গোলমাল প্যারিটি (LWE) নিম্ন সীমা / কঠোরতার ফলাফল

কিছু পটভূমি:

আমি লার্নিং উইথ এরিসেস (এলডাব্লুইই) সমস্যাটির জন্য "কম-জ্ঞাত" নিম্ন সীমানা (বা কঠোরতার ফলাফল) এবং এর জেনারালাইজেশনগুলির সাথে ত্রুটিগুলি ওভার রিংগুলি বাছাইয়ের বিষয়ে আগ্রহী। নির্দিষ্ট সংজ্ঞা ইত্যাদির জন্য এখানে রেগেভ দ্বারা একটি দুর্দান্ত সমীক্ষা করা হয়েছে: http://www.cims.nyu.edu/~regev/papers/lwesurvey.pdf

স্ট্যান্ডার্ড ধরণের (আর) এলডাব্লুই-স্টাইল অনুমানটি (সম্ভবত, কোয়ান্টাম) হ্রাস দ্বারা (সম্ভবত, আদর্শ) জালাগুলিতে সংক্ষিপ্ততম ভেক্টর সমস্যা হ্রাস করা হয়। এসভিপি-র সাধারণ সূচনাটি এনপি-হার্ড হিসাবে পরিচিত, এবং এটি ছোট পলিনামিয়াল ফ্যাক্টরের সাথে আনুমানিকভাবে কঠিন বলে বিশ্বাসী। (সম্পর্কিত: প্রায় / বহু-বহিরাগত / কারণগুলির মধ্যে সিভিপি আনুমানিক করা শক্ত: http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1005180.1005182 ) আমি এটিও শুনেছি যে (কোয়ান্টাম অ্যালগোরিদমের ক্ষেত্রে) নির্দিষ্ট জালির সমস্যাগুলি (এসভিপি-এর মতো) ছোট ছোট বহুবর্ষের অনুমানের কারণগুলির সাথে সম্পর্কিত হ'ল নন-অ্যাবেলিয়ান লুকানো সাবগ্রুপ সমস্যা সম্পর্কিত (যা নিজের কারণেই কঠিন বলে মনে করা হয়) সম্পর্কিত, যদিও আমি এর জন্য কোনও সুস্পষ্ট, আনুষ্ঠানিক উত্স কখনও দেখিনি।

লার্নিং থিওরি থেকে গোলমাল প্যারিটি সমস্যার ফলে যে কঠোরতার ফলাফল (যে কোনও ধরণের) মধ্যে আমি আরও আগ্রহী। এগুলি জটিলতা শ্রেণীর কঠোরতার ফলাফল, কংক্রিট অ্যালগোরিদমিক নিম্ন সীমা, নমুনা জটিলতার সীমা বা প্রুফ আকারের নিম্ন সীমানা (যেমন রেজোলিউশন) হতে পারে। এটি জানা (সম্ভবত, স্পষ্ট) যে নয়েজ প্যারিটি / লার্নিং প্যারিটি উইথ নয়েস (এলপিএন) সমস্যার সাধারণীকরণ হিসাবে এলডাব্লুইউকে দেখা যেতে পারে, যা কোডিং তত্ত্ব এবং পিএসি এর মতো ক্ষেত্রে কঠোরতা হ্রাসে ব্যবহৃত হয়েছিল বলে মনে হয় শেখার।

নিজের চারপাশে দেখার থেকে, আমি কেবলমাত্র এলপিএন সমস্যার উপরই (হালকাভাবে সুপরিসর) ইউপিআর বাউন্ডস পেয়েছি, যেমন: http://www.di.ens.fr/~lyubash/papers/parityproblem.pdf

প্রশ্ন:

আমি জানি এলপিএন হ'ল লার্নিং কমিউনিটিতে হার্ভেড হার্ড। আমার প্রশ্ন: কেন?

এটি কি কারণ সত্যই প্রচুর চেষ্টা করা হয়েছিল তবে এখনও কেউ ভাল অ্যালগরিদম খুঁজে পায় নি? উপরে বর্ণযুক্ত বিভিন্ন (বা অন্য যেটি আমি বাদ দিয়েছি) নীচের সীমানা জানা আছে ?

