ভার্টেক্স-ট্রানসিটিভ গ্রাফগুলি সনাক্ত করার জটিলতা

গোষ্ঠীগুলির সাথে জড়িত জটিলতার তত্ত্বের ক্ষেত্রে আমি জ্ঞাত নই তাই এটি যদি সুপরিচিত ফলাফল হয় তবে আমি ক্ষমা চাই।

প্রশ্ন 1. আসুন আদেশের একটি সহজ undirected গ্রাফ হতে । শিখর-ট্রানসিটিভ কিনা তা নির্ধারণের গণনা সংক্রান্ত জটিলতা ( ) কী? $G$ $n$ $n$ $G$

রিকল করে একটি গ্রাফ হয় প্রান্তবিন্দু-সকর্মক যদি উপর transitively কাজ $G$ $\mathrm{Aut}(G)$ $V(G).$

আমি নিশ্চিত নই যে উপরের সংজ্ঞাটি একটি বহুপদী সময় অ্যালগরিদমের জন্য অনুমতি দেয় কারণ এটি হতে পারে যে $\mathrm{Aut}(G)$ এর ক্রমটি ক্ষতিকারক।

তবে ভার্টেক্স-ট্রানজিটিভ গ্রাফগুলিতে আরও কিছু কাঠামোগত বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা সেগুলি দক্ষতার সাথে নির্ধারণ করতে সক্ষম হবার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে সুতরাং উপরের প্রশ্নের স্থিতি কী তা আমি নিশ্চিত নই।

ভার্টেক্স-ট্রানজিটিভ গ্রাফগুলির আরও একটি আকর্ষণীয় সাবক্লাস যার আরও কাঠামো রয়েছে তা হল কেলে গ্রাফগুলির শ্রেণি । সুতরাং নিম্নলিখিত সম্পর্কিত প্রশ্ন উত্থাপন করা স্বাভাবিক

প্রশ্ন ২. যদি গ্রাফ একটি ক্যালে গ্রাফ হয় তবে ডিটার্মিংয়ের গণনামূলক জটিলতা কী ? $G$

cc.complexity-theory graph-theory gr.group-theory

— Jernej
সূত্র

যদিও অটোমোরফিজম গ্রুপটি অতি-তাত্পর্যপূর্ণ হতে পারে, তবে আমি মনে করি যে এটি সর্বজনীন স্থানটিতে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে কারণ ন্যূনতম জেনারেটরের সংখ্যা সর্বাধিক লোগারিদমিক

| Aut (G) |

$|\textrm{Aut}(G)|$

— টিমোথি সান

নোট করুন যে প্রতিটি শীর্ষবিন্দু-ট্রানজিটিভ গ্রাফটি একটি কেলে-শিরিয়ার গ্রাফ রয়েছে: সেখানে কিছু গ্রুপ

যা জেনারেট করে সেট

এবং সাবগ্রুপ

গ্রাফের শীর্ষগুলি হ'ল কোসেটস

, এবং দুটি কোসেট যদি একটি প্রান্ত দ্বারা সংযুক্ত থাকে তবে কিছু

উপাদান একটিতে

নিয়ে যায়।

G

$G$

S

$S$

H

$H$

G / H

$G/H$

S

$S$

— জোশুয়া গ্রাচো

সম্পর্কিত: mathoverflow.net/questions/156947/…

— পিটার

আমার সম্পূর্ণ উত্তর নেই তবে আমি মনে করি উভয় সমস্যাই খোলা আছে।

জাজেকে, মালনি, মারুসিয় [৩] এর কাগজটি আপনার প্রথম প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত। তারা ভার্টেক্স-ট্রান্সজিটিভিটি পরীক্ষা করার জন্য কিছু সরঞ্জাম সরবরাহ করে। তারা পরিচিতিতে বলে যে:

একটি প্রদত্ত সসীম গ্রাফের জন্য , এটা কিনা তা নির্ধারণ করতে নিশ্চিতভাবে কঠিন প্রান্তবিন্দু-সকর্মক, এবং চূড়ান্ত উত্তর শুধুমাত্র পূর্ণ automorphism গ্রুপ সুত্রে অংশ পর সাধারণত আসে নির্ধারিত হয়েছে। $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$

