সেমিাইডেফিনাইট প্রোগ্রামিংয়ের উপর ভিত্তি করে অ্যালগরিদমগুলির সাথে বহুবর্ষীয় গতিসম্পন্ন

এটি এ। পাল দ্বারা জিজ্ঞাসা করা একটি সাম্প্রতিক প্রশ্নের একটি অনুসরণ: বহুপদী সময়গুলিতে সেমিডেফাইনেট প্রোগ্রামগুলি সমাধান করা ।

আমি এখনও অ্যালগরিদমের আসল চলমান সময়কে নিয়ে ভাবছি যা সেমিডেফিনাইট প্রোগ্রাম (এসডিপি) এর সমাধান গণনা করে। রবিন উপরের প্রশ্নটিতে তাঁর মন্তব্যে ইঙ্গিত করার সাথে সাথে , এসডিপিগুলি সাধারণভাবে বহুপদী সময়ে সমাধান করা যায় না।

দেখা যাচ্ছে যে, আমরা যদি আমাদের এসডিপিটি সাবধানতার সাথে সংজ্ঞায়িত করি এবং প্রাথমিক সম্ভাব্য অঞ্চলটি কতটা সীমাবদ্ধ তা সম্পর্কে আমরা একটি শর্ত চাপিয়ে দিই, তবে এসডিপি সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় সময়টিতে বহুপদীকে আবদ্ধ করতে আমরা উপবৃত্তাকার পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে পারি (বিভাগ 3.2 দেখুন) এল। লোভেসে , সেমিডেফিনাইট প্রোগ্রাম এবং কম্বিনেটেরিয়াল অপ্টিমাইজেশন )। সেখানে দেওয়া সীমাটি একটি জেনেরিক " বহুবর্ষ সময় " রয়েছে এবং এখানে আমি কম মোটা বাউন্ডে আগ্রহী।

প্রেরণা কোয়ান্টাম পৃথকীকরণ সমস্যার জন্য ব্যবহৃত দুটি অ্যালগরিদমের তুলনা থেকে আসে (আসল সমস্যাটি এখানে প্রাসঙ্গিক নয়, তাই শাস্ত্রীয় পাঠকদের পড়া বন্ধ করবেন না!)। অ্যালগরিদমগুলি এসডিপিগুলিতে নিক্ষিপ্ত হতে পারে এমন পরীক্ষার শ্রেণিবিন্যাসের উপর ভিত্তি করে, এবং স্তরক্রমের প্রতিটি পরীক্ষা একটি বৃহত্তর স্থানে থাকে, যা সম্পর্কিত এসডিপির আকার আরও বড়। আমি যে দুটি অ্যালগোরিদম তুলনা করতে চাই তা নিম্নলিখিত ট্রেড অফের সাথে পৃথক হয়েছে: প্রথমটিতে, সমাধানের জন্য আপনাকে শ্রেণিবদ্ধের আরও ধাপে আরোহণের প্রয়োজন এবং দ্বিতীয়টিতে হায়ারার্কির ধাপগুলি আরও বেশি, তবে আপনাকে কম আরোহণের প্রয়োজন তাদের মধ্যে. এটি স্পষ্ট যে এই ট্রেড অফের বিশ্লেষণে, এসডিপি সমাধানের জন্য ব্যবহৃত অ্যালগরিদমের একটি সঠিক চলমান সময় গুরুত্বপূর্ণ running এই অ্যালগরিদমগুলির বিশ্লেষণ নাভাস্কুস এট আল দ্বারা সম্পন্ন হয়েছে। মধ্যে arXiv: 0906.2731, যেখানে তারা লিখেছে:

... ভেরিয়েবল এবং ম্যাট্রিক্স আকার এর এসডিপির সময় জটিলতা হ'ল (অ্যালগোরিদমের পুনরাবৃত্তি থেকে আসা একটি অতিরিক্ত অতিরিক্ত ব্যয় সহ)। $m$ $n$ $O(m^2 n^2)$

