ফুলিয়ান ফাংশন বিশ্লেষণ কেন "কাজ" করে?

Question

বছরের পর বছর ধরে আমি অনেক টিসিএসের তত্ত্বগুলি পৃথক ফুরিয়ার বিশ্লেষণ ব্যবহার করে প্রমাণিত হয়ে দেখতে পেয়েছি। ওয়ালশ-ফুরিয়ার (হাডামারড) রূপান্তর টিসিএসের কার্যত প্রতিটি সাবফিল্ডে সম্পত্তি পরীক্ষা, সিউডোর্যান্ডমনেস, যোগাযোগ জটিলতা এবং কোয়ান্টাম কম্পিউটিং সহ কার্যকর।

বুলিয়ান ফাংশনগুলির ফুরিয়ার বিশ্লেষণকে খুব দরকারী সরঞ্জাম হিসাবে ব্যবহার করার সময় আমি যখন স্বাচ্ছন্দ্য বোধ করি যখন আমি কোনও সমস্যা মোকাবিলা করি এবং আমার কাছে খুব ভাল হান্চ রয়েছে যার জন্য ফুরিয়ার বিশ্লেষণ ব্যবহার করার ফলে সম্ভবত কিছু ভাল ফলাফল পাওয়া যাবে; আমাকে স্বীকার করতে হবে যে আমি এটির সত্যই নিশ্চিত নই যে এটি এর ভিত্তিতে এই পরিবর্তনটি এত কার্যকর করে তোলে।

টিসিএসের গবেষণায় ফুরিয়ার বিশ্লেষণ কেন এত ফলবান, সে সম্পর্কে কারও অন্তর্দৃষ্টি রয়েছে? এত বেশি আপাতদৃষ্টিতে শক্ত সমস্যাগুলি ফুরিয়ার সম্প্রসারণ লিখে এবং কিছু হেরফের সম্পাদন করে কেন সমাধান হয়?

দ্রষ্টব্য: আমার মূল অন্তর্নিহিতটি এখনও এটি যতটা সামান্য হতে পারে তা হ'ল বহুবর্ষগুলি কীভাবে আচরণ করে সে সম্পর্কে আমাদের বেশ ভাল ধারণা রয়েছে, এবং ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মটি একটি বহুমাত্রিক বহুপদী হিসাবে কোনও ফাংশনটিকে দেখার একটি প্রাকৃতিক উপায়। তবে কেন বিশেষভাবে এই বেস? পার্টির ভিত্তিতে এত অনন্য কী?

Comments

পেজিং @ রায়ান-অডোনেল

— সুরেশ ভেঙ্কট

90 এর দশকে যে ধারণাটি ভেসে উঠছিল তা হ'ল সম্ভবত অন্যান্য অন্যান্য ফাংশনগুলিও কাজ করবে, সম্ভবত ধ্রুপদী সুরেলা বিশ্লেষণে তরঙ্গসরণের সাফল্যকে অনুকরণ করে। তবে আমি এই ধারণাটি দৃ .় হতে দেখিনি।

— গিল কালাই

Answer 1

$f: \{0,1\}^n\to\mathbb{R}$$\sigma_w$$w\in\{0,1\}^n$$f(x)$$f(x+w)$। টিসিএসের অনেক প্রশ্নের মধ্যে এই ধরণের অপারেটরদের নির্দিষ্ট কিছু কার্যক্রমে প্রভাব কী তা বিশ্লেষণ করার অন্তর্নিহিত প্রয়োজন রয়েছে।

এখন, মুল বক্তব্যটি হ'ল ফুরিয়ার ভিত্তি সেই ভিত্তি যা একই সাথে সমস্ত অপারেটরকে তির্যক করে তোলে, যা সেই অপারেটরগুলির বিশ্লেষণকে আরও সহজ করে তোলে। আরও সাধারণভাবে, ফুরিয়ার ভিত্তি কনভলিউশন অপারেটরটিকে তির্যক করে তোলে যা এই প্রশ্নগুলির মধ্যে অনেকগুলি অন্তর্ভুক্ত করে। সুতরাং, যখনই কেউ অপারেটরগুলির বিশ্লেষণের প্রয়োজন হয় তখন ফুরিয়ার বিশ্লেষণ কার্যকর হতে পারে।

