নন-উত্তল চতুর্ভুজ প্রোগ্রামিংয়ের জন্য সঠিক অ্যালগরিদম

এই প্রশ্নটি বক্স সীমাবদ্ধতা (বক্স-কিউপি), অর্থাত্, ফর্মটির অপ্টিমাইজেশন সমস্যাগুলির সাথে চতুষ্কোণ প্রোগ্রামিং সমস্যা সম্পর্কিত

ছোট সাপেক্ষে । $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{c}^T \mathbf{x}$ $\mathbf{x} \in [0,1]^n$

যদি ইতিবাচক আধা নির্দিষ্ট হলেন, তখন সবকিছু সুন্দর এবং উত্তল এবং সহজ হবে, এবং আমরা বহুপদী সময় সমস্যা সমাধানের পারে। $A$

অন্যদিকে, আমাদের যদি সীমাবদ্ধতা , তবে আমরা সহজেই জোর বল দ্বারা সমস্যাটি সমাধান করতে পারতাম । এই প্রশ্নের উদ্দেশ্যে, এটি যুক্তিসঙ্গত দ্রুত। $\mathbf{x} \in \{0,1\}^n$ $O(2^n \cdot \mathrm{poly}(n))$

তবে নন-উত্তল অব্যাহত ক্ষেত্রে কী হবে? সাধারণ বাক্স-কিউপিগুলির জন্য দ্রুততম অ্যালগরিদম কী?

উদাহরণস্বরূপ, আমরা পরিমিতরূপে সূচকীয় সময় এই সমাধান করতে পারে, যেমন, , অথবা সব থেকে বহুল পরিচিত আলগোরিদিম কিছু খারাপ-কেস জটিলতা অনেক খারাপ? $O(3^n \cdot \mathrm{poly}(n))$

ব্যাকগ্রাউন্ড: আমার কাছে কয়েকটি মোটামুটি ছোট বাক্স-কিউপি রয়েছে যা আমি আসলে সমাধান করতে চাই এবং কিছুটা বাণিজ্যিক সফ্টওয়্যার প্যাকেজ এমনকি খুব কম মানের জন্য কীভাবে খারাপ হয় তা দেখে আমি অবাক হয়ে গেলাম । আমি ভাবতে শুরু করেছিলাম যে এই পর্যবেক্ষণের জন্য কোনও টিসিএস ব্যাখ্যা আছে কিনা। $n$

ds.algorithms optimization exp-time-algorithms

— জুক্কা সুমেলা
সূত্র

A

$A$

ϵ

$\epsilon$

1 / ϵ

$1/\epsilon$

n

$n$

ϵ = 10^{- 9}

$\epsilon = 10^{-9}$

প্রকৃত বন্ধ ক্ষেত্রগুলিতে কোয়ান্টিফায়ার নির্মূলের মাধ্যমে, এই সিস্টেমগুলি ঠিকঠাক সমাধান করা সর্বদা সম্ভব।

O (3^{n})

$O(3^n)$

একটি অনুকূল সমাধান কিছু মুখে থাকে lies সুতরাং, আমরা কিউবের সমস্ত মুখের মধ্য দিয়ে যেতে পারি এবং প্রতিটি মুখের সমস্ত স্থির পয়েন্ট পেতে পারি।

$I_0$ $I_1$ $i \in I_0$ $x_i = 0$ $i \in I_1$ $x_i = 1$ $\tilde{x}$ $x$

{\tilde{x}}^{⊤} \tilde{A} \tilde{x} + {\tilde{c}}^{⊤} \tilde{x} + d,

$\tilde{x}^{\top} \tilde{A} \tilde{x} + \tilde{c}^{\top} \tilde{x} + d,$

$\tilde{A}$ $\tilde{c}$ $d$ $0 < \tilde{x} < 1$

এই লক্ষ্যে, আমরা পেতে উদ্দেশ্যমূলক ফাংশন এর পার্থক্য গ্রহণ

\frac{1}{2} \tilde{A} \tilde{x} + \tilde{c} = 0.

$\frac{1}{2} \tilde{A} \tilde{x} + \tilde{c} = 0.$

রৈখিক সমীকরণের এই সিস্টেমটি সমাধান করা আপনাকে স্থির পয়েন্ট দেয়, সর্বোত্তম সমাধানের প্রার্থী candidates আমরা তাদের সকলের মধ্য দিয়ে যাই, শর্তটি পরীক্ষা করি এবং ন্যূনতম উদ্দেশ্য মান সহ একটি চয়ন করি।

$O(3^n \text{poly}(n))$ $n$ $3^n$ $n$

— ইয়োশিও ওকামোটো
সূত্র

f

$f$

@ কোডি: এটি কারণ প্রতিটি পলিটপই তার মুখগুলির বিভাজন ইউনিয়ন।

— Yoshio Okamoto

f

$f$

@ কোডি: সম্পত্তিটি এখনও রয়েছে, তবে আমাদের একের বেশি ডিগ্রির বীজগণিত সমীকরণটি সমাধান করা দরকার। আমি আশঙ্কা করছি যে এটি মাল্টিভারিয়েট ক্ষেত্রে ক্ষেত্রে তুচ্ছ নয়।

— Yoshio Okamoto