দক্ষ এবং সাধারণ এলোমেলোম অ্যালগরিদম যেখানে নির্ধারণবাদ কঠিন

Question

আমি প্রায়শই শুনি যে অনেক সমস্যার জন্য আমরা খুব মার্জিত এলোমেলোম অ্যালগরিদম জানি, তবে না, বা কেবল আরও জটিল, নির্মূল সমাধান। তবে আমি এর জন্য কয়েকটি উদাহরণ জানি। সর্বাধিক সুস্পষ্টভাবে

• এলোমেলোভাবে কুইকসোর্ট (এবং সম্পর্কিত জ্যামিতিক অ্যালগোরিদমগুলি, যেমন উত্তল হালগুলির জন্য)
• এলোমেলো মিনকুট
• বহুপদী পরিচয় পরীক্ষা
• ক্লির পরিমাপের সমস্যা

এগুলির মধ্যে, কেবল বহুবসায়ী পরিচয় পরীক্ষাটি এলোমেলো ব্যবহার ছাড়াই সত্যই শক্ত বলে মনে হচ্ছে।

আপনি কী এমন সমস্যার আরও উদাহরণ জানেন যেখানে একটি এলোমেলোভাবে সমাধান খুব মার্জিত বা খুব দক্ষ, তবে নির্মাতারা সমাধানগুলি হয় না? আদর্শভাবে, সমস্যাগুলি সাধারণ ব্যক্তির জন্য উদ্বুদ্ধ করা সহজ হওয়া উচিত (যেমন বহুত্বগত পরিচয়ের পরীক্ষার মতো নয়)।

Comments

আর একটি উদাহরণ প্রাথমিকতা পরীক্ষা। মিলার – রবিন এবং সলোভে – স্ট্র্যাসেনের সম্ভাব্যতাগত প্রাথমিক পরীক্ষাগুলি খুব সহজ এবং দক্ষ। অগ্রণী, কায়াল এবং স্যাক্সেনা সমাধান করেছেন এমন একটি দক্ষ ডিটারমিনিস্টিক আদিম পরীক্ষার সন্ধান করা দীর্ঘদিনের উন্মুক্ত সমস্যা ছিল। একেএস পরীক্ষা হ'ল একটি নির্বাহী বহুপদী-পরীক্ষার প্রাথমিকতা পরীক্ষা। তবে এটি সম্ভাব্য পরীক্ষাগুলির মতো সহজ এবং দক্ষ নয়।

— ইয়ুরি

এলোমেলোভাবে নির্বাচন (মিডিয়ান ফাইন্ডিং) নির্বাহী থেকে কিছুটা সহজ। আনুমানিক প্যাকিং এবং এলপিগুলিকে .েকে দেওয়ার জন্য এলোমোমাইজড অ্যালগরিদমগুলি তাদের নির্মাতারা প্রতিপক্ষের ( কেওয়াই 07 , জি কে 95 ) এর চেয়ে দ্রুত (সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে) দ্রুত । অনেক অনলাইন সমস্যা এলোমকে এলোমেলো করে তোলে যা কোনও নির্ধারক অ্যালগরিদম এফকে 91 এর চেয়ে বেশি প্রতিযোগিতামূলক ।

— নিল ইয়ং

উচ্চ মাত্রায় উত্তল দেহের ভলিউম গণনা করা র্যান্ডমাইজেশনের মাধ্যমে একটি -প্রক্রোক্সিমেশন স্বীকার করে । এটি জানা যায় যে কোনও ডিস্ট্রিমেন্টিক অ্যালগরিদম একটি ভাল অনুমান করতে পারে না। অতএব এলোমেলোকরণ এখানে প্রয়োজনীয়। $(1+\epsilon)$

— চন্দ্র চেকুরি

@ চন্দ্রচেকুরী এটি একটি ভাল মন্তব্য এবং আরও উত্তরের উত্তর হতে পারে :)

