প্রদত্ত

ইনপুট বিট এবং আউটপুট বিট সহ একটি সার্কিট এর অনুক্রমের গণনা করে কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার জটিলতা কী ? অন্য কথায়, কিনা প্রতিটি বিট স্ট্রিং কিছু ইনপুট জন্য বর্তনী একটি আউটপুট কি? এটি এমন একটি সমস্যার মতো মনে হচ্ছে যা অধ্যয়ন করা হয়েছে তবে আমি কোনও উল্লেখ খুঁজে পাচ্ছি না। $\mathsf{NC}^0$ $n$ $n$ $\{0,1\}^n$ $\{0,1\}^n$

cc.complexity-theory circuit-complexity permutations

— QiCheng
সূত্র

সুস্পষ্ট আবদ্ধ হয়

যা জন্য কাজ করে

(পরীক্ষা যদি ফাংশন injective যায়)।

c o N P

$\mathsf{coNP}$

P

$\mathsf{P}$

— কাভেহ

"একটি এনসি 0 সার্কিট" বলতে কী বোঝ? সাধারণ বাক্যাংশটি হ'ল "সার্কিটের এনসি 0 পরিবার", যা সম্ভবত ("দুর্ভাগ্যক্রমে)" NC0 সার্কিটের সাথে সংক্ষেপিত হয়, "তবে আমি মনে করি না যে আপনি আপনার প্রশ্নে সার্কিটের একটি NC0 পরিবার বলতে চাইছেন।

— Tsuyoshi Ito

একটি

সার্কিট দ্বারা, আমি বলতে চাইছি যে সার্কিটের প্রতিটি আউটপুট বিট কেবল স্থির সংখ্যার ইনপুট বিটের উপর নির্ভর করে।

N C^{0}

$NC^0$

— কিউচেং

হ্যাঁ আমি একটি পরিবার সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছি। জিনিসগুলিকে আরও সুস্পষ্ট করতে আপনি

থেকে

পরিবর্তন করতে পারবেন যেখানে প্রতিটি আউটপুট বিট পরিবারের

ইনপুট বিটের উপর নির্ভর করে ।

N C^{0}

$NC^0$

N C_{5}^{0}

$NC_5^0$

5

$5$

— কিউচেং

এটি আপনার প্রশ্নের উত্তর দেয় না, তবে যদি সমস্যাটি সাধারণীকরণ করা হয় যাতে প্রতিটি আউটপুট বিটকে ও (লগ এন) ইনপুট বিটের উপর নির্ভর করতে দেওয়া হয়, তবে আমি মনে করি যে ট্যুরিং হ্রাসযোগ্যতার অধীনে সমস্যাটি কোএনপি-সম্পূর্ণ। এটি দ্বি-মাত্রিক সেলুলার অটোমাতা ( ডুরান্ড 1994 ) এর সীমাবদ্ধ বিপরীতমুখীতার কোএনপি-সম্পূর্ণতার পরে অনুসরণ করে ও (লগ এন) -বিট বাইনারি স্ট্রিং হিসাবে দ্বি-মাত্রিক সেলুলার অটোমেটার প্রতিটি কক্ষকে উপস্থাপন করে।

— Tsuyoshi Ito

কঠোরতা

প্রশ্নে আপনার মন্তব্যের পরে, আমরা একটি সার্কিট কল করব যেখানে প্রতিটি আউটপুট বিট বেশিরভাগ কে ইনপুট বিটের উপর নির্ভর করে একটি "এনসি ⁰_কে সার্কিট।" এই শব্দটি ব্যবহার করে, আপনার সমস্যা এনসি ⁰₅ সার্কিটের ক্ষেত্রে সিএনপি-সম্পূর্ণ । যে, নিম্নলিখিত সমস্যাটি সিএনপি-সম্পূর্ণ।

উদাহরণ : এন ইনপুট বিট এবং এন আউটপুট বিট সহ একটি বুলিয়ান সার্কিট সি যেখানে প্রতিটি আউটপুট বিট সর্বোচ্চ পাঁচটি ইনপুট বিটের উপর নির্ভর করে। প্রশ্ন : b 0,1} ⁿ থেকে ম্যাপিং নিজেই সি বাইজিক দ্বারা গুণিত হয়েছে?

