায় যে সমস্যাটি কোএনপিতে রয়েছে। একটি উত্তরে, আমি দেখিয়েছি যে সমস্যাটি কে = 5 এর জন্য কোএনপি-সম্পূর্ণ এবং এটি কে = 2 এর জন্য রয়েছে।

প্রশ্ন । কে = 3 এর জটিলতা কী ?

২৯ শে মে, ২০১৩ এ স্পষ্টতা: "perm 0, 1} ⁿ " এর এক অনুক্রমের অর্থ ij 0, 1} ⁿ থেকে নিজেই বাইজিক ম্যাপিং । অন্য কথায়, সমস্যাটি জিজ্ঞেস করে যে প্রতিটি এন- বিট স্ট্রিং কিছু এন- বিট ইনপুট স্ট্রিংয়ের জন্য প্রদত্ত সার্কিটের আউটপুট কিনা ।

— সোসোশি ইতো
সূত্র

ব্যক্তিগত দ্রষ্টব্য: আমি যখন কিচেনিংয়ের প্রশ্নের উত্তর পোস্ট করেছি, তখন সমস্যাটি আকর্ষণীয় বলে মনে হয়েছিল কারণ কোনও বিশেষ প্রয়োগকে মনে না রেখে। তার বেশ কয়েক মাস পরে, আমি এমন পরিস্থিতিতে পড়েছি যেখানে আমাকে কাউকে বোঝাতে হয়েছিল যে কোনও প্রদত্ত প্রোগ্রাম একটি অনুচ্ছেদে গণনা করে কিনা তা নির্ধারণ করা তুচ্ছ থেকে অনেক দূরে। কিচেনচের প্রশ্নের জন্য ধন্যবাদ, আমার একটি নিখুঁত উদাহরণ ছিল (কী কাকতালীয় ঘটনা!)। এর পরে, আমি কে = 3 এবং কে = 4 এর ক্ষেত্রে আরও কৌতূহলী হয়ে উঠি। আমি সন্দেহ করি কে = 3 এর কেস ইতিমধ্যে কোএনপি-সম্পূর্ণ, তবে আমি কোনওভাবেই প্রমাণ করতে সক্ষম হইনি।

— সোসোশি ইতো

এই সমস্যাটি পাপডিমিট্রিউ ( বিজ্ঞান ডাইরেক্টস / বিজ্ঞান / পার্টিকেল / পিআইআই / এস 10022000005800637 ) দ্বারা সংজ্ঞায়িত পাইগনহোল সার্কিট সমস্যার একটি বিশেষ কেস বলে মনে হচ্ছে যা অনুসন্ধান সমস্যার মধ্যে বহু-সময় হ্রাস সম্পর্কিত পিপিপির পক্ষে সম্পূর্ণ is

— মার্কোস ভিলাগ্রা

@ মারকোস ভিলাগ্রা: মন্তব্যের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ, তবে আমি আশঙ্কা করছি যে "নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে" বলে আপনি কবুতর সার্কিট সমস্যার সংজ্ঞাটি উল্লেখযোগ্যভাবে পরিবর্তন করছেন। পাইগনহোল সার্কিট সমস্যার একটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পত্তি হ'ল এটি মোট অনুসন্ধানের সমস্যা, যেখানে বর্তমান সমস্যা (একই আউটপুট উত্পাদনকারী দুটি ইনপুটগুলির জন্য অনুসন্ধানের সমস্যা হিসাবে দেখা) মোট অনুসন্ধানের সমস্যা নয়।

— সোসোশি ইতো

উত্তর:

নিয়ে এই সমস্যাটি কোএনপি-হার্ড (এবং তাই কোএনপি-সম্পূর্ণ)। $k=3$

এটি প্রমাণ করার জন্য, আমি 3-স্যাট থেকে এই সমস্যার পরিপূরক হ্রাস করব (প্রদত্ত সার্কিটের জন্য, সার্কিটটি একটি অ-বাইজিক ফাংশন কার্যকর করে)। $NC_3^0$

