0-1 লিনিয়ার প্রোগ্রামিং: অনুকূল সূত্র গণনা

বিবেচনা করুন $n$ মাত্রিক স্থান $\{0,1\}^n$ , এবং দিন $c$ ফর্মের একটি রৈখিক বাধ্যতা হতে $a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 +\ ...\ + a_{n-1}x_{n-1} + a_nx_n \geq k$ , যেখানে $a_i \in \mathbb{R}$ , এবং । $x_i \in \{0,1\}$ $k \in \mathbb{R}$

স্পষ্টত, বিভাজন এর প্রভাব রয়েছে দুটি সাব-সেট নির্বাচন এবং । সব এবং কেবলমাত্র সেই পয়েন্ট পরিতৃপ্ত রয়েছে , যেহেতু সব রয়েছে এবং কেবলমাত্র সেই পয়েন্ট মিথ্যাভাবে । $c$ $\{0,1\}^n$ $S_c$ $S_{\lnot c}$ $S_c$ $c$ $S_{\lnot c}$ $c$

ধরুন । এখন সাবসেট হতে দিন যে নিম্নলিখিত তিনটি বিবৃতি ধরে রাখে: $|S_c| \geq n$ $O$ $S_c$

ঠিক রয়েছে পয়েন্ট। $O$ $n$
যেমন পয়েন্ট লিনিয়ারে স্বাধীন। $n$
এই ধরনের পয়েন্ট hyperplane দ্বারা প্রতিনিধিত্ব থেকে ন্যূনতম দুরত্ব যারা । আরো সঠিকভাবে, দিন একটি বিন্দু দূরত্ব হতে hyperplane থেকে । তারপরে, ফলে 1 এবং 2 সন্তুষ্ট হয় এটি এমন ক্ষেত্রে যে $n$ $c$ $d( x, c )$ $x \in \{0,1\}^n$ $c$ $\forall B \subseteq S_c$ $B$ । অন্য কথায় হ'ল, এর সমস্ত উপ-বিভাগের মধ্যে1 এবং 2 উভয় শর্ত পূরণ করে, হাইপারপ্লেন থেকে এর বিন্দুগুলির দূরত্বগুলির যোগফলকে হ্রাস করে। $\sum_{x \in B} d(x, c) \geq \sum_{x \in O} d(x, c)$ $O$ $S_c$ $c$

প্রশ্নাবলি

দেওয়া হয়েছে , কী দক্ষতার সাথে কে গণনা করা সম্ভব ? $c$ $O$

এটি গণনা করার জন্য সর্বাধিক পরিচিত অ্যালগরিদম কোনটি?

$\$

সহ উদাহরণ $n = 3$

এন = 3 সহ উদাহরণ

, $S_{\lnot c} = \{ ( 1, 0, 1 ) \}$ । $O = \{ ( 0, 0, 1 ), ( 1, 1, 1 ), ( 1, 0, 0 ) \}$

$\$

05/12/2012 আপডেট করুন

প্রেরণা

প্রেরণা যে ব্যবহার করছে এটা অনুকূল বাধ্যতা নির্ধারণ করা সম্ভব হওয়া উচিত , যেমন hyperplane দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা উচিত পয়েন্ট । $O$ $c^*$ $n$ $O$

অনুকূল বাধ্যতা এক যে অনুকূল polytope করার বিশালাকার । $c^*$ $P^*$

অনুকূল পলিটোপ হ'ল এটিই যার প্রান্তটি সমস্ত এবং কেবলমাত্র প্রাথমিক পলিটোপ (একটি পূর্ণসংখ্যা ভার্টেক্স এমন একটি শীর্ষবিন্দু যা এর স্থানাঙ্কগুলি সমস্ত পূর্ণসংখ্যা হয়)। $P^*$ $P$

অনুকূল সূত্র

প্রক্রিয়া প্রতিটি বাধ্যতা জন্য iterated যাবে একটি 0-1 এর উদাহরণস্বরূপ , প্রতিটি সময় বদলে তার সংশ্লিষ্ট অনুকূল বাধ্যতা সঙ্গে । শেষে, এই অনুকূল polytope হতে হবে এর । তারপরে, যেহেতু এর শীর্ষকোষগুলি সমস্ত এবং কেবলমাত্র প্রাথমিক পলিটোপ পূর্ণসংখ্যার শীর্ষে রয়েছে $c$ $LP$ $I$ $c$ $c^*$ $P^*$ $I$ $P^*$ $P$ এর , কোন অ্যালগরিদম অনুকূল পূর্ণসংখ্যা সমাধান গনা ব্যবহার করা যাবে। আমি জানি সক্ষম হচ্ছে গনা যে দক্ষতার সূচিত করা হবে $I$ $LP$ $P^*$ , তবে নিম্নলিখিত অতিরিক্ত প্রশ্ন এখনও দাঁড়িয়ে আছে: $P = NP$

অতিরিক্ত প্রশ্ন

এই লাইন বরাবর কোন পূর্ববর্তী কাজ আছে? কোনও পলিটপ দেওয়া , এর সাথে সম্পর্কিত অনুকূল পলিটোপ কেউ ইতিমধ্যে কম্পিউটিংয়ের কাজটি তদন্ত করেছেন ? এটি করতে সবচেয়ে পরিচিত অ্যালগরিদম কোনটি? $P$ $P^*$

— জর্জিও ক্যামেরানি
সূত্র

সাবসেটের যোগফল থেকে হ্রাস করে ঠিক এটি করা এনপি-হার্ড বলে মনে হচ্ছে। প্রদত্ত বাইনারি পূর্ণসংখ্যার

, পরীক্ষা করা হবে কিনা তা আছে একটি উপসেট সামিং করতে

, আমরা hyperplane উপর একটি বিন্দু আছে কিনা পরীক্ষা করতে পারেন

। আপনি কি অনুমান সম্পর্কে আগ্রহী?

v_{1}, \dots, v_{n}

$v_1,\dots,v_n$

s

$s$

v_{1} x_{1} + \dots + v_{1} x_{n} = s

$v_1x_1+\dots+v_1x_n= s$

— কলিন ম্যাককুইলান

@ কলিন এমকিউইলান: প্রশ্নটি একটি সঠিক সমাধানের জন্য বোঝানো হয়েছিল, তবে আমি অবশ্যই আনুমানিক সম্পর্কে আগ্রহী। আপনি কেন নিজের মন্তব্যে উত্তরে পরিণত করবেন না?