ইন আরেকটি কাগজ , যেখানে সমস্যা এই পদ্ধতির প্রথম প্রস্তাবিত হয়, লেখক একই বাউন্ড দিতে, কিন্তু তারা আরো সতর্ক শব্দটি "ব্যবহার গাণিতিক অপারেশনের সংখ্যা " পরিবর্তে " সময় জটিলতা "।

আমার প্রশ্ন দ্বিগুণ:

কোন অ্যালগোরিদম / সীমাটি নাভাস্কু এট আল al উল্লেখ করা?
আমি কি লোভেসে "বহুবর্ষের সময়" অভিব্যক্তিটি কিছুটা মোটা মোটা (একই অনুমান রেখে) দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারি?

quantum-information semidefinite-programming analysis-of-algorithms

— আলেসান্দ্রো কোসেন্টিনো
সূত্র

আমার বোধগম্যতা হল যে উপবৃত্তাকার পদ্ধতিটি এমন উত্তর দিয়েছিল যা বহু সময়ে অ্যাডিটিভ ত্রুটি- মধ্যে ছিল । বেশিরভাগ সমস্যার জন্য, কেউ সন্দেহ করতে পারে যে যথেষ্ট।

ϵ

$\epsilon$

\log (1 / ϵ)

$\log(1/\epsilon)$

ϵ = Ω (1 / 2^{n})

$\epsilon = \Omega(1/2^n)$

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ সুরেশভেনক্যাট: এটি ঠিক, উপবৃত্তাকার পদ্ধতি ইনপুট ম্যাট্রিক্সের আকার, সীমাবদ্ধতার আকার এবং । সমস্যাটি হ'ল, আমি যে অ্যাপ্লিকেশনটির জন্য প্রশ্নটিতে উল্লেখ করেছি, কেবল "বহুপদী" বলা যথেষ্ট নয়, আমার আরও সুনির্দিষ্ট আবদ্ধ হওয়া দরকার।

\log (1 / ϵ)

$\log(1/\epsilon)$

— আলেসান্দ্রো কোসেন্টিনো

আমি নির্দিষ্ট করে আধা-নির্দিষ্ট প্রোগ্রামের জন্য উপবৃত্তাকার পদ্ধতির বিশদ সম্পর্কে পরিচিত নই, তবে লিনিয়ার প্রোগ্রামগুলির জন্যও উপবৃত্ত পদ্ধতির বিশ্লেষণটি খুব সূক্ষ্ম।

প্রথমত, একটিতে আদর্শ উপবৃত্তাকার অ্যালগোরিদমের পুনরাবৃত্তির সংখ্যা আবদ্ধ করতে হবে । যাক ব্যবহৃত ellispoid হতে উপবৃত্ত আলগোরিদিম তম পুনরাবৃত্তির, এবং দিন তার centroid হও। আদর্শ অ্যালগরিদম, একটি বিচ্ছেদ / সদস্য ওরাকল আপনি একটি halfspace দেয় যে সর্বোত্তম বিন্দু রয়েছে কিন্তু না centroid । পরবর্তী উপবৃত্ত ক্ষুদ্রতম উপবৃত্ত ধারণকারী হয় । প্রতিটি , আমাদের আছে $E_i$ $i$ $c_i$ $h_i$ $x^*$ $c_i$ $E_{i+1}$ $E_i\cap h_i$ $i$ , যেখানেহল মাত্রা। সুতরাং, প্রদত্ত একটি যুক্তিসঙ্গত শুরুর উপবৃত্তাকার, পুনরাবৃত্তিও সংখ্যা বহুপদী হয়এবং। কম্পিউটিংথেকেএবংপ্রয়োজন (crudely)গাণিতিক অপারেশন। সুতরাং গাণিতিক অপারেশনের সংখ্যা এছাড়াও বহুপদী হয়এবং $vol(E_{i+1}) < (1-\frac{1}{n})\cdot vol(E_i)$ $n$ $n$ $\log(1/\varepsilon)$ $E_{i+1}$ $E_i$ $h_i$ $O(n^2)$ $n$ । $\log(1/\varepsilon)$
তবে সেই পাটিগণিতের কিছু অপারেশন বর্গাকার! এটা যে আদর্শ নিয়ে কোফিসিয়েন্টস উপবৃত্তাকার অনুসরণ ডিগ্রী অযৌক্তিক সংখ্যা , এবং তাই সেখানে আসলে কম্পিউটিং কোন আশা ঠিক কোন যুক্তিসংগত টাইমে। সুতরাং পরিবর্তে, এক সীমাবদ্ধ নির্ভুল গণিত ব্যবহার করে প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে একটি ঘনিষ্ঠ বাহ্যিক অনুমান গণনা করে। গ্রাটসেল, লোভাস এবং শ্রিজিভার প্রমাণ করে যে কেউ যদি পুনরাবৃত্তিতে ( ) পুনরুদ্ধারের বিট ব্যবহার করে (তবে) আমরা এখনও $E_i$ $2^i$ $E_{i+1}$ $\tilde{E}_i \supset E_i$ $10i$ $i$ , তাই পুনরাবৃত্তির সংখ্যা সর্বাধিক ধ্রুবক ফ্যাক্টর দ্বারা বৃদ্ধি পায়। তবে এখনতম পুনরাবৃত্তিরসময় প্রতিটি গাণিতিক অপারেশন(বিচ্ছিন্নতা ওরাকল দ্বারা পরিচালিত ক্রিয়াকলাপ সহ)সময় প্রয়োজন। $vol(\tilde E_{i+1}) < O(1-\frac{1}{n})\cdot vol(\tilde E_i)$ $i$ $O(i~\text{polylog}~i)$