যদি উত্তরটি খুব স্পষ্টভাবে কাটা হয় তবে কী জানা আছে তার একটি সংক্ষিপ্তসার সংক্ষিপ্তসার এবং / বা জরিপ / বক্তৃতা নোটের উল্লেখগুলি দুর্দান্ত হবে।

যদি অনেক কিছুই অজানা থাকে তবে যত বেশি "অত্যাধুনিক" কাগজপত্র তত ভাল। :) (সময়ের আগে ধন্যবাদ!)

— ড্যানিয়েল আপন
সূত্র

এলপিএন সমস্যাটি সত্যই শক্ত বলে বিশ্বাস করা হয়, তবে আমরা বিশ্বাস করি যে বেশিরভাগ সমস্যার মধ্যে রয়েছে তারাও শক্ত, এর মূল কারণটি হ'ল অনেক স্মার্ট ব্যক্তি একটি দক্ষ অ্যালগরিদম খোঁজার চেষ্টা করেছেন এবং ব্যর্থ হয়েছেন।

এলপিএন-এর কঠোরতার জন্য সর্বোত্তম "প্রমাণ" প্যারিটি সমস্যার উচ্চ পরিসংখ্যানমূলক ক্যোয়ারের মাত্রা থেকে আসে। পরিসংখ্যানগত প্রশ্নগুলি গাউসিয়ান নির্মূলকরণ (যা যখনই শব্দটি প্রবর্তন করা যায় তখন ব্যর্থ হয়), হ্যাশিং এবং এই দুটির মতো কৌশলগুলি বাদ দিয়ে সর্বাধিক পরিচিত শিক্ষাগত আলগোরিদিমগুলি ক্যাপচার করে। নন স্ট্যাটিস্টিকাল-ক্যোয়ারী অ্যালগরিদমগুলি ডিজাইন করা শক্ত এবং এটিই প্রধান প্রতিবন্ধক। এলপিএন এর কঠোরতার অন্যান্য প্রমাণ হ'ল অন্যান্য হার্ড সমস্যাগুলির সাথে সম্পর্ক (যেমন আপনি উল্লেখ করেছেন এলডাব্লুই, এসভিপি)।

এসকিউ-কঠোরতার জন্য, এখানে কার্নসের ('98) কাগজের লিঙ্কটি রয়েছে ।

এই সমস্যার উপরের সীমানায় অগ্রগতির জন্য, বেশ কয়েকটি ফলাফল রয়েছে:

সম্ভবত সবচেয়ে বিখ্যাত Blum-কালাই-ওয়েসারম্যান ('00) ফলাফলের যা beats হয় একটু দ্বারা সাকা বাধা, একটি অ্যালগরিদম দান ঐ সময়ের মধ্যে রানে । ( লিঙ্ক ) $2^N$ $2^{n / \log n}$
লুবাশেভস্কি ('05) খারাপ চলমান সময় সাথে একটি অ্যালগরিদম খুঁজে পেয়েছে তবে ভাল নমুনার জটিলতা রয়েছে । ( লিঙ্ক ) $O(2^{n / \log\log n})$ $O(n^{1 + \epsilon})$
অল্প ক্ষেত্রে, যেখানে আমরা জানি যে সমতাটি ভেরিয়েবলের উপর রয়েছে , গ্রিগোরেস্কু-রেজিন-ভেম্পালা ('11) একটি ) অ্যালগরিদম দিয়েছে, ব্রুট-ফোর্সকে পিটিয়েছিল । যাইহোক, শব্দের হার পৌঁছানোর সাথে সাথে এই আবদ্ধ দিকে ক্ষয় হয় । ( লিঙ্ক ) $k$ $\approx O(n^{0.5 k})$ $O(n^k)$ $O(n^k)$ $\eta$ $1/2$
ভ্যালিয়েন্ট ('12) স্পার্স কেসের জন্য সম্প্রতি একটি অ্যালগরিদম দিয়েছে। এই আবদ্ধটি আরও শক্তিশালী কারণ এটি শব্দদণ্ডের হারের সাথে জিপিওর ক্ষয় হয় না (জিআরভি ফলাফলের বিপরীতে)। ( লিঙ্ক ) $\approx O(n^{0.8 k})$

— লেভ Reyzin
সূত্র

এটি খুব সুন্দর উত্তর; ধন্যবাদ! আমি অনুগ্রহটিকে কিছুটা ভাসতে দেব (যদি কেউ কিছু বিজোড়-বলের নিচের দিকে আবদ্ধ হন) তবে এটি আমার দৃষ্টিকোণ থেকে সম্পূর্ণ বলে মনে হচ্ছে।

— ড্যানিয়েল আপন