স্পারস গ্রাফগুলির জন্য নিয়মিততা লেম্মা

Question

Szemeredi এর নিয়মিততা লেমা বলে যে প্রতিটি ঘন গ্রাফকে $O(1)$ অনেক দ্বিপক্ষীয় বিস্তৃত গ্রাফের ইউনিয়ন হিসাবে প্রায় অনুমান করা যায় । আরও সঠিকভাবে, এর বেশিরভাগ অংশের বিভাজন রয়েছে $O(1)$যা বেশিরভাগ সেটের দ্বিপক্ষীয় প্রসারণকারী (পার্টিশনে সেটগুলির সংখ্যা এবং সম্প্রসারণ পরামিতি আনুমানিক প্যারামিটারের উপর নির্ভর করে) গঠন করে:

http://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di_regularity_lemma

"ভাল ব্যবহার করে" স্পারস গ্রাফগুলির জন্য এই লেমার সংস্করণ রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ:

http://www.estatistica.br/~yoshi/MSs/FoCM/sparse.pdf

http://people.maths.ox.ac.uk/scott/Papers/sparseregularity.pdf

এই সূত্রগুলি সম্পর্কে আমাকে যা অবাক করে তা হ'ল তারা কেবল গ্যারান্টি দেয় যে পার্টিশনের বেশিরভাগ জোড়া দ্বিপক্ষীয় সম্প্রসারণকারী ফর্মগুলি তৈরি করে এবং এই দ্বিপক্ষীয় সম্প্রসারণকারী খালি থাকতে পারে। সুতরাং, সাধারণ স্পারস গ্রাফগুলিতে, এটি বেশ সম্ভব যে সমুদ্রের পার্টিশনের বিভিন্ন অংশের মধ্যে থাকা সমস্ত প্রান্তগুলি কোনও বিস্তারের সাথে সম্পর্কিত নয়।

আমি বিস্মিত হয়েছি যে এমন কিছু সূত্র রয়েছে যা দেয় যে অংশগুলির মধ্যে বেশিরভাগ প্রান্তগুলি একটি প্রসারক থেকে আসে, বা এই জাতীয় গঠনের কোনও আশা নেই কিনা।

Comments

তবে কী এটিকে স্বজ্ঞাত বলে মনে হচ্ছে না যে ঘন গ্রাফগুলির জন্য থেমটি কিছুটা ক্ষেত্রে বিচ্ছিন্নভাবে ভেঙে যায়? নোট উইকিপিডিয়া লিঙ্ক ref আসলে Expander গ্রাফ যা বলে এটা আসলে পরবর্তী ব্যাখ্যা / তৈয়ার হতে পারে সম্পর্কে কিছুই বলছে ...

— vzn

(1) ভাল আচরণের জোড়ার সেটগুলির জন্য সাধারণ শব্দটি হ'ল "নিয়মিত জোড়া" (উইকিপিডিয়ায় "সিউডো-এলোমেলো" জোড়া)। আমি এটি "দ্বিপক্ষীয় সম্প্রসারণকারী" দ্বারা প্রতিস্থাপন করেছি কারণ আমার কাছে এই পরিভাষাটি আরও প্রাকৃতিক বলে মনে হয়। যাইহোক, উদ্দেশ্যটি হ'ল আপনি যদি জোড়ার উভয় দিক থেকে যথেষ্ট পরিমাণে সাবসেট বেছে নেন তবে উপগ্রহের মধ্যে প্রান্তগুলির সংখ্যা জোড়ের প্রান্তের সংখ্যার সাথে সমানুপাতিক। (২) অবশ্যই ঘন গ্রাফগুলির জন্য সত্যটি বিরল গ্রাফের জন্য সত্য হতে পারে। আমার প্রশ্নটি ঠিক কতটা ঘন মামলা থেকে সম্পত্তি বিচ্ছিন্ন ক্ষেত্রে ধরে রাখা অবধি সম্পর্কে is

— দানা মোশকভিত্জ

Answer 1

নীচে একটি দীর্ঘশ্বাসযুক্ত উত্তর, কিন্তু TL; ড সাধারণ ক্ষেত্রে যেমন একটি সূত্র কোন আশা নেই, কিন্তু নিয়মানুবর্তিতা আছে lemmas এই সূত্র বিদ্যমান বিক্ষিপ্ত গ্রাফ নির্দিষ্ট ক্লাস অনেকের জন্য।

পটভূমির জন্য, এসআরএলের দুটি জনপ্রিয় সংস্করণ রয়েছে। সেগুলি হ'ল যে কোনও স্থির $\varepsilon > 0$ এবং যে কোনও $n$ নোড গ্রাফ $G = (V, E)$ , একটি ভাগ করতে$V = V_0 \cup V_1 \cup \dots \cup V_p$ মধ্যে$p = O_{\varepsilon}(1)$ তাই যে অংশ। ..

