গ্রাফ প্যারামিটার সম্ভবত গাছের প্রস্থের সাথে সম্পর্কিত

Question

আমি নীচে প্রক্রিয়া মাধ্যমে উত্পাদিত হতে পারে যা শীর্ষে গ্রাফ আগ্রহী ।$n$

1. শীর্ষে একটি নির্বিচারে গ্রাফ দিয়ে শুরু করুন । সমস্ত উল্লম্বকে অব্যবহৃত হিসাবে লেবেল করুন ।$G$$k\le n$$G$
2. একটি নতুন ভার্টেক্স যোগ করে একটি নতুন গ্রাফ উত্পাদন করুন , যা এক বা একাধিক অব্যবহৃত উল্লম্বের সাথে সংযুক্ত এবং তে কোনও ব্যবহৃত উল্লম্বের সাথে সংযুক্ত নয় । লেবেল অব্যবহৃত হিসাবে ।$G'$$v$$G$$G$$v$
3. এর যে কোনও একটি শীর্ষে লেবেল লেবেল করা হয়েছে যা হিসাবে ব্যবহৃত হিসাবে সংযুক্ত রয়েছে ।$G'$$v$
4. সেট থেকে এবং যতক্ষণ পদক্ষেপ 2 থেকে পুনরাবৃত্তি রয়েছে ছেদচিহ্ন।$G$$G'$$G$$n$

যেমন গ্রাফ "জটিলতা গ্রাফ কল (অস্পষ্ট পরিভাষা জন্য ক্ষমাপ্রার্থী)"। উদাহরণস্বরূপ, যদি জটিলতা 1 এর গ্রাফ হয়, একটি পথ।$k$$G$$G$

এই প্রক্রিয়াটি আগে অধ্যয়ন করা হয়েছে কিনা তা জানতে চাই। বিশেষ করে, নির্বিচারে জন্য , এটা দ্বারা NP-সম্পূর্ণ নির্ধারণ করার জন্য একটি গ্রাফ জটিলতা রয়েছে কিনা তা ব্যবহারকারীকে ?$k$$k$

এই সমস্যা কিছুটা কিনা প্রশ্নে অনুরূপ মনে হচ্ছে, $G$ একটি হল আংশিক $k$ -tree , অর্থাত্ হয়েছে treewidth $k$ । এটি জানা যায় যে $G$ গাছের চতুর্থ আছে কিনা তা নির্ধারণ $k$এনপি-সম্পূর্ণ। তবে কিছু গ্রাফের (উদাহরণস্বরূপ তারাগুলি) এখানে বর্ণিত জটিলতার পরিমাপের তুলনায় অনেক ছোট গাছের প্রস্থ থাকতে পারে।

২৪ শে অক্টোবর ২০১২: এক সপ্তাহ পরে কোনও সিদ্ধান্তের উত্তর না আসার পরে ম্যাথওভারফ্লোতে প্রশ্ন ক্রস পোস্ট করা হয়েছে (যদিও কার্যকারণ প্রবাহ সম্পর্কে তথ্যের জন্য ধন্যবাদ)।

Answer 1

যদিও আমরা এই সম্পর্কে আগে ব্যক্তিগতভাবে চ্যাট করেছি, আমি এটিকে এই যুক্ত করে যোগ করব যে এটি অন্য কাউকে একটি সম্পূর্ণ উত্তর সরবরাহ করার অনুমতি দেবে।

ছেদচিহ্ন যোগ করার আপনার প্রক্রিয়ায়, একটি আংশিক ফাংশন নির্ধারণ প্রতিটি প্রান্তবিন্দু থেকে বনাম যা প্রান্তবিন্দু যা যোগ করা হয়েছিল করার জন্য ব্যবহৃত হয়, বনাম অভ্যেস হয়ে গেছে। তারপরে দেখা যাচ্ছে যে f একটি (কার্যকারণ) প্রবাহ ফাংশন (পৃষ্ঠা 39), যা কোনও পথ কভারের একটি সীমাবদ্ধ সংস্করণ। প্রকৃতপক্ষে, আপনার "জটিলতা কে " এর এই গ্রাফগুলির বিবরণ (প্রাথমিকভাবে অব্যবহৃত शिरोখণ্ডগুলি হতে হবে এমন একটি শীর্ষাংশের সমাহার দেওয়া হয়েছে, এবং চূড়ান্ত অব্যবহৃত শীর্ষগুলি) কার্যকারণ প্রবাহের সাথে "জ্যামিতি" এর নক্ষত্রের ক্ষয় (পি। উপরোক্ত নিবন্ধ 46)।$f:V(G) \rightharpoonup V(G)$$v$$v$$f$

