নির্ভরশীল প্রকারের ব্যবস্থায় একটি প্রকারের বাসস্থান নেই (কীভাবে সূত্রটি প্রমাণযোগ্য নয়) তা কীভাবে দেখানো যায়?

নির্ভরশীল প্রকারবিহীন সিস্টেমে যেমন হিন্ডলি-মিলনার টাইপ সিস্টেমের জন্য, প্রকারগুলি স্বজ্ঞাত যুক্তির সূত্রের সাথে মিলে যায়। আমরা সেখানে বুঝবে য়ে তার মডেল Heyting algebras হয়, এবং বিশেষ করে, একটি সূত্র খণ্ডন করতে, আমরা এক Heyting বীজগণিত যেখানে প্রতিটি সূত্রের একটি খোলা উপসেট দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় সীমিত করতে পারে । $\mathbb{R}$

উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা দেখাতে হবে যে আপনি চান বসবাস করে না, আমরা সূত্র থেকে ম্যাপিং তৈরি করি সংজ্ঞায়নের মাধ্যমে সাবসেটগুলি খুলতে পারি : $\forall\alpha.\alpha\lor(\alpha\rightarrow\bot)$ $\phi$ $\mathbb{R}$ তারপরে

\begin{aligned} φ (α) & = (- \infty, 0) \end{aligned}

$\begin{align} \phi(\alpha) &= (-\infty, 0) \end{align}$

এটি দেখায় যে মূল সূত্রটি প্রমাণযোগ্য হতে পারে না, যেহেতু আমাদের কাছে এমন একটি মডেল রয়েছে যেখানে এটি সত্য নয় বা সমতুল্যভাবে (কারি-হাওয়ার্ড আইসোমরফিজমের দ্বারা) টাইপটি বসবাস করা যায় না।

\begin{aligned} φ (α \to ⊥) & = int- এ ([0, \infty)) \\ = (0, \infty) \\ φ (α \lor (α \to ⊥)) & = (- \infty, 0) \cup (0, \infty) \\ = আর ∖ 0 । \end{aligned}

$\begin{align} \phi(\alpha\rightarrow\bot) &= \mbox{int}( [0, \infty) ) \\ & = (0,\infty) \\ \phi(\alpha\lor(\alpha\rightarrow\bot)) &= (-\infty, 0) \cup (0,\infty) \\ &= \mathbb{R} \setminus {0}. \end{align}$

আর একটি সম্ভাবনা ক্রিপকে ফ্রেম ব্যবহার করা হবে ।

নির্ভরশীল ধরণের সিস্টেমগুলির জন্য কি একই ধরণের পদ্ধতি রয়েছে? হাইটিং বীজগণিত বা ক্রিপকে ফ্রেমের কিছু সাধারণীকরণের মতো?

দ্রষ্টব্য: আমি সিদ্ধান্ত গ্রহণের জন্য জিজ্ঞাসা করছি না, আমি জানি যে কোনওটিই হতে পারে না। আমি কেবল এমন একটি প্রক্রিয়া চেয়ে যাচ্ছি যা সূত্রের অপ্রতিরোধ্যতার সাক্ষী হতে পারে - কাউকে বোঝাতে যে এটি অযোগ্য v

— পেটর পুডলক
সূত্র

যে সূত্রটি কার্যকরযোগ্য নয় তা মূলত দুটি উপায়ে করা যেতে পারে। কিছু ভাগ্যের সাথে আমরা টাইপ তত্ত্বের মধ্যে প্রদর্শিত হতে সক্ষম হতে পারি যে সূত্রটি এমন একটিকে বোঝায় যা ইতিমধ্যে প্রমাণযোগ্য নয় বলে পরিচিত। অন্য উপায়টি এমন কোনও মডেল সন্ধান করা যাতে সূত্রটি অবৈধ এবং এটি বেশ শক্ত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, গ্রুপয়েড মডেলটি খুঁজে পেতে খুব দীর্ঘ সময় লেগেছে নির্ভরশীল ধরণের তত্ত্বের , এটিই প্রথম পরিচয় প্রমাণের স্বতন্ত্রতাটিকে অকার্যকর করে তুলেছিল ।

প্রশ্ন "নির্ভরশীল তত্ত্বের একটি মডেল কি?" কিছুটা জটিল উত্তর আছে। আপনি যদি প্রতিস্থাপনের নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যগুলি উপেক্ষা করেন তবে একটি মডেল হ'ল স্থানীয়ভাবে কার্তেসিয়ান বদ্ধ শ্রেণি , এবং এটি সবচেয়ে সহজ উত্তর হতে পারে। আপনি যদি কোনও "আসল" মডেল চান, তবে বেশ কয়েকটি বিকল্প রয়েছে, এনএল্যাব পৃষ্ঠাটি দেখুন নির্ভরশীল তত্ত্বের শ্রেণিবদ্ধ মডেলগুলির জন্য । যাইহোক, উত্তরটি সর্বদা কিছুটা জটিল কারণ নির্ভরশীল ধরণের তত্ত্বটি বেশ জটিল একটি আনুষ্ঠানিক ব্যবস্থা।