$f:G\to \mathbb{C}$$G$$\sigma_h$$h\in G$$f(x)$$f(x\cdot h)$

Comments

এটি একটি দুর্দান্ত উত্তর।

— সুরেশ ভেঙ্কট

$(f(x), f(x+w_1), f(x+w_2), f(x+w_1+w_2))$

"একজন অপারেটরকে তিরস্কার করে" বলতে কী বোঝ?

— জন Moeller

$f$

এটি আকর্ষণীয় যে এমনকি জান্টা শেখার জন্য অ্যাপ্লিকেশনগুলি কনভলশন অপারেটরগুলির ক্ষেত্রেও বোঝা যায়: অপ্রাসঙ্গিক স্থানাঙ্কগুলিতে অসম্মতিযুক্ত ইনপুটগুলির গড় হিসাবে একটি জেন্টা অপারেটরের অধীনে তার চিত্রের সমান। এই অপারেটরটি একটি কনভলিউশন অপারেটর, এবং ফুরিয়ার ডোমেনে স্পার্স। এটি একটি সাধারণ থিম: যখন কোনও ফাংশন "নিজের সাথে সম্পর্কযুক্ত" হয় তখন এটি ফুরিয়ার ভিত্তিক পদ্ধতির জন্য প্রার্থনা করে

— সাশো নিকোলভ

Answer 2

এখানে এই প্রশ্নটি নিতে অন্য হতে পারে।

সিউডো বুলিয়ান ফাংশনটি কে-সীমাবদ্ধ বলে ধরে নিই, ফাংশনের ওয়ালশ বহুপদী প্রতিনিধিত্ব কে সাব-ফাংশনে বিভক্ত করা যেতে পারে। লিনিয়ার পদগুলি সমস্ত একটি উপ-ফাংশনে সংগ্রহ করা হয়, জোড়াযুক্ত ইন্টারঅ্যাকশনগুলির সমস্তগুলিকে একটি উপ-ফাংশনে, তারপরে 3-উপায় মিথস্ক্রিয়া ইত্যাদি collected

এই সাবউফিউশনগুলির প্রতিটি একটি একটি "প্রাথমিক ল্যান্ডস্কেপ" এবং সুতরাং প্রতিটি উপ-ফাংশন হ'ল ল্যাপ্লেসিয়ার সংলগ্ন ম্যাট্রিক্সের (যেমন, হামিং দূরত্ব 1 পাড়া) এর আইজেনভেেক্টর। প্রতিটি উপ-ফাংশনে সমস্ত প্রাথমিক ল্যান্ডস্কেপে পাওয়া টাইপের সাথে সম্পর্কিত "ওয়েভ সমীকরণ" রয়েছে। এখন বাদে কে ওয়েভ সমীকরণগুলি সমন্বিতভাবে কাজ করে।

তরঙ্গ সমীকরণগুলি জানার কারণে পরিসংখ্যানগতভাবে সম্পর্কিত অনুসন্ধান স্থানটিকে বরং সুনির্দিষ্ট উপায়ে বৈশিষ্ট্যযুক্ত করা সম্ভব হয়। আপনি গড় এবং বৈচিত্র্য গণনা করতে পারেন এবং স্বেচ্ছাসেবী (তাত্পর্যপূর্ণভাবে বড়) হামিং বল এবং অনুসন্ধানের জায়গাগুলির স্বেচ্ছাসেবী হাইপারপ্লেনের উপর দিয়ে স্কিউ করতে পারেন।