— সুরেশ ভেঙ্কট

ওরাকল মডেলটিতে চন্দ্রচেকুরী, অন্যথায় $\mathsf{BPP} \neq \mathsf{P}$

— সাশো নিকোলভ

Answer 1

বাদাম এবং বোল্ট বাছাই করা হচ্ছে

1992 সালে রাউলিনস নিম্নলিখিত সমস্যাটির পরামর্শ দিয়েছিলেন: মনে করুন আপনাকে বাদাম এবং এন বল্টসের সংকলন দেওয়া হয়েছে। প্রতিটি বল্টের ঠিক একটি বাদামের সাথে মানানসই, এবং অন্যথায়, বাদাম এবং बोल্টগুলির পৃথক আকার রয়েছে। আকারের খুব কাছাকাছি জোড়া জোড় বা বাদামের জোড়া মধ্যে সরাসরি তুলনা করতে অনুমতি দেয়। তবে আপনি যে কোনও বাদামকে একসাথে স্ক্রু করার চেষ্টা করে যে কোনও বল্টের সাথে তুলনা করতে পারেন; অবিচ্ছিন্ন সময়ে, আপনি আবিষ্কার করতে পারবেন যে বল্টটি খুব বড়, খুব ছোট, বা বাদামের জন্য ঠিক সঠিক। আপনার কাজটি হ'ল বাদাম এবং बोल্টকে আকার অনুসারে বাছাই করতে প্রতিটি বাদামের সমান বা সমানভাবে কোন বল্ট ফিট করে তা আবিষ্কার করা।

এলোমেলোভাবে কুইকোর্টের একটি সোজাসুজি বৈকল্পিক উচ্চ সম্ভাবনার সাথে সময়ে সমস্যার সমাধান করে । একটি এলোমেলো বল্ট বাছুন; বাদাম ভাগ করার জন্য এটি ব্যবহার করুন; বোল্টগুলি ভাগ করার জন্য ম্যাচিং বাদাম ব্যবহার করুন; এবং পুনরাবৃত্তি। যাইহোক, ও ( এন 2 ) এও চলে এমন একটি ডিস্ট্রিমেন্টিক অ্যালগরিদম খুঁজে পাওয়া অনর্থক। নির্ধারিত হে ( এন লগ এন ) -আকালীন অ্যালগরিদমগুলি অবশেষে ১৯৯৫ সালে ব্র্যাডফোর্ড এবং স্বতন্ত্রভাবে কমলিস, মা এবং সেজেমেরডি দ্বারা আবিষ্কার করা হয়েছিল। হুডের নীচে, উভয় অ্যালগরিদম একেএস সমান্তরাল বাছাই করা নেটওয়ার্কের রূপগুলি ব্যবহার করে, তাই হে ( $O(n \log n)$$o(n^2)$$O(n\log n)$ সময়সীমা যথেষ্ট বড়; র্যান্ডমাইজড অ্যালগরিদমের জন্য লুকানো ধ্রুবক 4 is$O(n\log n)$

• নোগা অ্যালন, ম্যানুয়েল ব্লুম, আমোস ফিয়াট, সম্পাথ কান্নান, মনি নোয়ার, এবং রাফায়েল অস্ট্রভস্কি। বাদাম এবং বল্টসের সাথে মিল। Proc। ৫ ম আন। এসিএম-সিয়াম সিম্প। বিযুক্ত অ্যালগরিদম , 690-696, 1994।
• নোগা অ্যালন, ফিলিপ জি ব্র্যাডফোর্ড, এবং রুডলফ ফ্লেশার। বাদাম এবং বল্টগুলি দ্রুত মিলছে। অধিকার। Proc। লেট। 59 (3): 123–127, 1996।
• ফিলিপ জি ব্র্যাডফোর্ড বাদাম এবং বল্টগুলি সর্বোত্তমভাবে মিলছে। প্রযুক্তি. রিপাবলিক। MPI-i-95-1-025, ম্যাক্স-প্লাঙ্ক ইনস্টিটিউট Informatik পশম, 1995 http://domino.mpi-inf.mpg.de/internet/reports.nsf/NumberView/1995-1-025
• ফিলিপ জি ব্র্যাডফোর্ড এবং রুডলফ ফ্লিশার। বাদাম এবং বল্টগুলি দ্রুত মিলছে। Proc। 6 ষ্ঠ। আইএনটি। Symp। অ্যালগরিদমস কম্পিউট।, 402–408, 1995. বক্তৃতা নোট গণনা। সী। 1004।
• জোনোস কোমলিস, ইউয়ান মা, এবং এন্ড্রে শেসেমেরাদি। সময়ে বাদাম এবং বোল্টের মিল । সিয়াম জে। স্বচ্ছ ম্যাথ। 11 (3): 347–372, 1998।$O(n\log n)$
• গ্রেগরি জে। ই। রাউলিনস। কিসের তুলনায়? : অ্যালগরিদমের বিশ্লেষণের একটি ভূমিকা । কম্পিউটার সায়েন্স প্রেস / ডাব্লুএইচ ফ্রিম্যান, 1992।