আমি যদি এই বিষয়ে একটি মাত্র নিবন্ধের পরামর্শ দিই, তবে আমি সম্ভবত রবার্ট সেলি দ্বারা "স্থানীয়ভাবে কার্টেসিয়ান ক্লোজড বিভাগ এবং টাইপ থিয়োরি" র মূল কাগজটি সুপারিশ করব । আমি যদি অন্য একটি পরামর্শ দেওয়ার পরামর্শ দিই তবে সম্ভবত এটিই হবে যা সিলির কাগজে কী সংশোধন করা দরকার তা বোঝায়, উদাহরণস্বরূপ, মার্টিন হফম্যানের "স্থানীয়ভাবে কার্তেসিয়ান ক্লোজড বিভাগগুলিতে টাইপ থিওরির অন ইন্টারপ্রিটেশন" ।

এই ক্ষেত্রের সাম্প্রতিক গুরুত্বপূর্ণ অগ্রগতি হল এই উপলব্ধিটি যে হোমোপিপি-তাত্ত্বিক মডেলগুলিও নির্ভরশীল ধরণের তত্ত্বের মডেল, homotopytypetheory.org উল্লেখ দেখুন । এটি সম্ভাবনার প্রচুর পরিমাণে সম্পদ সরবরাহ করে, তবে মডেলগুলিতে হাত পেতে এখন মোটরওপি তত্ত্ব শিখতে হবে।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার
সূত্র

এই উত্তরটি বেশ সুন্দর, যদিও এটি প্রমাণ করার পক্ষে সম্ভবত কোনও সহজ উপায় যে কোনও প্রকারের বাসিন্দা নয়: সাধারণ ফর্মগুলিতে অন্তর্ভুক্ত! বিশেষত, এটি প্রমাণ করা সহজ যে বাদ পড়েছেন মাঝারিটি যেমন ক্যালকুলেশন অফ কন্সট্রাকশনে এইরকম আনয়ন দ্বারা বাস করা যায় না। অবশ্যই, আপনাকে তখন দেখাতে হবে যে প্রতিটি শব্দকে একই ধরণের একটি সাধারণ ফর্ম হিসাবে স্থাপন করা যেতে পারে এবং এতে একটি মডেল নির্মাণ জড়িত ...

— কোডি

@ কোড: ভালো পয়েন্ট, সাধারণ ফর্মগুলি খুব কার্যকর হতে পারে।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

@ কোডি: "আপনাকে তখন দেখাতে হবে যে প্রতিটি শব্দকে একই ধরণের একটি সাধারণ ফর্মের মধ্যে রাখা যেতে পারে": এটি কি "ভাল" টাইপ সিস্টেমের জন্য মেটাথেরির কোনও মানক অংশ নয় (যতক্ষণ না আপনি না করেন) অক্ষরেখা আছে), বা একটি "ভাল" যুক্তি (যেখানে এটি কাটা বাদ দেওয়া হয়)? সুতরাং আপনি ঠিক বিদ্যমান প্রমাণ পুনরায় ব্যবহার করতে পারেন, তাই না?

— ব্লেসরব্লেড

@ ব্লায়সারব্ল্যাড: অবশ্যই আপনার একবারে কাট-নির্মূল প্রমাণ করতে হবে। মে পয়েন্টটি হ'ল মডেল নির্মাণগুলির পরিবর্তে সাধারণ ফর্মগুলিতে অন্তর্ভুক্তি করা প্রশ্নটি ভিক্ষার একটি উপায়: আপনি ইতিমধ্যে প্রতিটি পদকে স্বাভাবিক ফর্মের মধ্যে রাখতে পারেন তা দেখানোর জন্য আপনি একটি মডেল তৈরি করছেন। কিছুটা অর্থে আপনি কঠোরভাবে সিনট্যাকটিক কাজ না করে "সাধারণ ফর্ম মডেল" এ কাজ করছেন।

— কোডি

আমি দেখতে পাচ্ছি - আমি "প্রুফ প্রয়াস" সম্পর্কে ভাবছিলাম, যখন আমি অনুমান করি আপনি কীভাবে পুরো প্রমাণটি বাস্তবায়িত হয় সে সম্পর্কে বিতর্ক করছেন। তবে আপনি আমাকে আবারও সিনট্যাকটিক এবং শব্দার্থবিজ্ঞানের পদ্ধতির মধ্যে পার্থক্য সম্পর্কে প্রশ্ন তৈরি করেছেন, যেমন শব্দগঠনের মডেলগুলি given সুতরাং আমি তার উপর একটি পৃথক প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করেছি: cstheory.stackexchange.com/q/21534/989

— ব্লেসরব্ল্যাড