ফাংশন স্পেস সহ ইন্ডাকটিভ ধরণের জন্য বন্ধের অর্ডিনালগুলি

Question

সসীম পণ্য এবং অঙ্কগুলি থেকে তৈরি ফ্যাক্টরগুলির ক্লোজার অর্ডিনাল ome , ফ্রেঞ্চকাইস মেটায়ারের এই পাণ্ডুলিপিতে খুব সুন্দরভাবে বিস্তারিত । অর্থাৎ আমরা সূক্ষ্ম প্রকারের নাটকে পৌঁছাতে পারি : = \ মিউ এক্স। 1 + এক্স ফান্টর 1 + এক্স পুনরাবৃত্তি করে , যা \ ওমেগা পুনরাবৃত্তির পরে তার স্থির স্থানে পৌঁছে যায় ।$\omega$$nat := \mu X. 1 + X$$1 + X$$\omega$

তবে একবার আমরা ধ্রুবক ক্ষয়ক্ষতির অনুমতি দিই, যেমন $\mu X. 1 + X + (nat \rightarrow X)$ পরে, তবে $\omega$ যথেষ্ট নয়।

আমি ফলাফলগুলি সন্ধান করছি যা ক্ষয়ক্ষতি অন্তর্ভুক্ত। কোন ধরণের অর্ডিনাল পর্যাপ্ত?

বিশেষত প্রশংসা করা হবে এমন একটি রেফারেন্স যা এই প্রমাণ দেয় যে এই জাতীয় ফ্যান্ট্যাকারগুলি ord কিছু সাধারণের জন্য নিয়মিত যেমন উপরের পান্ডুলিপিটিতে।$\alpha$$\alpha$

Answer 1

আপনার প্রশ্নের উত্তর বিভিন্ন বিষয়ের উপর নির্ভর করে, যার মধ্যে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ আপনার ফাংশন স্পেসগুলির আকার । আমি ব্যাখ্যা করবো. নির্ধারণ আপনি আপনার উত্তর যেমন লক্ষ করেছি, প্রতিটি বিবেচনা করা যেতে পারে অভ্যন্তরীণভাবে হতে আপনার সিস্টেম নিয়মিত অঙ্কবাচক -th। সেট থিয়োরিতে, এই ডেটাটাইপটি একটি প্রকৃত অর্ডিনাল দ্বারা উপস্থাপিত হতে পারে এবং যথাযথভাবে বিশাল।

$$O_0 = nat$$ $$O_{n+1} = \mu X.\ 1+X+(O_n\rightarrow X)$$ $O_n$$n$

যাইহোক, এই ধরনের নির্মাণগুলি টাইপ থিওরির কিছু সংস্করণে যুক্ত হতে পারে এবং প্রশ্নটি ওঠে: এই নির্মাণের জন্য একটি সেট-তাত্ত্বিক ব্যাখ্যা দেওয়ার জন্য কোন অর্ডিনাল প্রয়োজন ? এখন যদি আমরা নিজেকে গঠনমূলক শব্দার্থবিদ্যার মধ্যে সীমাবদ্ধ রাখি তবে একটি প্রাকৃতিক ধারণাটি এই ধরণের "রিয়েলাইজারস" এর সেট দ্বারা প্রতিটি প্রকারকে ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করা হয়, যা ল্যাম্বদা-সংস্থাগুলির সেটের একটি উপসেট , বা সমানভাবে, প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি ।$\lambda$$\mathbb{N}$

এই ক্ষেত্রে, এটি দেখানো সহজ যে অর্ডিনালটি কোনও পক্ষে গণনাযোগ্য তবে এই অর্ডিনালটি খুব দ্রুত বৃদ্ধি পায়। কত দ্রুততার সাথে? আবার, এটি ফাংশন তৈরির চেষ্টা করার সময় আপনার কতটা স্বাধীনতার উপর নির্ভর করে। এই জাতীয় অধ্যাদেশ গঠনের তত্ত্বটি লার্জ কাউন্টেবল অর্ডিনালগুলির তত্ত্বে বর্ণিত হয়েছে, যার মধ্যে উইকিপিডিয়া আশ্চর্যজনকভাবে অনেক কিছু বলেছে। সাধারণভাবে এটি দেখানো সহজ যে প্রশ্নের মধ্যে থাকা অধ্যাদেশগুলি চার্চ-ক্লিন অর্ডিনালের তুলনায় ছোট , যদি না আপনি বিল্ডিং ফাংশনের অ-গঠনমূলক উপায়কে অনুমতি না দেন ( যা স্টেটস সহ মেশিনগুলির জন্য ব্যস্ত বিভার সংখ্যাকে গণনা করে )।$O_n$$Beaver(n)$$n$