মোটের ওপর, মোট উপবৃত্ত পদ্ধতির সময় চলমান খুব মোটামুটিভাবে বর্গাকার গাণিতিক অপারেশনের সংখ্যা। যেহেতু পাটিগণিতের ক্রিয়াকলাপগুলির সংখ্যা এবং , তাই চলমান সময়। $n$ $\log(1/\varepsilon)$

— Jeffε
সূত্র

উত্তরের জন্য ধন্যবাদ. আমি যদি সঠিকভাবে তালপাত করছি তবে আমার কাছে এটিই রয়েছে (খুব মোটামুটি):

(গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলির n)

(প্রতিটি গাণিতিক অপারেশনের সময়)। আমার এখনও পুনরাবৃত্তির সংখ্যার উপর আবদ্ধ নেই, কেবলমাত্র এটি

এবং

বহুপদী । সম্ভবত আমি আমার প্রশ্নে খুব পরিষ্কার ছিলাম না, তবে আমি পুনরাবৃত্তির সংখ্যার জন্য আরও সুনির্দিষ্ট আবদ্ধ হতে আগ্রহী (যেমন:

\sum_{i = 1}^{n. of iterations} O (n^{2})

$\sum_{i = 1}^{\text{n. of iterations}} O(n^2)$

\times O (i polylog i)

$\times O(i \operatorname{polylog}i)$

n

$n$

\log (1 / ϵ)

$\log(1/\epsilon)$

n

$n$

, ...)।

n^{2}

$n^2$

— আলেসান্দ্রো কোসেন্টিনো

আরও একটি বিষয়: বিশ্লেষণে কোথাও বাধাগুলির সংখ্যাও উপস্থিত হওয়া উচিত নয়? এছাড়াও, এটি লিনিয়ার প্রোগ্রামগুলির সাথে নির্দিষ্ট?

— আলেসান্দ্রো কোসেন্টিনো

আপনাকে বিচ্ছেদের ওরাকল চলার সময়টিও অ্যাকাউন্টে নিতে হবে; এইখানেই বাধার সংখ্যাটি প্রদর্শিত হয়। সুস্পষ্ট এলপিগুলির জন্য, পৃথকীকরণের ওরাকল কেবল একবারে প্রতিবন্ধকতাগুলির চেষ্টা করে। সুস্পষ্টভাবে উপস্থাপিত এলপিগুলির জন্য এটি আরও জটিল।

— জেফি