নোট করুন যে ভার্টেক্স-ট্রানজিটিভিটি পরীক্ষা গ্রাফ আইসোমর্ফিজম বার পরীক্ষা করে করা যেতে পারে । করুন দু কপি এবং আপনার গ্রাফ, বিশেষ নোঙ্গর সঙ্গে (যেমন দৈর্ঘ্য পাথ ) এ এবং । তার মাঝে একটি isomorphism হয় এবং যদি এবং একটি automorphism ম্যাপিং মূল গ্রাফ হয়েছে শুধুমাত্র যদি থেকে । সুতরাং আপনি একটি শীর্ষ বাক্স স্থির করে ভার্টেক্স-তানুশীলতার পরীক্ষা করতে পারেন $n−1$ $G$ $G'$ $n+1$ $u \in V(G)$ $v \in V(G')$ $G$ $G'$ $u$ $v$ , এবংঅন্যান্য অন্যান্য শিখরে অটোমোরফিজমগুলি ম্যাপিং করছে তা পরীক্ষা করে। $x$ $x$

আরও মনে রাখবেন যে যদি বহুবর্ষীয় সময়ে ভার্টেক্স-ট্রানজিটিভিটি পরীক্ষা করা যায়, তবে ভার্টেক্স-ট্রানসিটিভ গ্রাফগুলির জন্য আইসোমরফিজম টেস্টটি। এর কারণ হল যে দুটি ভার্টেক্স-ট্রানজিটিভ গ্রাফগুলি আইসোমর্ফিক হয় এবং কেবল যদি তাদের বিচ্ছিন্ন ইউনিয়নটি শীর্ষবিন্দু-সংক্রামক হয়। আমি বিশ্বাস করি যে ভার্টেক্স-ট্রানজিটিভ গ্রাফগুলির জন্য গ্রাফ আইসোমরফিজমের জটিলতা জানা যায় না।

২ য় প্রশ্নের জন্য, আমি একটি আংশিক ফলাফল পেয়েছি। একটি সার্কুল্যান্ট গ্রাফ একটি চক্রাকার গোষ্ঠীর কেলে গ্রাফ । এভডোকিমভ এবং পোনোমারেঙ্কো [২] দেখান যে সার্কুল্যান্ট গ্রাফগুলির স্বীকৃতি বহুবর্ষীয় সময়ে করা যেতে পারে। এছাড়াও অ্যালস্প্যাকের বইয়ের অধ্যায় [১, অধ্যায়:: কেলে গ্রাফগুলি, বিভাগ .2.২: স্বীকৃতি] আপনার জন্য আকর্ষণীয় হবে, যদিও এতে বলা হয়েছে:

একটি স্বেচ্ছাসেবক গ্রাফ কেলে গ্রাফ কিনা তা আমরা স্বীকৃতি দেওয়ার গণ্য সমস্যাটিকে অগ্রাহ্য করব। পরিবর্তে, আমরা সবসময় ধরেই থাকি যে কেলি গ্রাফগুলি সংযোগ সেটগুলির সাথে একত্রে যে গ্রুপগুলির উপর নির্মিত সেগুলি অনুসারে বর্ণনা করা হয়েছে। বেশিরভাগ সমস্যার জন্য এটি কোনও অসুবিধা নয়।

বাইনিকে, উইলসন, ক্যামেরন। বীজগণিত গ্রাফ থিওরিতে বিষয়গুলি । কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস, 2004
এভডোকিমভ, পোনোমারেঙ্কো। সার্কুল্যান্ট গ্রাফগুলি: বহুবর্ষের সময় সনাক্তকরণ এবং আইসোমরফিজম পরীক্ষা। সেন্ট পিটার্সবার্গ ম্যাথ। জে 15 (2004) 813-835। ডোই: 10,1090 / S1061-0022-04-00833-7
জাজকে, মালনি, মারুসিইয়। ভার্টেক্স-ট্রানজিটিভ গ্রাফগুলিতে বদ্ধ পদচারণের সংখ্যার উপরে। স্বতন্ত্র গণিত 307 (2007) 484-493। ডোই: 10,1016 / j.disc.2005.09.039

— যোটা ওটাচি
সূত্র

প্রকৃতপক্ষে,

গ্রাফ আইসোমর্ফিজম পরীক্ষাগুলি ব্যবহার করে ভার্টেক্স-ট্রানজিটিভিটি পরীক্ষা করা যেতে পারে : একটি ভার্টেক্স

ঠিক করুন , এবং পরীক্ষা করুন যে কোনও অন্য শিখায়

প্রেরণে একটি অটোমোরফিজম রয়েছে।

n - 1

$n-1$

x

$x$

x

$x$

— যুবাল ফিল্মাস