এটি যদিও বেশি বলছে না, একটি গঠনমূলক তত্ত্ব ব্যতীত আপনার ব্যাখ্যাগুলি তৈরি করতে কেবল গঠনমূলক অধ্যাদেশ প্রয়োজন। যদিও আরও কিছু বলার আছে। প্রথমত, একটি খুব সুন্দর উপস্থাপনা থিয়েরি Coquand যে বিবরণ অন্যান্য সব ধরনের কিন্তু একটি eliminator অনুপস্থিতিতে$nat$ , আপনি নির্মাণ করতে পারেন ঠিক মধ্যে ধাপ।$O_1$$\epsilon_0$

সাধারণত একটি টাইপ তত্ত্বের যৌক্তিক শক্তি এবং এটি এই উপায়ে প্রতিনিধিত্ব করতে পারে এমন বৃহত্তম অর্ডিনাল আকারের মধ্যে একটি চিঠিপত্র বলে মনে হয়। এই চিঠিপত্রটি অর্ডিনাল অ্যানালাইসিসের বিষয় , যা ষাটের দশকের শেষের দিক থেকে দুর্দান্ত দৈর্ঘ্যে অধ্যয়ন করা হয়েছিল এবং আজও অধ্যয়নের অধীনে রয়েছে (কিছু আশ্চর্যজনক খোলা প্রশ্ন সহ)। সতর্কতা যদিও: বিষয়টি যেমন আকর্ষণীয় তেমন প্রযুক্তিগত is

আশাকরি এটা সাহায্য করবে.

Answer 2

আমি মনে করি যে আমি একটি উত্তর পেয়েছি যা সেটের মতো পর্যাপ্ত বিভাগে কাজ করে। প্রাথমিক বীজগণিত এবং টার্মিনাল কয়লাজেব্রায় এটির উপপাদ্যটি ৩.১.১২: আদামেক , মিলিয়াস এবং মসের একটি সমীক্ষা ।

উত্তরটি হ'ল এই জাতীয় সমস্ত ফান্টারের জন্য কোনও অর্ডিনালই যথেষ্ট নয়। তারা নির্বিচারে বড় হয়।

আরও স্পষ্টভাবে, জন্য $F(X) = C_0\times(A_0 \rightarrow X) + C_1\times(A_1 \rightarrow X)\;+\;...\;+\; C_n\times(A_n \rightarrow X)$উত্তরটি হ'ল প্রথম নিয়মিত অর্ডিনাল সকলের চেয়ে বড়$A_i$। আমরা বলি$\alpha$ নিয়মিত যদি সবার জন্য হয় $\beta < \alpha$সব $\beta$অর্ডিনালগুলির সূচিযুক্ত চেইন < $\alpha$ একটি সুপ্রিম আছে < $\alpha$। মোটামুটিভাবে,$\alpha$ ছোট ছোট অর্ডিনালের একটি ছোট চেইন থেকে পৌঁছনীয় নয়।

মূল ফলাফল যে জন্য $\alpha$ একটি নিয়মিত অর্ডিনাল, সুপ্রতিষ্ঠিত $\alpha$-গাঞ্চ গাছগুলি স্থায়ী গভীরতা < $\alpha$।

অনানুষ্ঠানিকভাবে, আমি এটি যে কোনও হিসাবে বুঝতে পারি $f : A_k \rightarrow F^\alpha(0)$ (অর্থাত $f : A_k \rightarrow \bigcup_{i<\alpha} F^i(0)$) "ফিট করে" $A_k \rightarrow F^j(0)$ কোথায় $j := \mathrm{sup}_{(a:A_k)} \text{``the i such that }f(a) \text{ fits into } F^i(0)"$। যে$j < \alpha$ হোল্ড অবিকল কারণ $\alpha$ নিয়মিত এবং $|A_k| < \alpha$।

সুতরাং $(A_k \rightarrow \bigcup_{i<\alpha}F^i(0)) \subseteq \bigcup_{j<\alpha} (A_k \rightarrow F^j(0))$ প্রতিটির জন্য, প্রত্যেকটির জন্য $k$।

সুতরাং এটি জুড়ে প্রসারিত $+$গুলি এবং $\times$এস, আমাদের আছে: $F(F^\alpha(0)) \subseteq \bigcup_{j<\alpha}F(F^j(0)) = \bigcup_{j<\alpha}F^j(0) = F^\alpha(0)$, এবং তাই এটি নির্দিষ্ট স্থানে পৌঁছেছে $\alpha$।

যদিও সেটটি ছাড়াই এই তর্কটিকে সাধারণীকরণ করা যায় তা আমার পক্ষে মোটেও পরিষ্কার নয়। আমরা কীভাবে নিই$A_k$ইন্ডেক্সড কলমিটস?