লিনিয়ার তুলনা সহ আনুমানিক 1 ডি টিএসপি?

$O(n\log n)$ $1+O(n^{-c})$ $c$ $O(n)$ $(\max-\min)n^{-(c+1)}$ এর আসল মানটির, এবং তারপরে র‌্যাডিক্স বাছাই করুন। তবে রাউন্ডিং সহ মডেলগুলির জটিল জটিল তত্ত্ব রয়েছে এবং এটি আমাকে অবাক করে তোলে, গণনার দুর্বল মডেলগুলি সম্পর্কে কী?

সুতরাং, দ্বি-মাত্রিক টিএসপি কতটা নির্ভুলভাবে সংক্ষিপ্ত হতে পারে, গণনার একটি লিনিয়ার তুলনা গাছের মডেল (প্রতিটি তুলনা নোড ইনপুট মানগুলির একটি লিনিয়ার ফাংশনের চিহ্ন পরীক্ষা করে), এমন একটি অ্যালগরিদমের দ্বারা যার সময় জটিলতা হ'ল ? একই বৃত্তাকার পদ্ধতিটি form ফর্মের যে কোনও আনুমানিক অনুপাত অর্জন করতে দেয় (বাইনারি অনুসন্ধানগুলি রাউন্ডিং করতে ব্যবহার করে এবং এটিকে দ্রুত পর্যাপ্ত করার জন্য আরও মোটা করে গোল করে)। তবে কি কিছু জন্য মতো একটি অনুমানের অনুপাতও অর্জন করা সম্ভব ? $o(n\log n)$ $n^{1-o(1)}$ $O(n^{1-\epsilon})$ $\epsilon>0$

— ডেভিড এপস্টিন
সূত্র

আমি 1 ডি টিএসপির সাথে পরিচিত নই। আপনি এটি সংজ্ঞায়িত করতে পারেন?

— টাইসন উইলিয়ামস

@ টাইসন উইলিয়ামস: 1D ট্র্যাভেল সেলস্পোনার পাথ সমস্যা হ'ল ইউক্লিডিয়ান ট্র্যাভেল বিক্রয় বিক্রয় পথের সমস্যা যেখানে সমস্ত শহর এক্স-অক্ষে রয়েছে। বা আনুষ্ঠানিকভাবে, আপনাকে এন বাস্তব সংখ্যা দেওয়া হবে a_1,…, এ_এন, এবং আপনার লক্ষ্য একটি অনুগমন আউটপুট করা π: {1,…, n} → {1,…, n} যেমন ∑_ {i = 1} ^ n − 1} | a_ {π (i)} - এ_ {π (i + 1)} | কমানো হয়

— সসুওশি ইতো

সম্পাদনা (আপডেট): দাশ এট আল দ্বারা "নীচে আমার ইউক্লিডিয়ান ভ্রমণ বিক্রয়কর্ম ভ্রমণ এবং সর্বনিম্ন বিস্তৃত গাছ" জটিলতায় "আমার পৃথক প্রমাণ দ্বারা নীচে আবদ্ধ প্রমাণিত হয়েছে; অ্যালগরিদমিকা 19: 447-460 (1997)।

এটা পছন্দ এমনকি একটি পড়তা অনুপাত অর্জন করা সম্ভব জন্য কিছু মধ্যে একটি তুলনা ভিত্তিক অ্যালগোরিদম ব্যবহার করে সময়? $O(n^{1-\epsilon})$ $\epsilon>0$ $o(n\log n)$

না। এখানে একটি নিম্ন সীমা।

দাবি করুন। যে কোনও , প্রতিটি তুলনা-ভিত্তিক ps app -প্রপ্রক্সিমেশন অ্যালগরিদমের জন্য সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে তুলনা প্রয়োজন। $\epsilon>0$ $n^{1-\epsilon}$ $\Omega(\epsilon n\log n)$

"তুলনা-ভিত্তিক" দ্বারা আমি এমন কোনও অ্যালগরিদম বোঝায় যা কেবল বাইনারি (সত্য / মিথ্যা) কোয়েরিতে ইনপুটটিকে অনুসন্ধান করে।

এখানে একটি প্রমাণ চেষ্টা করা হয়। আশা করি কোন ভুল নেই। FWIW নিম্ন সীমাটি এলোমেলোনাযুক্ত অ্যালগরিদমগুলিতে প্রসারিত হতে পারে বলে মনে হচ্ছে।

