ধরণের দ্বৈততা কীভাবে সংজ্ঞায়িত হয়?

ফ্রি ওয়েডলারের পুনরাবৃত্তির ধরণগুলিতে ! [1], তিনি দুটি ধরণের প্রদর্শন করেছিলেন, এবং , এবং দাবি করেছে যে তারা দ্বৈত । বিশেষত, তিনি উল্লেখ করেছেন যে the প্রকারটি হয় না সাবেক দ্বৈত। দেখে মনে হচ্ছে যে এখানে দ্বৈততাটি যুক্তিতে ডি মরগান দ্বৈততার চেয়ে পৃথক। আমি বিস্মিত হই যে প্রকারের দ্বৈততা কীভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, বিশেষত উল্লিখিত তিন প্রকারের জন্য, দ্বিতীয়টি কেন প্রথমটির দ্বৈত যখন তৃতীয় নয়। ধন্যবাদ। $\forall X . (F(X) \rightarrow X) \rightarrow X$ $\exists X . (X \rightarrow F(X)) \times X$ $\exists X . X \rightarrow (X \rightarrow F(X))$

[1] http://homepages.inf.ed.ac.uk/wadler/papers/free-rectypes/free-rectypes.txt

lo.logic type-theory

— দিন
সূত্র

আমি এখানে খুব বেশি সহায়ক হব না, তবে এটি বিভাগের তাত্ত্বিক বলে মনে হচ্ছে।

— অ্যান্টনি

উত্তর:

এই প্রসঙ্গে দ্বৈততা এক ক্ষেত্রে সর্বনিম্ন স্থির বিন্দু এবং অন্য ক্ষেত্রে সর্বাধিক স্থির বিন্দু গ্রহণ বোঝায় । আমাদের কী অর্থে বোঝার চেষ্টা করা উচিত এবং হ'ল পুনরাবৃত্ত সমীকরণ এর "সর্বনিম্ন" এবং "সর্বাধিক" সমাধান । $L = \forall X . (F(X) \to X) \to X$ $G = \exists X . (X \to F(X)) \times X$ $F(X) \cong X$

প্রথমত, এবং প্রকৃতপক্ষে নির্দিষ্ট পয়েন্ট (নির্দিষ্ট প্রযুক্তিগত অনুমানের অধীনে যা প্রকৃতিকে সীমাবদ্ধ করে ) কারণ তুলনা মানচিত্র এবং দ্বারা প্রদত্ত $L$ $G$ $F$ $v : F(L) \to L$ $w : G \to F(G)$ এবং

v x X g = g (F (λ h : L . h X g) x)

$v \, x \, X \, g = g \, (F (\lambda h : L \,.\, h \,X\, g)\, x)$

isomorphism ph বিজ্ঞপ্তিটি আমরা সত্য যে ব্যবহৃত

একটি functor, অর্থাত্, এটা একঘেয়েমি, যখন আমরা এটা ফাংশন প্রয়োগ করা হয়।

w (X, (f, x)) = F (λ y : X . (X, (f, y))) (f x)

$w (X, (f, x)) = F (\lambda y : X \,.\, (X, (f, y))) \, (f x)$

F

$F$

ধরুন কোনো সমাধান একটি মধ্যস্থতার isomorphism সঙ্গে । তারপরে আমাদের ক্যানোনিকাল মানচিত্র রয়েছে defined দ্বারা সংজ্ঞায়িত $Y$ $F(Y) \cong Y$ $u : F(Y) \to Y$

α : L \to Y and β : Y \to G

$\alpha : L \to Y \text{ and } \beta : Y\to G$

এবং

α f = f Y u

$\alpha \, f = f\, Y\, u$

সুতরাং,

হ'লকমকারণ আমরা এর থেকে অন্য যে কোনও সমাধানেম্যাপ করতে পারিএবং

সবচেয়েবড়কারণ আমরা এর অন্য কোনও সমাধান থেকে ম্যাপ করতে পারি। প্রাথমিক বীজগণিত এবং চূড়ান্ত কয়লাগ্রাবার সম্পর্কে কথা বলার মাধ্যমে আমরা এই সমস্ত আরও সুনির্দিষ্ট করতে পারি, তবে আমি চাই আমার উত্তরটি সংক্ষিপ্ত এবং মিষ্টি হোক, এবং কোডি যেভাবেই বীজগণিতগুলি ব্যাখ্যা করেছিলেন explained

β y = (Y, (u^{- 1}, y)) .

$\beta \, y = (Y, (u^{-1}, y)).$

L

$L$

G

$G$

অনুশীলনে সর্বাধিক সমাধান হ'ল আগ্রহী ডেটাটাইপগুলি এবং সর্বাধিক সমাধান হ'ল অলস ডেটাটাইপ। উদাহরণস্বরূপ, যদি তারপর প্রথম ক্ষেত্রে আমরা পেতে সসীম তালিকা 'র এবং দ্বিতীয় সসীম এবং অসীম তালিকা ' র। $F(X) = 1 + A \times X$ $A$ $A$

— আন্দ্রেজ বাউয়ার
সূত্র

আমার উত্তরটি প্রমাণ হারিয়েছে যে

এবং

স্থির পয়েন্ট (

সম্পর্কে কিছু অনুমানের অধীনে , যা অস্থির থাকতে পারে)।

এবং

তুলনা মানচিত্র কীভাবে লিখব ?