Comments

এটি একটি সুন্দর উদাহরণ, তবে এটি একটি ওরাকল সমস্যা। এটি থেকে ওরাকল অপসারণ করার কোনও উপায় আছে?

— পিটার শর

98 টি স্মেমেডি কাগজে একটি লিঙ্ক পেয়েছেন? এ কেমন শক্ত? সমান্তরালভাবে প্রতিটি বল্টকে একটি অনন্য বাদামের সাথে তুলনা করুন এবং প্রতিটি জোড়কে বাছাই করা ক্রমে রাখুন; মিলছে উপাদান অপসারণ। লগ (এন) পদক্ষেপে বাছাই করা nbnbnbnbnb ক্রমগুলি মার্জ করে, ম্যাচগুলি উত্থাপিত হওয়ার সাথে সাথে বের করে দেওয়া। সম্পাদনা: হ্যাঁ, এনএনএন এবং বিবিবিবি স্ট্রিংগুলির অপ্রয়োজনীয়তা সংহতকরণের পদক্ষেপে বিরক্তিকর।

— চাদ ব্রিউবেকার

@ চ্যাডব্রেউবেকার ধরুন প্রতিটি জুটিতে তবে একটি, বল্ট বাদামের চেয়ে ছোট। (হ্যাঁ, এটি সম্ভব)) এখন আপনার অ্যালগরিদম কী করে? অন্য কথায়, "বিরক্তিকর" = "পুরো সমস্যা"।

— জেফি

আমি সেজেমেরেডি কাগজ সন্ধান করছিলাম এবং জোরে চিন্তা করছিলাম কীভাবে এটি শক্ত। হ্যাঁ, আমি একমত হই যে একীভূত ভিত্তিক পদ্ধতির বিষয়টি অনানুষ্ঠানিক; তবে সমান্তরাল গ্রাফ সংযোগের বিষয়ে বিষকিনের কাগজপত্রগুলি মনে হয় যে এটি অসম্ভব নয়।

— চাদ ব্রিউবেকার

বাদাম এবং বল্টের প্রতিটি তুলনার সাথে সাথে আপনি গ্রাফ বা একটি মিলের সাথে একটি নির্দেশিত প্রান্ত যুক্ত করতে পারেন যা উভয় শীর্ষে সরিয়ে দেয়। লক্ষ্যটি হ'ল সংযুক্ত উপাদানগুলিকে এমনভাবে মার্জ করা হবে যাতে তারা কাজের মধ্যে একটি লিনিয়ার পরিমাণের সাথে তাদের মধ্যে সমস্ত ম্যাচ ভেঙে দেয় এবং লিনিয়ার স্পেসের সাথে আবদ্ধ সংযুক্ত উপাদানটিতে প্রান্তগুলির স্টোরেজ আকার রাখে।

— চাদ ব্রিউবেকার

Answer 2

একবার আপনি কেবল পলি-টাইম নিয়ে কথা বলছেন না বরং আমরা যে অধ্যয়নরত গণনার অনেকগুলি মডেলের দিকে নজর রেখেছি তা এখানে সর্বত্র উদাহরণ রয়েছে:

লগস্পেসে: আন-নির্দেশিত এসটি সংযোগ (১৯৯৯ সাল থেকে আরএল এবং কেবল ২০০৫ সাল থেকে এল তে)

এনসিতে: ​​সমান্তরালে দ্বিপক্ষীয় গ্রাফের একটি নিখুঁত মিল খুঁজে পাওয়া (আরএনসিতে এবং এখনও এনসি তে জানা নেই)

ইন্টারেক্টিভ প্রুফগুলিতে: ডিটারমিনিস্টিকরা এনপি দেয়, যখন এলোমেলোভাবে পিএসপিএসি করতে পারে। সম্পর্কিত: একটি প্রমাণ পরীক্ষা করার জন্য নির্ধারিতভাবে সমস্ত প্রমাণের দিকে নজর রাখা প্রয়োজন, যখন পিসিপি প্রমাণ আপনাকে কেবল ধ্রুব সংখ্যক বিট পরীক্ষা করতে দেয়।

অ্যালগরিদমিক মেকানিজম ডিজাইনে: অনেকগুলি এলোমেলোভাবে সত্যবাদী আনুষঙ্গিক প্রক্রিয়া যার কোনও প্রতিরোধমূলক অংশ নেই।

যোগাযোগের জটিলতায়: সমতা ফাংশনটির জন্য রৈখিকভাবে যোগাযোগ রৈখিকভাবে যোগাযোগ করা প্রয়োজন তবে লগারিদমিক (বা সঠিক মডেলের উপর নির্ভর করে ধ্রুবক) যোগাযোগ এলোমেলোভাবে করা যায়।

সিদ্ধান্ত গাছগুলিতে: একটি এবং-বা গাছের মূল্যায়নের জন্য নির্ধারিতভাবে রৈখিক প্রশ্নগুলি প্রয়োজন তবে এলোমেলোকরণের সাথে অনেক কম। এটি মূলত আলফা-বিটা ছাঁটাইয়ের সমতুল্য যা গেম-ট্রি মূল্যায়নের জন্য এলোমেলোভাবে সাব-লিনিয়ার অ্যালগোরিদম দেয়।

স্ট্রিমিং মডেলগুলিতে, বিতরণ করা কম্পিউটিং মডেল: পূর্ববর্তী উত্তরগুলি দেখুন।

Answer 3

সর্বাধিক স্ট্রিমিং অ্যালগরিদম

গণনার স্ট্রিমিং মডেলটিতে ( এএমএস , বই) ) এ, একটি অ্যালগরিদম আপডেটের একটি অনলাইন ক্রম প্রসেস করে এবং কেবল সাবলাইনার স্পেস রাখার জন্য সীমাবদ্ধ। যে কোনও সময়, অ্যালগরিদম একটি প্রশ্নের উত্তর দিতে সক্ষম হওয়া উচিত।