প্রথম একটি প্রাথমিক সংজ্ঞা যা সহায়ক হবে:

আমরা একটি লেবেলযুক্ত গ্রাফকে একটি নির্দেশক গ্রাফ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি, যার কয়েকটি প্রান্তকে আক্ষরিক সহ লেবেলযুক্ত এমন বৈশিষ্ট্য সহ প্রতিটি ভার্টেক্সের একটিতে একটি লেবেলযুক্ত আগমন প্রান্ত, একটি লেবেল আগত প্রান্ত বা দুটি লেবেলযুক্ত আগমনকারী প্রান্ত রয়েছে।

হ্রাস

ধরুন আমরা একটি 3-স্যাট সূত্র আছে গঠিত , ক্লজ প্রতিটি তিন লিটারেল রয়েছে। প্রথম পদক্ষেপ হল একটি লেবেল গ্রাফ গঠন করা হয় থেকে । এই লেবেল গ্রাফে থাকা প্রতিটি দফা জন্য নিম্নলিখিত গ্যাজেটের এক অনুলিপি (ভয়ানক ডায়াগ্রাম জন্য দুঃখিত) রয়েছে । এল 1, এল 2 এবং এল 3 লেবেলযুক্ত তিনটি প্রান্তটি পরিবর্তে দারাতে অক্ষরগুলির সাথে লেবেলযুক্ত। $\phi$ $m$ $G$ $\phi$ $\phi$

   |
   |               |
   |               |
   |               O<-----\
   |               ^      |
   |               |      |
   |               |      |
   |        /----->O      |
   |        |      ^      |
   |        |      |      |
   |        |      |      |
   |        O      O      O
   |        ^      ^      ^
   |        |      |      |
   |        |L1    |L2    |L3
   |        |      |      |
   |        O      O      O
   |        ^      ^      ^
   |        |      |      |
   |        |      |      |
   |        \------O------/
   |               ^
   |               |
   |               |
   |               O
   |               ^
   |               |
   |

গ্যাজেটগুলি (প্রতিটি অনুচ্ছেদের জন্য একটি) সমস্তগুলি একটি বড় চক্রের সাথে সামঞ্জস্য করা হয় যার সাথে একটি গ্যাজেটের নীচের অংশটি পরের শীর্ষে যুক্ত হয়।

নোট করুন গ্যাজেটগুলির এই বিন্যাসটি বাস্তবে একটি লেবেলযুক্ত গ্রাফ তৈরি করে (প্রতিটি শীর্ষবিন্দুতে অনার্য 1 বা 2 রয়েছে কেবলমাত্র প্রান্তগুলি অনীমার 1 এর শীর্ষাংশকে লেবেলযুক্ত করে)।

$\phi$ $G$ $\phi$ $NC_3^0$ $n+v$ $n$ $\phi$ $v$ $G$ $\phi$ $G$ $x$ $\phi$ $x$ $x_{in}$ $x_{out}$ $l$ $l = x$ $l_{in} = x_{in}$ $l$ $l = \neg x$ $l_{in} = \neg x_{in}$ $v$ $G$ $v$ $v_{in}$ $v_{out}$

চার ধরণের আউটপুট বিট রয়েছে:

$x$ $\phi$ $x_{out} = x_{in}$

$v$ $(u, v)$ $v_{out} = v_{in} \oplus u_{in}$

$v$ $(u, v)$ $l$ $v_{out} = v_{in} \oplus (u_{in} \land l_{in})$ $l_{in}$ $x_{in}$ $x$ $l$

$v$ $(u, v)$ $(w, v)$ $v_{out} = v_{in} \oplus (u_{in} \lor w_{in})$

$NC_3^0$

$\phi$

$\phi$ $G$

$NC_3^0$

চার ধরণের আউটপুট বিট বিবেচনা করুন:

$x$ $\phi$ $x_{out} = x_{in}$ $x_{in}$

$v$ $(u, v)$ $v_{out} = v_{in} \oplus u_{in}$ $G$ $v_{out} = v_{in} \oplus u_{in} = 0 \oplus 0 = 0$ $v_{out} = v_{in} \oplus u_{in} = 1 \oplus 1 = 0$