এলিমেন্টারি ল্যান্ডস্কেপগুলিতে পিটার স্ট্যাডলারের কাজ দেখুন।

অ্যান্ড্রু সুতান এবং আমি (ড্যারেল হুইটলি) সিউডো-বুলিয়ান অপ্টিমাইজেশনের জন্য স্থানীয় অনুসন্ধান অ্যালগরিদমগুলি বুঝতে এবং উন্নত করতে এই পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে কাজ করেছি। স্থানীয় অনুসন্ধান আলগোরিদিমগুলির জন্য স্বয়ংক্রিয়ভাবে উন্নত পদক্ষেপগুলি সনাক্ত করতে আপনি ওয়ালশ বহুপদী ব্যবহার করতে পারেন। অনুসন্ধানের জায়গার আশেপাশে এলোমেলোভাবে গণনার কোনও প্রয়োজন নেই। ওয়ালশ বিশ্লেষণ সরাসরি আপনাকে বলতে পারে উন্নতিকরণের পদক্ষেপগুলি কোথায় অবস্থিত।

Comments

আপনি যে কাজটি উদ্ধৃত করেছেন তাতে আপনি কিছু পয়েন্টার সরবরাহ করতে পারেন?

— অ্যান্ড্রেস সালামন

Answer 3

এই প্রশ্নের একটি দুর্দান্ত উত্তর সম্ভবত এখনও উপস্থিত নেই কারণ এটি তুলনামূলকভাবে তরুণ এবং গবেষণার খুব সক্রিয় ক্ষেত্র। উদাহরণস্বরূপ 1987 সাল থেকে বুলিয়ান ফাংশন সম্পর্কিত ইনগো ওয়েইঞ্জার্স বিস্তৃত বইয়ের বিষয়টিতে কিছুই নেই (ডিএফটির সার্কিট জটিলতা বিশ্লেষণ ব্যতীত)।

একটি সাধারণ অন্তর্নিহিত বা অনুমান যে এটি দেখা যায় যে উচ্চতর ক্রমের বৃহত ফুরিয়ার সহগগুলি সাবফিউঙ্কশনের উপস্থিতি নির্দেশ করে যা অবশ্যই অনেক ইনপুট ভেরিয়েবলকে বিবেচনা করতে হবে এবং তাই অনেকগুলি গেটের প্রয়োজন। অর্থাত্ ফুরিয়ার সম্প্রসারণটি বুলিয়ান ফাংশনটির কঠোরতা পরিমিতভাবে পরিমাপ করার একটি প্রাকৃতিক উপায়। এটি সরাসরি প্রমাণিত দেখেনি তবে মনে হয় এটি বহু ফলাফলের মধ্যে ইঙ্গিতযুক্ত। উদাহরণস্বরূপ খ্র্যাপচেনকোস নিম্ন সীমাটি ফুরিয়ার সহগের সাথে সম্পর্কিত হতে পারে [[1]

অন্য রুক্ষ উপমা EE বা অন্যান্য প্রকৌশল ক্ষেত্র থেকে কিছুটা ডিগ্রি নেওয়া যেতে পারে যেখানে ফুরিয়ার বিশ্লেষণ ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। এটি প্রায়শই ইই ফিল্টার / সিগন্যাল প্রসেসিংয়ের জন্য ব্যবহৃত হয় । ফুরিয়ার সহগগুলি ফিল্টারটির একটি নির্দিষ্ট "ব্যান্ড" উপস্থাপন করে। গল্পটি আরও আছে যে "শব্দ" মনে হচ্ছে নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সিগুলির নির্দিষ্ট রেঞ্জগুলিতে যেমন কম বা উচ্চ manifest সিএসে "শব্দের সাথে" সাদৃশ্যটি "এলোমেলোতা" তবে এটি অনেক গবেষণা থেকেও স্পষ্ট হয় (উদাহরণস্বরূপ [একটি মাইলফলক পৌঁছানো) যে এলোমেলোতা মূলত জটিলতার মতো। (কিছু ক্ষেত্রে "এনট্রপি" একই প্রসঙ্গে দেখায়)) সিওর সেটিংসেও ফুরিয়ার বিশ্লেষণ "গোলমাল" অধ্যয়নের পক্ষে উপযুক্ত বলে মনে হচ্ছে। [২]

