ক্যা-ফুিউর-ইমারম্যান গ্যাজেটগুলিতে স্বয়ংক্রিয়তা ph

ওয়েজফিলার-লেহম্যান (ডাব্লুএল) পদ্ধতির মাধ্যমে গ্রাফ আইসোমর্ফিজমের জন্য বিখ্যাত পাল্টা উদাহরণে নিম্নলিখিত গ্যাজেটটি এই কাগজে কাই, ফুরার এবং ইমারম্যান দ্বারা নির্মিত হয়েছিল। তারা প্রদত্ত একটি গ্রাফ করে $X_k = (V_k, E_k)$

$V_k = A_k \cup B_k \cup M_k \\ \text{ where } \\ \quad A_k = \{a_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \\ \quad B_k =\{b_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \mbox{ and } \\ \quad M_k = \{ m_S \mid S \subseteq \{1,2,\ldots, k\},\ |S| \text{ is even} \}\\ E_k =\{(m_S,a_i) \mid i \in S\} \cup \{(m_S, b_i)\mid i \notin S\}$

কাগজে lemmas (থিম 3.1 পৃষ্ঠা 6) রাজ্যের এক, যদি আমরা ছেদচিহ্ন রঙ যে এবং রঙ দিয়ে তারপর (রঙ automorphism দ্বারা সংরক্ষিত থাকতে হবে) যেখানে প্রতিটি automorphism interchanging সাথে সঙ্গতিপূর্ণ এবং প্রত্যেকের জন্য কিছু সাব-সেট নির্বাচন মধ্যে এর $a_i$ $b_i$ $i$ $|Aut(X_k)| = 2^{k-1}$ $a_i$ $b_i$ $i$ $S$ $\{1,2,\ldots, k\}$ এমনকি কার্ডিনালিটির। তারা বলেছে যে প্রমাণটি তাত্ক্ষণিক। তবে আমি দেখতে ব্যর্থ হয়েছি এমনকি এর ক্ষেত্রেও । ইন একটি প্রান্ত কিন্তু যদি আমরা automorphism যা interchanges এবং উপরে প্রান্ত থেকে রুপান্তরিত পরার $k= 2$ $X_2 \ (a_1, m_{\{1,2\}})$ $a_1, b_1$ $a_2, b_2$ $(b_1, m_{\{1,2\}})$ যা কোন কিনারা নয়। যাতে এটি একটি স্বশাসিত হওয়া উচিত নয়।

আমার ভুল বোঝাবুঝিটি কী তা আমি বুঝতে চাই।

— DurgaDatta
সূত্র

আপনি খালি মিস করছেন যা সমস্ত সাথে সংযুক্ত । একটি automorphism পেতে, আপনি একটি সাবসেট নির্বাচন এমনকি cardinality এবং তারপর বিনিময়সমূহ সঙ্গে প্রত্যেকের জন্য এবং তারপর মাঝখানে সেট সামঞ্জস্য করে। আপনার উদাহরণে গ্রাফটি $\emptyset$ $b$ $T\subseteq \{1,...,k\}$ $a_i$ $b_i$ $i\in T$

(a_{1}, {12}), (a_{2}, {12}), (b_{1}, \emptyset), (b_{2}, \emptyset) .

$(a_1,\{12\}),(a_2,\{12\}),(b_1,\emptyset),(b_2,\emptyset).$

এখনও আপনার উদাহরণে যদি আপনি কিছু করতে প্রয়োজন হবে না এবং যদি automorphism সোয়াপিং দেওয়া হয় সঙ্গে , সঙ্গে এবং সঙ্গে । $T=\emptyset$ $T=\{1,2\}$ $a_1$ $b_1$ $a_2$ $b_2$ $\{1,2\}$ $\emptyset$