কোন ত্রুটিমুক্ত এবং কোন ইচ্ছামত ছোট কিন্তু ধ্রুব । $n$ $\epsilon>0$

শুধু বিবেচনা করুন"অনুক্রম" ইনপুট দৃষ্টান্তগুলি যা এর অনুমোদন । এই জাতীয় কোনও উদাহরণের জন্য সর্বোত্তম সমাধানটির জন্য ব্যয় করতে হবে । $n!$ $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ $[n]$ $n-1$

নির্ধারণ খরচ একটি বিন্যাস এর হতে। ইনপুট হিসাবে একটি ক্রিয়াকলাপ , আউটপুট আউটপুটমেন্ট , এবং মূল্য প্রদান করার জন্য অ্যালগরিদমকে মডেল করুন । $\pi$ $c(\pi) = \sum_i |\pi(i+1) - \pi(i)|$ $\pi$ $\pi'$ $d(\pi,\pi') = c(\pi'\circ \pi)$

এই উদাহরণগুলিতে প্রতিযোগিতামূলক অনুপাত achieve অর্জনের জন্য তুলনা-ভিত্তিক অ্যালগরিদমের জন্য ন্যূনতম তুলনা সংখ্যা সংজ্ঞায়িত করুন । যেহেতু অপ্ট হয় আলগোরিদিম সর্বাধিক খরচ গ্যারান্টি আবশ্যক । $C$ $n^{1-\epsilon}$ $n-1$ $n^{2-\epsilon}$

আমরা দেখাব । $C\ge \Omega(\epsilon n\log n)$

নির্ধারণ হতে, কোন সম্ভাব্য আউটপুট , সম্ভব ইনপুট ভগ্নাংশ যা আউটপুট সর্বাধিক খরচ অর্জন করেন । এই ভগ্নাংশটি স্বতন্ত্র । $P$ $\pi'$ $\pi'$ $n^{2-\epsilon}$ $\pi'$

$P$ এছাড়াও সম্ভাব্যতা যে, একটি র্যান্ডম বিন্যাস জন্য সমান , তার খরচ সবচেয়ে এ । (কেন তা দেখতে, সনাক্তকরণের অনুমতি হিসাবে চিহ্নিত করতে হবে তারপরে হ'ল ইনপুটগুলির ভগ্নাংশ যার জন্য সর্বাধিক , তবে ।) $\pi$ $c(\pi)$ $n^{2-\epsilon}$ $\pi'$ $I$ $P$ $d(\pi,I)$ $n^{2-\epsilon}$ $d(\pi,I) = c(\pi)$

১. । $C \ge \log_2 1/P$

প্রুফ। সর্বদা তুলনা কম ব্যবহার করে এমন কোনও অ্যালগরিদম ঠিক করুন । অ্যালগরিদম জন্য সিদ্ধান্ত গাছ গভীরতা কম হয়েছে , তাই কম হয় পাতা, এবং কোনো কোনো আউটপুট বিন্যাস জন্য আলগোরিদিম দেয় একটি বেশি আউটপুট ইনপুটগুলির ভগ্নাংশ। সংজ্ঞামতে , অন্তত এক ধরনের ইনপুটের জন্য আউটপুট খরচ বেশি দেয় । Qed $\log_2 1/P$ $\log_2 1/P$ $1/P$ $\pi'$ $\pi'$ $P$ $P$ $\pi'$ $n^{2-\epsilon}$

লেমা ২. । $P \le \exp(-\Omega(\epsilon n\log n))$

লেমমা 2-এর প্রমাণ দেওয়ার আগে, খেয়াল করুন যে দুটি লেমাস একসাথে দাবিটি দিয়েছেন:

C \geq log 2 1 P = log 2 exp (Ω (ϵ n log n)) = Ω (ϵ n log n) .

$C ~\ge~ \log_2 \frac{1}{P} ~=~ \log_2 \exp(\Omega(\epsilon n\log n)) ~=~ \Omega(\epsilon n\log n).$

লেমার প্রমাণ 2. আসুন এলোমেলোভাবে অনুচ্ছেদ হতে পারে। পুনরাহ্বান যে সম্ভাব্যতা যে তার খরচ সমান সবচেয়ে এ । বলুন যে কোনও জুড়ি ব্যয় সহ একটি কিনারাসুতরাং হ'ল প্রান্ত ব্যয়ের সমষ্টি। $\pi$ $P$ $c(\pi)$ $n^{2-\epsilon}$ $(i,i+1)$ $|\pi(i+1)-\pi(i)|$ $c(\pi)$