আরেকটি স্বজ্ঞাততা বা চিত্রটি ভোট / পছন্দ তত্ত্ব থেকে এসেছে [[২,৩] "ভোট" দেওয়ার ফলাফলকে প্রভাবিত করে এমন উপ-উপাদান হিসাবে বুলেটিয়ান ফাংশন বিশ্লেষণ করা সহায়ক। অর্থাত্ ভোটদান বিশ্লেষণ হ'ল ফাংশনগুলির জন্য এক ধরণের পচন সিস্টেম। এটি এমন কিছু ভোটিং থিয়োরিও ব্যবহার করে যা গাণিতিক বিশ্লেষণের উচ্চতায় পৌঁছেছিল এবং যা বুলিয়ান ফাংশনগুলির ফুরিয়ার বিশ্লেষণের ব্যবহারের স্পষ্টতই পূর্বাভাস দেয়।

এছাড়াও, ফুরিয়ার বিশ্লেষণে প্রতিসামিতার ধারণাটি সর্বোচ্চ বলে মনে হয়। ফাংশনটি যত বেশি "প্রতিসামান্য" হয়, তত বেশি ফুরিয়ার সহগ বাতিল হয় এবং তত বেশি "সাধারণ" ফাংশনটি গণনা করা হয়। তবে আরও "এলোমেলো" এবং ফলস্বরূপ আরও জটিল, গুণফলগুলি কম বাতিল হয়। অন্য কথায় প্রতিসাম্যতা এবং সরলতা, এবং ফাংশনে বিপরীতভাবে অসম্মিততা এবং জটিলতা এমনভাবে সমন্বিত বলে মনে হয় যা ফুরিয়ার বিশ্লেষণ পরিমাপ করতে পারে।

[১] বার্নাসকোনি, কোডেনোটি, সাইমন কর্তৃক বুলিয়ান ফাংশনগুলির ফুরিয়ার বিশ্লেষণে

[২] ডি ওল্ফের বুলিয়ান কিউব (২০০৮) সম্পর্কে ফুরিয়ার বিশ্লেষণের একটি সংক্ষিপ্ত ভূমিকা

[3] ও'ডনেল দ্বারা বুলিয়ান ফাংশন বিশ্লেষণ সম্পর্কিত কিছু বিষয়

[৪] রাজবরোভ ও রুডিচের প্রাকৃতিক প্রমাণ

Comments

অনলাইনেও বই দেখতে বুলিয়ান ফাংশন বিশ্লেষণ ও'ডোনেল দ্বারা

— vzn

ফুরিয়ার সহগের উপর "পাওয়ার স্পেকট্রাম" এর প্রতিফলিত বুলিয়ান fn এর জটিলতা সম্পর্কে অনুমান - লিনিয়াল মনসুর নিসান পেপার, কনস্ট্যান্ট গভীরতা সার্কিট, ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম এবং শিখনযোগ্যতার বিখ্যাত ফলাফলগুলির একটি প্রাকৃতিক বর্ধন । বিমূর্ততা: "মূল ফলাফলটি হ'ল একটি এসি ^ 0 বুলিয়ান

— এফএন এর

জুকনাস বইয়ের বুলিয়ান , বুলিয়ান ফাংশন জটিলতা, অগ্রগতি এবং সীমান্তগুলির সি -2 এ ফুরিয়ার বিশ্লেষণের একটি দুর্দান্ত সমীক্ষা রয়েছে , যা ইনপুট ভেরিয়েবলের উপগ্রহের উপর ভিত্তি করে প্যারিটি ফাংশনগুলির সাথে সম্পর্কিত ফুরিয়ার সহগগুলি সংযুক্ত করে ।

— vzn

কেন এই উত্তর এত ভারাক্রান্ত?

— ব্যবহারকারী 834