এখন সাধারণ ক্ষেত্রে, আমাদের দেখাতে হবে যে সবসময় মাঝের কোণটিকে সামঞ্জস্য করার একটি উপায় রয়েছে। আমরা জানি যে এর এমনকি কার্ডিনালিটি রয়েছে। সুতরাং যাক । আমাদের কেবল এটি দেখাতে হবে যে যদি এমন একটি অটোমোরফিজম বিদ্যমান অন্যথায় যেহেতু আমরা রচনা আবেদন করতে পারেন পার্টিশন সংশ্লিষ্ট automorphisms মধ্যে আকারের সাব-সেট নির্বাচন । সুতরাং অনুমান । তারপরে অটোমোরফিজম অদলবদল করে $T$ $|T|=2r$ $|T|=2$ $r$ $T$ $r$ $2$ $T=\{i,j\}$ $a_i$ , সঙ্গে , প্রতিটি মধ্যম প্রান্তবিন্দু যেমন যে মধ্যম প্রান্তবিন্দু ব্যবহার করে (এটি আপনার উদাহরণে দেখা যায়), এবং প্রতিটি উপসেট যেমন যে উপসেট সঙ্গে যেমন যে $b_i$ $a_j$ $b_j$ $S$ $S\cap\{i,j\}=\emptyset$ $S\cup \{i,j\}$ $S$ $S\cap \{i,j\}=\{i\}$ (এটি আপনি জন্য দেখতে পারেন)। লক্ষ্য করুন যে, এই সোয়াপিং প্রক্রিয়া একটি সূচক জন্য যেহেতু একটি automorphism হয় মধ্যে প্রান্ত সম্পর্ক , এবং এইসব আনা ছেদচিহ্ন সম্পূর্ণরূপে সংরক্ষিত হয়, এবং মধ্যে পরিষ্কারভাবে প্রান্ত সম্পর্ক যথাযথভাবে সামঞ্জস্য করা হয়েছে। $S\cap \{i,j\}= \{j\}$ $k=3$ $p\neq \{i,j\}$ $a_p$ $b_p$ $a_i,a_j,b_i,b_j$

অবশেষে যে এই শুধুমাত্র সম্ভব automorphisms, নোটিশ প্রতিটি দেখতে নিজস্ব রঙ দিয়ে রঙ্গিন হয়। তাই তারা অন্য যুগল ম্যাপ করা যাবে না । এছাড়াও যে বিজ্ঞপ্তি এটা সম্ভব একটি automorphism যে কিছু সোয়াপিং ছাড়া একটি মধ্যম প্রান্তবিন্দু একটি মধ্যম প্রান্তবিন্দু মানচিত্র নেই না কিছু । $a_i,b_i$ $a_j,b_j$ $a_i$ $b_j$ $\square$

— ম্যাটিউস ডি অলিভিরা অলিভিরা
সূত্র

সাধারণভাবে আমরা কীভাবে প্রদর্শন করতে পারি যে আমরা সবসময় মাঝখানে সেটগুলি সামঞ্জস্য করতে এবং পছন্দসই অটোমোরফিিজম পেতে পারি? আমার সমস্যার মূল বিষয়টি আসলে এটি।

— দুর্গা দত্ত

হাই, আমি অটোমোরফিজমগুলির নির্মাণ যুক্ত করেছি। আশা করি এটা সাহায্য করবে.

— ম্যাটিউস ডি অলিভিরা ওলিভিরা

ধন্যবাদ. এটি আমার কাছে "তাত্ক্ষণিক" দেখাচ্ছে না। আমি গবেষণায় খুব নতুন। এটা কি আমার পক্ষে খারাপ সংকেত?

— দুর্গা দত্ত

"এটা কি আমার পক্ষে খারাপ সংকেত?" একেবারে না. আমি এর বিপরীতে ভাবি যে আপনার সংশয় একটি খুব ভাল সংকেত। কোনও দিন এই ধরণের জিনিসগুলি সম্ভবত আপনার জন্যও তাত্ক্ষণিক হবে :)

— ম্যাটিউস ডি অলিভিরা অলিভিরা

এটা সত্য যে, একটি সূচক সেট

(প্রতিটি জন্য

যার interchanging হয়

এবং

একটি মধ্যম প্রান্তবিন্দু সূচী সেট থাকে)

রুপান্তরিত পেতে

(প্রতিসম পার্থক্য)?

T

$T$

i \in T

$i \in T$

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

S

$S$

S Δ T

$S \Delta T$

— দুর্গা দত্ত