— জর্জিও ক্যামেরানি

@ কলিনম্যাককিউলান: এছাড়াও, আপনার হাইপারপ্লেন সমতা ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, অন্যদিকে আমার একটি অসমতা ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। আপনি কি নিশ্চিত যে কঠোরতার ক্ষেত্রে এটি কোনও পার্থক্য রাখে না? আমি এখনও এটি পরীক্ষা করে দেখিনি, এইভাবে আমি জিজ্ঞাসা করছি।

— জর্জিও ক্যামেরানী

আমি একটু সব বিধিনিষেধ সম্পর্কে বিভ্রান্ত

। আপনি যদি

এর উত্তল হাল সম্পর্কে তথ্য সন্ধান করছেন তবে 0-1 ন্যাপস্যাক পলিটোপ সম্পর্কে অপারেশন গবেষণা সাহিত্যের প্রচুর ফলাফল রয়েছে। আনুমানিক সূত্রের ক্ষেত্রে, এটি দেখুন ।

O

$O$

S_{c}

$S_c$

— অস্টিন বুচানান

উত্তর:

সাবসেটের যোগফল থেকে হ্রাস করে ঠিক এটি করা এনপি-হার্ড বলে মনে হচ্ছে। ধরুন আমরা গনা একটি দক্ষ পদ্ধতি ছিল । ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার বাইনারিতে এনকোড দেওয়া হয়েছে, আমরা পরীক্ষা করতে চাই যে এখানে একটি উপসেট যোগফল রয়েছে কিনা $O$ $v_1,\dots,v_n$ । চেয়ে বড় কোনও পূর্ণসংখ্যার বাইরে ফেলে পূর্ববর্তী প্রক্রিয়া। $s$ $s$

একটি ছোট সেট প্রাপ্ত প্রসিডিউর কল পরিতৃপ্ত পয়েন্ট , আপনার minimality অবস্থার পরিতৃপ্ত (preprocessing নিশ্চিত )। এই সেটটিতে অবশ্যই হাইপারপ্লেন কোনও বিন্দু থাকবে যদি সেগুলি থাকে । $O$ $v_1x_1+\dots+v_1x_n\leq s$ $|S_c|\geq n$ $v_1x_1+\dots+v_1x_n= s$

— কলিন ম্যাককুইলান
সূত্র

সম্ভবত আমি এখানে ম্যাক্রোস্কোপিক কিছু উপেক্ষা করছি, তবে আমার 2 টি প্রশ্ন রয়েছে: 1) আপনি যখন " বাইনারি পূর্ণসংখ্যা দেওয়া" বলছেন তখন বাইনারি বলতে কী বোঝ ?

অন্তর্গত । সম্ভবত আপনি বাইনারি এনকোড মানে? অথবা আপনি ইতিবাচক বলতে চেয়েছিলেন? 2) কেন সব চেয়ে বড় পূর্ণসংখ্যা

? তারা সমাধানে অবদান রাখতে পারে। উদাহরণস্বরূপ:

v_{1}, . . ., v_{n}

$v_1, ..., v_n$

R

$\mathbb{R}$

s

$s$

v_{1} = - 3, v_{2} = 7, v_{3} = - 5, s = 2

$v_1 = -3, v_2 = 7, v_3 = -5, s = 2$ আপনি বর্জন করা

আপনি একমাত্র সমাধান হারান

।

v_{2}

$v_2$

{v_{2}, v_{3}}

$\{v_2, v_3\}$

— জর্জিও ক্যামেরানী

আমি মনে করি কি কলিন মানে হল যে যদি বাধ্যতা কোফিসিয়েন্টস

মূলদ সংখ্যার তাদের স্বাভাবিক বাইনারি প্রতিনিধিত্ব হয় তাহলে দ্বারা NP-হার্ড আপনার সমস্যা প্রদর্শিত হয়। (আসল সংখ্যা এবং এনপি-কঠোরতা মিশ্রন সবসময়ই

a_{i}

$a_i$

— কৌশলযুক্ত

@ জর্জিও ক্যামেরানী: আমার ইতিবাচক বলতে হবে - আমি আমার উত্তর আপডেট করেছি।

— কলিন ম্যাককুইলান

আমার কাছে মনে হচ্ছে আপনি আইপি-র উত্তল হালতে যাওয়ার চেষ্টা করছেন - সংক্ষেপে কাটা অ্যালগরিদমগুলি অর্জন করার চেষ্টা করে। যদিও তাত্ত্বিকভাবে এই পদ্ধতিগুলিকে আবেদন করা অনুশীলনের ক্ষেত্রে খারাপভাবে ভাড়া দেয়।

বৈধ অসমতার উত্স নিয়ে সমস্ত তত্ত্ব রয়েছে। একটি ভাল সূচনা পয়েন্টটি হবে শ্রীজবারের পূর্ণসংখ্যা প্রোগ্রামিংয়ের বইয়ের তত্ত্ব।

— এজে স্টুডেন্ট
সূত্র