উচ্চ সাফল্যের সম্ভাবনা সহ গ্রোভার অ্যালগরিদমের অনুকূলতার উপর

Question

এটি সুপরিচিত যে ফাংশনটির সীমিত ত্রুটি কোয়ান্টাম কোয়েরি জটিলতা $OR(x_1,x_2,\ldots, x_n)$ হয় $\Theta(\sqrt{n})$। এখন প্রশ্নটি কি আমরা যদি আমাদের কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম সম্ভাবনার সাথে প্রতিটি ইনপুট সফল করতে চান$1-\epsilon$ স্বাভাবিকের চেয়ে বরং $2/3$। এখন শর্তে$\epsilon$ উপযুক্ত ওপরের এবং নিম্ন সীমানা কি হবে?

এটা তাত্ক্ষণিক $O(\sqrt{n} \log(1/\epsilon))$গ্রোভার অ্যালগরিদম পুনরাবৃত্তি করে এই কাজের জন্য ক্যোয়ারী যথেষ্ট ices তবে আমি যা মনে করি তা থেকে মোটেও সর্বোত্তম নয় এমনকি সরল গ্রোভার অ্যালগরিদম যদি সাবধানে চালানো হয়, যেমন যথাযথ সংখ্যার পুনরাবৃত্তির জন্য, এমন কিছু অর্জন করতে পারে$\epsilon=O(1/n)$ শুধু সাথে $O(\sqrt{n})$পুনরাবৃত্তিও। এবং তাই এটি ব্যবহার করে সবার জন্য উন্নতি পেতে পারে$\epsilon$'S। অন্যদিকে, আমি এটি আশা করি না$\Omega(\sqrt{n})$ খুব ছোট জন্য সঠিক উত্তর হতে $\epsilon$'S।

তবে আমি কী আগ্রহী তা দেখতে আগ্রহী $\epsilon$নির্ভর করে উপরের এবং নিম্ন সীমার বিভিন্ন ব্যাপ্তির জন্য $\epsilon$ বিশেষ করে যখন $\epsilon$ খুব ছোট বলে $\epsilon= \exp(-\Omega(n))$ অথবা $\epsilon=1/n^k$ বড় জন্য $k$'S।

(কিছু প্রসঙ্গে বলতে গেলে, আমি যে সাধারণ ঘটনাটি পাচ্ছি তা হ'ল কোয়ান্টাম কোয়েরি জটিলতার প্রেক্ষাপটে প্রশস্তকরণ))

Comments

এই কাগজটি আপনার প্রশ্নের উত্তর সরবরাহ করতে হবে: arxiv.org/abs/cs/9904019v2

— জন ওয়াটরাস

হুঁ আমি এখন কিছুটা বিভ্রান্ত হয়ে পড়েছি মামলার জন্য $\epsilon=\frac{1}{N}$। মনে হয় এই কাগজটি arxiv.org/pdf/quant-ph/9605034v1.pdf বলেছে যে প্রায়$\frac{\pi}{4}\sqrt{N}$ পুনরাবৃত্তিগুলি একটি উচ্চ সম্ভাবনার ফলাফল পেতে পারে, যেমন $\epsilon=\frac{1}{N}$। (প্রথম কলামের 2 পৃষ্ঠার নীচে) অন্যদিকে আপনি উল্লিখিত কাগজটি বলেছেন, ধারা 3 এর 4 পৃষ্ঠার শেষে, এটি$o(1)$ ব্যর্থতা সম্ভাবনা জন্য অসম্ভব $O(\sqrt{N})$প্রশ্নের।

— মোহাম্মদ বাভারিয়ান

@ মোহাম্মদবাভারিয়ান: আমি মনে করি যে কেবল সমাধানের সংখ্যাটি (বা একটি অনন্য সমাধান রয়েছে) সেই ক্ষেত্রেই এটি সম্ভব।

— রবিন কোঠারি

Answer 1

সম্পূর্ণতার জন্য, একটি উত্তর এখানে।

দিন $Q_\epsilon(f)$ ইঙ্গিত $\epsilon$কোনও ক্রিয়াকলাপের কম্পিউটিংয়ের তাত্ক্ষণিক কোয়ার্টাম কোয়েরি জটিলতা $f$ এবং $\mathsf{OR}_n$ ওআর ফাংশনটি চালু থাকুন $n$ বিটস, হিসাবে সংজ্ঞায়িত $\mathsf{OR}_n(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{i=1}^n x_i$। (দ্রষ্টব্য যে এটি সেই সমস্যার থেকে পৃথক যেখানে আপনাকে প্রতিশ্রুতি দেওয়া হয় যে ইনপুটটির ঠিক এক 1 রয়েছে এবং উদ্দেশ্যটি হ'ল এটি 1 যে কোনও সমস্যা ছাড়াই সমস্যাটি সমাধান করা যায়)$\Theta(\sqrt{n})$ প্রশ্নের।)

তাহলে আমাদের সবার জন্য আছে $\epsilon \in [2^{-n},1/3]$,

$Q_\epsilon(\mathsf{OR}_n) = \Theta(\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$।

এটি ছোট-ত্রুটি এবং জিরো-ত্রুটি কোয়ান্টাম অ্যালগরিদমের জন্য সীমা থেকে অনুসরণ করা হয় ।

আসলে, আমরা আরও সাধারণ কিছু জানি। সমস্ত প্রতিসম ফাংশন জন্য$f$, যা কেবলমাত্র ইনপুটটির হামিং ওজনের উপর নির্ভর করে এমন ফাংশনগুলি আমাদের কাছে রয়েছে $\epsilon \in [2^{-n},1/3]$,

$Q_\epsilon(f) = \Theta(Q_{1/3}(f)+\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$।

এটি কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম সম্পর্কিত একটি নোট এবং প্রতিসাম্যিক ক্রিয়াকলাপগুলির জন্য এপসিলন-ত্রুটি বহুত্বের ন্যূনতম ডিগ্রীতে দেখানো হয়েছিল ।