অনেক সমস্যার জন্য সাবলাইনার স্পেস র্যান্ডমাইজড স্ট্রিমিং অ্যালগরিদম উপস্থিত রয়েছে তবে সম্ভবত কোনও ডিটারমিনিস্টিক অ্যালগরিদম সাবলাইনার স্পেসে সমস্যার সমাধান করতে পারে না। এটি এলোমেলো এবং ডিটারমিনিস্টিক যোগাযোগ জটিলতার মধ্যে ফাঁকগুলির সাথে সম্পর্কিত। একটি সরল উদাহরণ স্বতন্ত্র গণনা সমস্যা: এ প্রতিটি সময় পদক্ষেপ অ্যালগরিদম একটি পূর্ণসংখ্যা দেওয়া হয় আমি টি ∈ [ এন ] , এবং এটি আনুমানিক করতে সক্ষম হওয়া উচিত ডি মি = | { i টি : t = 1 … মি } | স্বতন্ত্র সময় ধাপে আপ দেখা পূর্ণসংখ্যার সংখ্যা অর্থাৎ $t$$i_t \in [n]$$D_m = |\{i_t: t = 1\ldots m\}|$$m$। এটি দেখাতে তুলনামূলক সহজ যে ধ্রুবক আনুমানিকতা অর্জনকারী যে কোনও ডিটারমিনিস্টিক অ্যালগরিদম অবশ্যই স্পেস ব্যবহার করতে হবে (উদাহরণস্বরূপ বক্তৃতা নোটগুলি দেখুন ও ( লগ এন ) বিটগুলিতে করে। সর্বশেষ কাজ সমস্যার উপর একটি অনুকূল দেয় হে ( $\Omega(n)$পাইওটার ইন্দিক দ্বারা)। অন্যদিকে ফ্লাজোলেট এবং মার্টিনের চতুর স্যাম্পলিং অ্যালগরিদম (উপরে লিঙ্কিত এএমএস পেপারে সীমিত র্যান্ডমনেস সহ সাধারণ বিশ্লেষণ) এতে ধ্রুবক আনুমানিকতা অর্জন করে$O(\log n)$ অ্যালগরিদম যা কোনও 1 ± x আনুমানিকগণনা করে।$O(\frac{1}{\epsilon^2} + \log n)$$1\pm \epsilon$

Answer 4

একটি খোঁজা একটি বিতরণ নেটওয়ার্কের মধ্যে সর্বোচ্চ স্বাধীন সেট এর সর্বাধিক ডিগ্রী অর্জন নোড Δ । একটা পরিচিত নিম্ন মুখী [3] এর এর মিনিট ( Ω ( লগ ইন করুন Δ ) , Ω ( $n$$\Delta$$\min(\Omega(\log\Delta),\Omega(\sqrt{\log n}))$ যা এলোমেলো এবং ডিটারমিনিস্টিক অ্যালগরিদমের জন্য ধারণ করে।

নীচে একটি সাধারণ এলোমেলোভাবে বিতরণ অ্যালগরিদম [1] যা সিঙ্ক্রোনাস রাউন্ডে এগিয়ে যায় । (ক বৃত্তাকার, প্রতি নোডের স্থানীয় গণনার এবং সেন্ড বার্তা তার প্রতিবেশীদের সম্পাদন করতে পারবেন। এই বার্তাগুলি পরের বারে শুরুর আগে প্রাপ্ত করা নিশ্চিত করা হয়।)$u$

1. প্রতি বৃত্তাকার, প্রত্যেক সক্রিয় নোড সম্ভাব্যতা সঙ্গে চিহ্ন নিজেই 1 / ঘ তোমার দর্শন লগ করা যেখানে ঘ তোমার দর্শন লগ করা > 0 হয় ডিগ্রী তোমার দর্শন লগ করা ; যদি ঘ $u$$1/d_u$$d_u>0$$u$ , আপনি কেবল স্বতন্ত্র সেটে প্রবেশ করেন। (প্রথমদিকে, প্রতিটি নোড সক্রিয় থাকে))$d_u=0$$u$
2. যদি তার আশপাশ-এ শুধু চিহ্নিত নোড হয়, U স্বাধীন সেট প্রবেশ করে, নিজেই এবং সূচিত তার প্রতিবেশীদের সব নিষ্ক্রিয় নিজেদের নিষ্ক্রিয় করতে। অবশিষ্ট সক্রিয় নোডগুলির ডিগ্রি সেই অনুযায়ী হ্রাস পেয়েছে, অর্থাৎ নিষ্ক্রিয় নোডের সমস্ত প্রান্ত অপসারণ করা হবে।$u$$u$
3. অন্যথায়, যদি এমন কোনও প্রতিবেশী নোড যা চিহ্নিত করা থাকে, তবে নিম্ন ডিগ্রি মেরুটি নিজেই চিহ্নিত করে এবং সক্রিয় থাকে।$v$