L

$L$

G

$G$

F

$F$

F (L) \to L

$F(L) \to L$

G \to F (G)

$G \to F(G)$

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

ঠিক আছে,

সাথে মানচিত্রের

এবং

খুঁজে পেয়েছি ।

v

$v$

w

$w$

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

মনে হচ্ছে অন্য প্রার্থী আছে মত

, যথা

w

$w$

। কি ঘটছে তা কেউ ব্যাখ্যা করতে পারেন?

w^{'} (X, (f, x)) = F (λ y : X . (X, (f, x))) (f x)

$w' (X, (f, x)) = F (\lambda y : X \,.\, (X, (f, x))) \, (f x)$

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

আমি ধরে নিলাম আপনি প্রমাণ করেছেন যে w'এটি একটি আইসোমরফিজম, তবে এটি আপনাকে একটি বৈধ কয়লাগ্রাবার দেয়? (আমি অনুমান করছি যে এটি করা উচিত, তবে আমি ভুল হতে পারি ...) বর্গটি কমবে বলে মনে হয় না।

— সিএ ম্যাকক্যান

তার নোটে: homepages.inf.ed.ac.uk/wadler/papers/free-rectypes/… , ওয়াডলার প্রথম সংস্করণ দেয়। তবে তিনি এটিকে কিছুটা আলাদাভাবে লিখেছেন: ডাব্লু (এক্স, (চ, এক্স)) = এফ (এক্সক্লুড এক্স কে) (এফএক্স)। এটি কয়লাগ্রাফের কাঠামো আরও স্পষ্টভাবে উপস্থিত হতে দেয় এবং প্রায় অবিলম্বে উপযুক্ত কর্কর্সন মরফিজমগুলির পরিবহণ দেয়। ক্যামকান যেমন বলেছে, আমি মনে করি যে আপনার অন্যান্য সংস্করণটি এই স্কোয়ারগুলিকে ভ্রমণ করে না।

— কোডি

উত্তরটি এফ-বীজগণিতগুলির লেন্সের মাধ্যমে স্পষ্টভাবে বোঝা যায় । একটি recursive ধরনের নিঃশর্ত উপস্থাপনা একটি বিষয়শ্রেণীতে অন্তর্ভুক্ত মোটামুটিভাবে একটি functor ব্যবহার সুনির্দিষ্ট করা যেতে পারে । এরপরে একটি আলজেব্রাসের বিভাগে কাজ করে $I$ $\cal C$ $F:{\cal C}\rightarrow{\cal C}$ $F$

অবজেক্টস হিসাবে: বস্তু এর এর সাথে একটি মরফিজম $A$ $\cal C$ $α : F (A) \to A$ $\alpha:F(A)\rightarrow A$
তীর হিসাবে: স্কোয়ার

এখন জন্য প্রতিনিধিত্ব রিকার্সিভ টাইপ করা , থাকতে হবে প্রাথমিক এই বিষয়শ্রেণীতে অন্তর্ভুক্ত: আমরা প্রয়োজন $I$ $F$ $I$

একটি রূপচর্চা $in:F(I) \rightarrow I$
প্রতিটি -algebra একটি মরফিজম যা উপযুক্ত বর্গাকার যাত্রা করে। $F$ $(A,\alpha)$ $fold: I\rightarrow A$

এখন সংজ্ঞায়িত করুন । এটি বেশ স্পষ্ট গড়ে তুলতে কিভাবে : শুধু নিতে বিল্ডিং আরও জটিল, ওয়াডলার এটিকে ব্যাখ্যা করেছেন, তাই আমি চেষ্টা করব না। তবে নোট করুন যে এটির জন্য একটি ফান্টেক্টর প্রয়োজন requires $I=\forall X.(F(X)\rightarrow X)\rightarrow X$ $fold$

f o l d = λ i : I . i A α : I \to A

$fold=\lambda i:I. i\ A\ \alpha : I\rightarrow A$

i n

$in$

F

$F$ , যা একটি ইতিবাচক প্রয়োজনীয়তা হিসাবে দেখা যেতে পারে।

$F$ $F$

$Z$ $\cal C$ $ω : Z \to F (Z)$ $\omega: Z\rightarrow F(Z)$
$F$ $\alpha$ $\beta$

$T$

$out:T\rightarrow F(T)$
$F$ $Z$ $cofold: Z\rightarrow T$

$T=\exists X.(X\rightarrow F(X))\times X$

c o f o l d = λ z : Z . (Z, ω, z) : Z \to T

$cofold = \lambda z:Z.(Z,\omega,z) : Z\rightarrow T$

T = \exists X . X \to (X \to F (X))