কাভাহ যেমন মন্তব্য করেছেন, এটি প্রতিটি আউটপুট বিট নির্ভর করে এমন ইনপুট বিটের সংখ্যার উপর আবদ্ধ না হয়েও এটি পরিষ্কারভাবে কোএনপিতে রয়েছে। CoNP- কঠোরতা প্রমাণ করতে, আমরা 3SAT বর্তমান সমস্যার পরিপূরক হ্রাস করব। হ্রাসটির মূল ধারণাটি ডুরান্ডের কাগজে [ডুর ৯৪] ব্যবহৃত হিসাবে একই ছিল, যা আমি প্রশ্নের একটি মন্তব্যে উল্লেখ করেছি, তবে পুরো হ্রাসটি আমাদের ক্ষেত্রে অনেক সহজ is

একটি 3CNF সূত্র দেওয়া φ সঙ্গে এন ভেরিয়েবল এবং মি ক্লজ, আমরা একটি বুলিয়ান বর্তনী গঠন করা সি (সঙ্গে এন + + মি ) ইনপুট বিট এবং ( ঢ + + মি ) আউটপুট বিট নিম্নরূপ। আমরা ইনপুট বিটগুলিকে x ₁ ,…, x _n , y ₁ ,…, y _m , এবং আউটপুট বিটগুলিকে x ′ ₁ ,…, x ′ _n , z ₁ ,…, z _m হিসাবে লেবেল করি । আমরা বিবেচনা করি যে ইনপুট বিট x₁ , ..., x _এন করার জন্য একটি সত্য নিয়োগ উল্লেখ এন মধ্যে ভেরিয়েবল φ ।

x ′ _i = x _{i এর} জন্য 1≤ i ≤ n । অর্থাৎ ইনপুট প্রথম এন বিট সবসময় আউটপুট এর প্রথম এন বিট অনুলিপি করা হয় ।
1≤ জন্য আমি ≤ মি , যদি আমি এর ম দফা φ সন্তুষ্ট হয়, তাহলে z- র _আমি = Y _আমি ⊕ Y _{আমি +1 টি} , যেখানে সাবস্ক্রিপ্ট মডিউল ব্যাখ্যা করা হয় মি । অন্যথায়, z _i = y _i ।

নোট করুন যে প্রতিটি আউটপুট বিট সর্বোচ্চ পাঁচটি ইনপুট বিটের উপর নির্ভর করে। আমি হ্রাস শুদ্ধি প্রমাণ বর্জন কিন্তু কী ধারণা (যা আমি [Dur94] থেকে ধার করা) যে যদি φ Satisfiable হয় এবং ইনপুট বিট এক্স ₁ , ..., x এর _এন একটি পরিতৃপ্ত নিয়োগ করার জন্য সেট আছে φ , তারপর মি আউটপুট বিট z- র ₁ , ..., z- র _মি এমনকি সমতা আছে সীমাবদ্ধ করা হয়, এবং এর ফলে সার্কিট একটি বিন্যাস হতে পারে না। অন্যদিকে, যদি ইনপুট বিট x ₁ ,…, x _n সেটাকে φ এর একটি সন্তুষ্টিজনক অ্যাসাইনমেন্টে সেট করা হয় তবে আউটপুট বিট z₁ ,…, z _m যে কোনও কিছুতে সেট করা যেতে পারে; এই কারণে, যদি φ অসন্তুষ্টিজনক হয়, তবে সার্কিটটি একটি ক্রমান্বন হয়।

Tractability

ট্র্যাকটেবল পক্ষে, আপনার সমস্যা NC ⁰₂ সার্কিটের ক্ষেত্রে পি in এটি নিম্নলিখিত হিসাবে প্রদর্শিত হয়। সাধারণভাবে, বুলেয়ান সার্কিটের প্রতিটি আউটপুট বিটের একটি অনুক্রমের জন্য ভারসাম্যপূর্ণ ; অর্থাত্, ইনপুট স্ট্রিংগুলির ঠিক অর্ধেক আউটপুট বিট সেট করে However তবে, প্রতিটি সুষম বুলিয়ান ফাংশন {0,1} ² থেকে {0,1} পর্যন্ত অ্যাফাইন ; অর্থাত্, একটি ইনপুট বিটের একটি অনুলিপি, দুটি ইনপুট বিটের এক্সওআর বা সেগুলি অবহেলা। অতএব, আমরা প্রথমে প্রতিটি আউটপুট বিট ভারসাম্যযুক্ত কিনা তা পরীক্ষা করতে পারি এবং তারপরে গাউসীয় নির্মূলের দ্বারা বাইজিকটিটি পরীক্ষা করতে পারি।

এনসি ⁰₃ সার্কিট বা এনসি ⁰₄ সার্কিটের ক্ষেত্রে জটিলতা আমি জানি না ।

তথ্যসূত্র

[দুর94] ব্রুনো ডুরান্ড। 2 ডি সেলুলার অটোমেটার বিপরীতকরণ: কিছু জটিলতার ফলাফল। তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞান , 134 (2): 387–401, নভেম্বর 1994. ডিওআই: 10.1016 / 0304-3975 (94) 90244-5 ।

— সোসোশি ইতো
সূত্র

আমি এনসি ^ 0_3 সার্কিটের মামলা সম্পর্কে একটি ফলো-আপ প্রশ্ন পোস্ট করেছি ।

— Tsuyoshi Ito