এটি দেখানো যেতে পারে যে এই অ্যালগরিদম উচ্চ সম্ভাবনার সাথে রাউন্ডগুলিতে সমাপ্ত হয়, এই যুক্তি দিয়ে বাকী প্রান্তগুলির অর্ধেকটি প্রতিটি রাউন্ডে মুছে ফেলা হয়। বিপরীতে, সর্বাধিক পরিচিত ডিটারমিনিস্টিক বিতরণ করা অ্যালগরিদম [2] লাগে ও ( $O(\log n)$রাউন্ডগুলি এবং আরও জটিল।$O(n^{1/\sqrt{\log n}})$

---

[1] মাইকেল লবি: সর্বাধিক স্বতন্ত্র সেট সমস্যার জন্য একটি সাধারণ প্যারালাল অ্যালগরিদম। সিয়াম জে। কম্পিউটার। 15 (4): 1036-1053 (1986) http://dx.doi.org/10.1137/0215074

[২] আলেসান্দ্রো প্যানকোনেসি, অরবিন্দ শ্রীনিভাসন: বিতরণযোগ্য নেটওয়ার্ক পচনের জটিলতায়। জে অ্যালগরিদম 20 (2): 356-374 (1996) http://dx.doi.org/10.1006/jagm.1996.0017

[3] ফ্যাবিয়ান কুহন, টমাস মোসকিরবোদা, রজার ওয়াটেনহোফার: স্থানীয় গণনা: নিম্ন এবং উচ্চতর সীমা। কোআরআর অ্যাবস / 1011.5470 (2010) http://arxiv.org/abs/1011.5470

Comments

জৈবিক সিস্টেমগুলি দ্বারা অনুপ্রাণিত একটি সাম্প্রতিক অ্যালগরিদম (পিওডিসি 2013 এ) একটি সাধারণ স্থানীয় প্রতিক্রিয়া ব্যবস্থা ব্যবহার করে লবি'র মতো পারফরম্যান্স অর্জন করে। arxiv.org/abs/1211.0235

— আন্দ্রে সালামন

Answer 5

প্রক্রিয়াগুলির একটি বেনামি রিংয়ে নেতা নির্বাচন

$1$ রাজ্যে এবং অন্যান্য সমস্ত প্রক্রিয়া নির্বাচিত অবস্থায় প্রবেশ করে । এটি তথাকথিত নেতাদের নির্বাচনের সমস্যা যা বিতরণ ব্যবস্থায় অন্যতম মৌলিক প্রতিসাম্যতা ভাঙার কাজ এবং এর অনেকগুলি প্রয়োগ রয়েছে।

একটা সহজ যুক্তি (যেমন [1]) কোন যে নিয়ন্ত্রণবাদী একটি বেনামী রিং জন্য নেতা নির্বাচন অ্যালগরিদম।

মডেল: আমরা ধরে নিয়েছি যে সংযোজনটি সিঙ্ক্রোনাস রাউন্ডে অগ্রসর হয় যেখানে প্রতিটি রাউন্ডে প্রতিটি প্রক্রিয়া কিছুটা স্থানীয় গণনা সম্পাদন করে, তার প্রতিবেশীদের রিংয়ে বার্তা পাঠায় এবং তার প্রতিবেশীদের কাছ থেকে বার্তা প্রাপ্ত করে receives

$A$$r\ge 0$$1$

$r\ge 0$$r$$A$$r$$r$$r+1$$A$

$A$$n$$[1,n^4]$

---

[1] ডানা অ্যাংলুইন: প্রসেসরের নেটওয়ার্কগুলিতে স্থানীয় এবং গ্লোবাল প্রোপার্টি (বর্ধিত বিমূর্ত)। স্টক 1980: 82-93। http://doi.acm.org/10.1145/800141.804655

Answer 6

কোয়েরি মডেলটিতে সর্বাধিক সমস্যা।

$n$$i$$j$

$n/2$$O(n)$

$O(n)$

FRK চুং, আরএল গ্রাহাম, জে মাও এবং এসি ইয়াও, অন্যমনস্ক এবং সংখ্যাগরিষ্ঠ এবং সাংস্কৃতিক বহুত্ব সমস্যা, জন্য অভিযোজিত কৌশল Proc। কুকুন 2005 , পিপি 329–338।