$T=\exists X.X\rightarrow (X\rightarrow F(X))$

— কোডি
সূত্র

$\lambda$ $\pi$

আপনি যখন প্রক্রিয়া ক্যালকুলাসে (পচন) প্রকারগুলি অনুবাদ করেন, দ্বৈততা সহজ হয়: ইনপুট দ্বৈত থেকে আউটপুট এবং বিপরীত হয় । দ্বৈতত্বের (বেশি) কিছু নেই।

$\pi$ $\alpha = (Bool, Int)^{\uparrow}$ $\alpha$ $\alpha$ $x$ $\overline{x}\langle false,7\rangle$ $\overline{\alpha}$ $(v, w)$ $v$ $w$ $\overline{\alpha}$ $(bool,int)^{\downarrow}$ $\overline{\alpha}$ $x$ $c(v,w).0$

$\beta = (int, (int)^{\uparrow})^{\downarrow}$ $(v, w)$ $v$ $w$ $\overline{\beta} =(int, (int)^{\downarrow})^{\uparrow}$ $\alpha$ $\overline{\alpha}$ $P$ $\alpha$ $x$ $Q$ $\overline{\alpha}$ $x$ $P$ $Q$ $\beta$ $\overline{\beta}$

$\forall X.(X,(X)^{\uparrow})^{\downarrow}$ $(v, w)$ $v$ $X$ $w$ $X$ $x$

x (v w) . \bar{w} v

$x(vw).\overline{w}v$

\forall X . (X, (X)^{↑})^{↓}

$\forall X.(X,(X)^{\uparrow})^{\downarrow}$

প্রক্রিয়া স্তরে সার্বজনীন পরিমাপের অর্থ কী? একটি সরল ব্যাখ্যা রয়েছে: যদি ডেটা টাইপ-ভেরিয়েবল দ্বারা টাইপ করা হয়, তবে এটি আউটপুট কেবলমাত্র একটি অবজেক্টের বিষয় হিসাবে ব্যবহার করা যাবে না। সুতরাং আমরা এই ডেটাটি পরিদর্শন করতে পারি না, আমরা কেবল এটিই পাস করতে পারি বা এটি ভুলে যেতে পারি।

$\forall X.(X,(X)^{\uparrow})^{\downarrow}$ $\exists X.(X,(X)^{\downarrow})^{\uparrow}$

[1, 2, 3] এবং কিছু অন্যান্যতে এর তত্ত্বটি কিছু বিশদে বিশ্লেষণ করে কাজ করা হয়েছে, এবং কাজগুলিতে অ্যাক্সেস করা আরও কঠিন, এবং পোলারাইজড লিনিয়ার যুক্তি এবং এটির দ্বৈতত্বের ধারণাকে খুব স্পষ্টভাবে সম্পর্কিত ১৯ 4২ সালে ।

$\lambda$ $\lambda$ $\pi$ $\lambda$ $\pi$ $\lambda$

$\pi$

4 কে। হোন্ডা এট আল।, টাইপড পাই-ক্যালকুলাস এবং মেরুকৃত প্রুফ-নেটগুলির মধ্যে একটি সঠিক চিঠিপত্র ।

5 আর মিলার, প্রক্রিয়া হিসাবে ফাংশন ।

— মার্টিন বার্গার
সূত্র

পুনরায়: typeX (X, (X) ↑) ↓ টাইপের বাসিন্দার সংখ্যা সম্পর্কে আপনার বক্তব্য ↓ পাই-ক্যালকুলাসের জন্য তখন কি "ফ্রি থিওরিয়াম" এর কোনও অ্যানালগ রয়েছে? যদি তা হয় তবে কোথায় এটি আলোচনা করা হয়?

— ডমিনিক মুলিগান

হ্যালো @ ডমিনিকমুলিগান, হ্যাঁ "মুক্ত উপপাদ্য" রয়েছে এবং আমরা [1, 2] এ কিছুটা তদন্ত করেছি। আমি মনে করি এই দিক থেকে আরও অনেক কিছু বলা যেতে পারে।

— মার্টিন বার্গার

@ মার্টিনবার্গার: টাইপড পাই-ক্যালকুলাসের প্রক্রিয়া সমতুল্যের "সঠিক" ধারণাটি কী তা বোঝার জন্য আপনি কী প্যারামিট্রিকটি ব্যবহার করতে পারেন? উদাহরণস্বরূপ, সিস্টেম এফ এ প্যারাম্যাট্রিক যৌক্তিক সম্পর্ক প্রাসঙ্গিক সমতুল্যের সাথে মিলে যায়। উপমা অনুসারে, আমি আশা করব যে প্রসেসের সমতুল্যের যে ধারণাটি পাই-ক্যালকুলাসের জন্য প্যারাম্যাট্রিক যৌক্তিক সম্পর্কের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ তা বিশেষভাবে আকর্ষণীয় হতে পারে।

— নীল কৃষ্ণস্বামী

π

$\pi$

বিসমুলেশন ভিত্তিক চারিত্রিকাগুলি ব্যবহারিক যুক্তির জন্য দরকারী, কারণ এগুলি সমস্ত প্রসঙ্গেই বন্ধের প্রয়োজন হয় না।

— মার্টিন বার্গার