ধরুন । $c(\pi) \le n^{2-\epsilon}$

তারপর, কোন জন্য , সর্বাধিক প্রান্ত খরচ আছে বা তার বেশি। বলুন যে এর চেয়ে কম খরচের কিনারা সস্তা । $q>0$ $n^{2-\epsilon}/q$ $q$ $q$

ফিক্স । প্রতিস্থাপন এবং সরলীকরণ, সর্বাধিক প্রান্তগুলি সস্তা নয়। $q=n^{1-\epsilon/2}$ $n^{1-\epsilon/2}$

সুতরাং, কমপক্ষে কমপক্ষে প্রান্তগুলি সস্তা। সুতরাং, সেখানে একটি সেট রয়েছে যাতে সস্তার প্রান্ত রয়েছে। $n - n^{1-\epsilon/2} \ge n/2$ $S$ $n/2$

দাবি করুন। প্রান্তের প্রদত্ত যে কোনও সেট জন্য , এর সমস্ত প্রান্ত সস্তা হওয়ার সম্ভাবনা সর্বাধিক । $S$ $n/2$ $S$ $\exp(-\Omega(\epsilon n \log n))$

দাবিটি প্রমাণ করার আগে, নোট করুন যে এটি নীচে লিমনাকে বোঝায়। দাবী দ্বারা, এবং নিষ্পাপ ইউনিয়ন আবদ্ধ, সম্ভাব্যতা রয়েছে যে কোনওরকম একটি সেট উপস্থিত রয়েছে most $S$

(n n / 2) exp (- Ω (ϵ n log n)) \leq 2 n exp (- Ω (ϵ n log n))

${n\choose n/2} \exp(-\Omega(\epsilon n \log n)) ~\le~ 2^n \exp(-\Omega(\epsilon n \log n))$

\leq exp (O (n) - Ω (ϵ n log n)) \leq exp (- Ω (ϵ n log n)) .

$~\le~ \exp(O(n) -\Omega(\epsilon n \log n)) ~\le~ \exp(-\Omega(\epsilon n \log n)).$

দাবি প্রমান। নিম্নলিখিত প্রক্রিয়া দ্বারা চয়ন করুন । চয়ন করুন অবিশেষে থেকে , তারপর চয়ন অবিশেষে থেকে , তারপর পছন্দ করে অবিশেষে থেকে ইত্যাদি $\pi$ $\pi(1)$ $[n]$ $\pi(2)$ $[n] - \{\pi(1)\}$ $\pi(3)$ $[n]-\{\pi(1),\pi(2)\}$

যেকোনো প্রান্ত বিবেচনা করুন এ । নির্বাচনের ঠিক পরে সময়টি বিবেচনা করুন , যখন বেছে নেওয়া হবে। প্রথম তথাপি পছন্দ (জন্য জন্য ), সেখানে অন্তত হয় জন্য বিকল্পগুলির , এবং অধিকাংশ সময়ে ঐ পছন্দগুলি প্রান্তটি দেবে ব্যয় than এর চেয়ে কম (এটি সস্তা করা)। $(i,i+1)$ $S$ $\pi(i)$ $\pi(i+1)$ $i$ $\pi(j)$ $j\le i$ $n-i$ $\pi(i+1)$ $2n^{1-\epsilon/2}$ $(i,i+1)$ $n^{1-\epsilon/2}$

সুতরাং, প্রথম নিয়ন্ত্রিত পছন্দ, সম্ভাব্যতা যে প্রান্ত সস্তা সর্বাধিক হয় । সুতরাং, এর সমস্ত কিনারা সস্তা হওয়ার সম্ভাবনা সর্বাধিক , যেহেতু কমপক্ষে প্রান্তে সহ । সুতরাং, এই পণ্যটি সর্বাধিক $i$ $\frac{2n^{1-\epsilon/2}}{n-i}$ $n/2$ $S$

$\prod_{(i,i+1)\in S} \frac{2n^{1-\epsilon/2}}{n-i}.$

$|S|\ge n/2$

$n/4$

$S$

$n-i\ge n/4$

$\big(\frac{2n^{1-\epsilon/2}}{n/4}\big)^{n/4} ~\le~(8n^{-\epsilon/2})^{n/4} ~=~\exp(O(n)-\Omega(\epsilon n \log n)) ~=~\exp(-\Omega(\epsilon n \log n)).$

Qed

— নিল ইয়াং
সূত্র

পিএস আমি এই চিঠিটি করার জন্য একটি অনুরোধ পেয়েছি, তাই আমি এটি এখানে arvix.org এ রেখেছি ।

— নিল ইয়াং