যদিও এই "কার্যকারণ প্রবাহগুলি" মূলত (পরিমাপ-ভিত্তিক) কোয়ান্টাম গণনার প্রসঙ্গে অধ্যয়ন করা হয়েছে - যেখানে তারা একক সার্কিটের নির্দিষ্ট কাঠামো দ্বারা অনুপ্রাণিত হয় - তাদের সম্পর্কে গ্রাফ-তাত্ত্বিক ফলাফল রয়েছে যা কোয়ান্টাম গণনা থেকে সম্পূর্ণ বিবাহবিচ্ছেদ হয়েছে:

স্বতন্ত্রতা মডিউল এন্ড পয়েন্ট : "জটিলতা সঙ্গে গ্রাফ  " অবিকল যারা যা সেখানে উপস্থিত (সম্ভবত ছেদ) টি সেট রয়েছে এস , টি ⊆ ভী ( জি ) , আকার উভয় ট , যেমন যে জি আকারের ঠিক একটি পাথ আচ্ছাদন আছে ট যার পাথ শুরু এস এবং শেষ টি ।$k$$S,T \subseteq V(G)$$k$$G$$k$$S$$T$

অসাধারণ গ্রাফ : শিখায় একটি গ্রাফযা "জটিলতা কে " রয়েছে তার সর্বাধিক কে এন রয়েছে - ( কে + $n$$k$ প্রান্ত।$kn - \binom{k+1}{2}$

এই ফলাফলগুলি ব্যবহার করে এবং কোনও প্রার্থীকে এর একটি জোড় দেওয়া হয়েছে , তারা এই পদ্ধতিতে একটি অনন্য পথ কভার "সাবটেন্ড" করবে কিনা তা নির্ধারণ করা যাবে ও ( কে 2 এন ) সময়ে ; তবে এ জাতীয় সমাপ্তি বিন্দুগুলির সেটগুলি উপস্থিত থাকা বা না হওয়া সন্ধান করা আপাত অসুবিধা এবং উপরের চূড়ান্ত ফলাফল (যা কেবলমাত্র একটি প্রয়োজনীয় শর্ত) এই জাতীয় সেটগুলি বিদ্যমান কিনা তা নির্ধারণের জন্য দক্ষ মানদণ্ডে শিল্পের রাষ্ট্রের প্রতিনিধিত্ব করে বলে মনে হয়।$S,T$$O(k^2 n)$

Answer 2

জটিলতা সকল গ্রাফ সর্বাধিক পথ-প্রস্থ হয়েছে ট । প্রতিটি পদক্ষেপে অব্যবহৃত নোডগুলির সেটটি ইতিমধ্যে তৈরি হওয়া থেকে ব্যবহৃত নোডগুলিকে পৃথককারী পৃথককারী। সুতরাং প্রতিটি পদক্ষেপে, আপনি যখন একটি শীর্ষবিন্দু যুক্ত করবেন, আপনি সেই ভার্টেক্স সমেত একটি ব্যাগ তৈরি করতে পারেন এবং সমস্ত অব্যবহৃত শীর্ষগুলি যুক্ত করতে পারেন এবং পথটি পচনের শেষে ব্যাগটি সংযুক্ত করতে পারেন। এটি একটি বৈধ পথ পচন হবে।$k$$k$

3 এবং 2 পয়েন্টে "যা সংযুক্ত রয়েছে" এর কারণে পথের প্রস্থটি কে এর চেয়ে অনেক ছোট হতে পারে । জি কোন জটিলতা কে কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার বিষয়ে আমি নিশ্চিত নই , তবে নীল যেমনটি বলেছেন, অবশ্যই আকারের কে-এর একটি পথ কভার থাকতে হবে, তবে কেবল একটি পথের আবরণ নয়, পাথগুলি প্ররোচিত করতে হবে। এবং পাথের মধ্যেই আমরা এই জিগ-জ্যাগ প্যাটার্নটি পেতে পারি। আমরা f ( k ) ⋅ p o l y ( n ) সময়কালে একটি সর্বোত্তম পথের পচন গণনা করতে পারি, তারপরে এই কে এর বিভিন্ন বিভাগের উপর নজর রেখে গতিশীল প্রোগ্রামিং করতে আমরা এই পচনটিকে ব্যবহার করতে পারি$v$$k$$G$$k$$f(k) \cdot poly(n)$$k$যে পাথগুলি, তারা কোন পাথের এবং একই পাথের বিভাগগুলির ক্রম। এবং বিভিন্ন পাথের সাথে যুক্ত প্রতিটি জোড় বিভাগের জন্য আমাদের কেবল জিগ-জাগের প্রথম এবং শেষ পাথটি জানতে হবে।

অতএব আমি মনে করি যদি কোন গ্রাফ জটিলতা রয়েছে আমরা সিদ্ধান্ত নিতে পারেন মধ্যে চ ( ট ) ⋅ পি ণ ঠ Y ( এন ) সময়।$k$$f(k) \cdot poly(n)$