$v$ $(u, v)$ $l$ $v_{out} = v_{in} \oplus (u_{in} \land l)$ $l$ $v_{in}$ $v_{out} = v_{in} \oplus (u_{in} \land l) = v_{in} \oplus (u_{in} \land 0) = v_{in} = 0$ $l$ $v_{in}$ $(u, v)$ $u$ $u_{in} = 1$ $u_{in} = v_{in}$ $l$ $v_{out} = v_{in} \oplus (u_{in} \land l) = v_{in} \oplus (u_{in} \land 1) = v_{in} \oplus u_{in} = v_{in} \oplus v_{in} = 0$

$v$ $(u, v)$ $(w, v)$ $v_{out} = v_{in} \oplus (u_{in} \lor w_{in})$

$v$ $u$ $w$ $v_{out} = v_{in} \oplus (u_{in} \lor w_{in}) = 0 \oplus (0 \lor 0) = 0$ $u_{in}$ $u_{in} = L1$ $w_{in}$ $w_{in} = L2$ $v_{in}$ $v_{in} = L1 \lor L2$ $v_{out} = v_{in} \oplus (u_{in} \lor w_{in}) = (L1 \lor L2) \oplus (L1 \lor L2) = 0$

$v$ $u$ $w$ $v_{out} = v_{in} \oplus (u_{in} \lor w_{in}) = 0 \oplus (0 \lor 0) = 0$ $u_{in}$ $u_{in} = L1 \lor L2$ $w_{in}$ $w_{in} = L3$ $v_{in} = 1$ $v_{out} = v_{in} \oplus (u_{in} \lor w_{in}) = 1 \oplus ((L1 \lor L2) \lor L3) = 1 \oplus (L1 \lor L2 \lor L3) = 1 \oplus 1 = 0$ $(L1 \lor L2 \lor L3) = 1$

$NC_3^0$

$\phi$

$\phi$ $NC_3^0$

$x_{in}$ $x$ $\phi$ $x$

$S$ $v$ $G$ $v_{in}$

আমরা নীচে নিম্নলিখিত লেমাস প্রমাণ করব:

$S$ $S$

$S$ $G$ $S$ $S$

$(L1 \lor L2 \lor L3)$ $(u, v)$ $L$ $v_{out} = v_{in} \oplus (u_{in} \land L)$ $L = 0$ $v_{out} = v_{in} \oplus (u_{in} \land L) = v_{in} \oplus (u_{in} \land 0) = v_{in} \oplus 0 = v_{in}$ $v_{in}$ $v$ $S$ $S$

$S$ $NC_3^0$

যা বাকি আছে তা লেমাস প্রমাণ করার জন্য।

$G$ $S$ $S$ $v_{out} = v_{in} \oplus X$ $X$ $v$ $S$ $X$ $v_{in} = v_{out} \oplus X$ $v$ $S$

$S$ $S$

— মিখাইল রুদয়
সূত্র

-1

লেখক যে উত্তরটি চেয়েছিলেন তার উত্তর নয়, মন্তব্যগুলি দেখুন যা এই প্রসঙ্গে "অনুমান" কী তা স্পষ্ট করে দেয়।

আমি মনোজেনিক পারমিটেশন গ্রুপ অন্তর্ভুক্তি ডিগ্রাফের জন্য সর্বনিম্ন আধিপত্য সেটগুলির আকারটি ক্র্যাঙ্ক করেছি: https://oeis.org/A186202

আপনাকে যা করতে হবে তা হ'ল প্রতিটি মৌলিক চক্রের পচনগুলির এক সদস্যকে পরীক্ষা করা।

প্রতিটি প্রধান চক্রের জন্য উপাদানগুলি (10101010 ...) হিসাবে কোড করা যথেষ্ট হবে, তারপরে (01010101 ..)?

------ স্পষ্টকরণ ------ এই পদ্ধতির লক্ষ্য হ'ল আপনার 2 test n পরীক্ষার কেসগুলি ডিজিট্রাফ হিসাবে মডেল করা। যদি একটি পর্যাপ্ত পরীক্ষার ক্ষেত্রে আরেকটি সফল পরীক্ষার কেস কার্যকর করা হয়, তবে আপনাকে কেবল এই পরীক্ষার স্থান ডিগ্রাফের ন্যূনতম প্রভাবশালী সেটটি পরীক্ষা করতে হবে। নির্গমন ব্যবস্থায় OEIS A186202 হল আপনাকে একটি তুচ্ছ-তুচ্ছ উপগোষ্ঠী সনাক্ত করতে বা কোনটির অস্তিত্ব প্রমাণ করতে সর্বোচ্চ পরীক্ষা করতে হয়; এই সংখ্যাটি এখনও বড় তবে এন এর চেয়ে অনেক ছোট।

- মিউজিং - এন -1 জিরো এবং 1 টি এন পুনরাবৃত্তিতে 1 ব্যবহার করে আপনি সন্ধান করছেন এমন নির্ধারিত পারমিটেশন সনাক্ত করতে পারবেন। এর পরে O (n {(n-1) \ (k-1) \ (2 ^ (k-1)) চয়ন করুন আপনি পরীক্ষা করতে পারেন যে (কে-1) ভেরিয়েবলের প্রতিটি সেট বদলের প্রতিটি সূচকে প্রভাবিত করে না যেহেতু কে স্থির করা হয়েছে যা বহুপদী। আমি কি কিছু অনুভব করছি?

— চাদ ব্রুবেকার
সূত্র

হুম। (01) *, (10) * পর্যাপ্ত কিনা তা নিশ্চিত নয়। আপনাকে প্রতিটি প্রধান চক্রের জন্য সমস্ত 2 ^ পি কনফিগারেশন ব্যবহার করতে হতে পারে।

— চাদ ব্রিউবেকার

(2^{n})!

$(2^n)!$

n - 1

$n-1$

1

$1$

C : {0, 1}^{n} \to {0, 1}^{n}

$C:\{0,1\}^n \to \{0,1\}^n$

x, x^{'} \in {0, 1}^{n}

$x,x' \in \{0,1\}^n$

C (x) = C (x^{'})

$C(x)=C(x')$

x \neq x^{'}

$x \ne x'$

C

$C$ পারমুট (শফলস / পুনরায় সাজানো / পুনরায় অর্ডার) ইনপুট বিট। তুমি কি ভিন্নতা দেখতে পাও? আমি সন্দেহ করি আপনি ভুল প্রশ্নের উত্তর দিয়ে গেছেন।

— DW

আপনাকে সাহায্য করার চেষ্টা করার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ, তবে ডিডাব্লুএর ব্যাখ্যা অনুসারে, আমি ভয় করি যে আপনি যে প্রশ্নটি উত্তর করেছেন তা আমার জিজ্ঞাসা করা প্রশ্নের চেয়ে আলাদা। "Perm 0,1} ^ n" এ একটি ক্রমবিন্যাস অর্থ {0,1} ^ n থেকে নিজেই দ্বিখণ্ডিত ফাংশন এবং এর অর্থ এন বিটগুলি পুনরায় সাজানো নয় not

— সোসোশি ইতো

চ্যাড, আপনি কি এই উত্তরটি মুছে ফেলা বা কমপক্ষে শীর্ষে একটি নোট যুক্ত করতে আপত্তি করবেন যে এটি স্যুওশির প্রশ্নের উত্তর দিচ্ছে না?

— কাভেঃ

কোনও এনসি কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়া

হ্রাস

ϕϕ\phi

ϕϕ\phi

লেখক যে উত্তরটি চেয়েছিলেন তার উত্তর নয়, মন্তব্যগুলি দেখুন যা এই প্রসঙ্গে "অনুমান" কী তা স্পষ্ট করে দেয়।

$\phi$

$\phi$