• (সম্মিলিত ফ্রেসিং) (1) $|V_0| \le \varepsilon n$ এবং যে কোনও $V_1, \dots, V_p$ এর আকারগুলি সর্বাধিক $1$ ( $V_0$ কে "ব্যতিক্রমী সেট" বলা হয়) দ্বারা পৃথক হয় , এবং (2) সবগুলি ছাড়া$\varepsilon p^2$ অবশিষ্ট অংশ জোড়া$(V_i, V_j)$ সন্তুষ্ট

  $$\left|d(S, T) - d(V_i, V_j)\right| < \varepsilon \text{ for all } S \subseteq V_i, T \subseteq V_j$$ (এখানে$d(\cdot, \cdot)$ অংশের মধ্যে ঘনত্ব, অর্থাত্ প্রান্ত বর্তমান হয় ভগ্নাংশ দেয়)।

• (বিশ্লেষণমূলক phrasing) লেটিং

  $$\mathop{disc}(V_i, V_j) := \max \limits_{S \subseteq V_i, T \subseteq V_j} |V_i||V_j|\left|d(V_i, V_j) - d(S, T)\right|,$$ আমাদের $$\sum \limits_{i, j =0}^p \mathop{disc}(V_i, V_j) < \varepsilon n^2.$$

"সংযুক্তিযুক্ত শব্দবন্ধ" (আমি কেবল এই নামগুলি তৈরি করেছি, তারা মানক নয়) এটি মূল এবং সম্ভবত আরও বিখ্যাত একটি, যেখানে "বিশ্লেষণাত্মক ফ্রেসিং" আরও আধুনিক এবং গ্রাফের সীমা সম্পর্কিত, ইত্যাদি (আমার মনে হয় এটি এখানে জনপ্রিয় হয়েছিল))। আমার দৃষ্টিতে বিশ্লেষকটি হ'ল "দ্বিপক্ষীয় সম্প্রসারণকারীদের মিলিত গ্রাফের সঠিক আনুষ্ঠানিককরণ", যেহেতু এটি এরূপ অনুমানের মোট "ত্রুটি" নিয়ন্ত্রণ করে এবং ভরকে আড়াল করার ক্ষেত্রে ব্যতিক্রমী সেট নেই। তবে এই মুহূর্তে এটি কেবল প্রসাধনী, কারণ এটি একটি সহজ তবে গুরুত্বপূর্ণ লিমা যে এই দুটি বাক্যই সমান। সংমিশ্রণ থেকে বিশ্লেষণে পৌঁছানোর জন্য, কেবল ইউনিয়ন অনিয়মিত অংশ এবং ব্যতিক্রমী সেটগুলির স্বতন্ত্রতার অবদানকে আবদ্ধ করে। অ্যানালিটিক থেকে সম্মিলনে যেতে, কেবল যে কোনও অংশ ব্যতিক্রমী সেটগুলিতে খুব বেশি তাত্পর্যপূর্ণ অবদান রাখুন এবং মার্কভের অসাম্যকে এর ভর নিয়ন্ত্রণ করতে প্রয়োগ করুন।

$\varepsilon$$\varepsilon d(G)$$d(G)$$G$ বরং, অ্যানালিটিক বাক্যাংশটি আরও শক্তিশালী: এটি এখনও পূর্বের মতো সম্মিলিতভাবে বোঝায়, তবে সম্মিলনকারী সাধারণত বিশ্লেষণীকরণকে বোঝায় না, কারণ (ওপিতে প্রত্যাশিত) ব্যতিক্রমী সেট বা অ-নিয়মিতের মধ্যে সম্ভাব্য পরিমাণে অনেক ঘনত্ব লুকানো যায় অংশ জোড়া। বস্তুত, এই বিচ্ছিন্নতা আনুষ্ঠানিক হল: ঘন তথ্যের জন্য লোয়ার বাউন্ড গ্রাফ (বলুন, এই এক ) যে পরোক্ষভাবে বিশ্লেষণমূলক phrasing বিক্ষিপ্ত গ্রাফ থেকে সাধারণভাবে প্রসারিত করে না, কিন্তু স্কট দ্বারা কাগজ ওপি শো লিঙ্ক যে সংযুক্তিকরণ phrasing আসলে কোনও শর্ত ছাড়াই সমস্ত স্পার্স গ্রাফগুলিতে প্রসারিত হয়।

ওপিতে সংযুক্ত জরিপটি বেশিরভাগ ক্ষেত্রে "উচ্চ-নিয়মিত" স্পার্স গ্রাফগুলির জন্য একটি এসআরএল সম্পর্কে কথা বলে, যার অর্থ মোটামুটি অর্থ গ্রাফের কোনও ধ্রুবক ফ্যাক্টরের চেয়ে গড়ের চেয়ে কম হয় না। এই নির্দিষ্ট গ্রাফগুলির জন্য, সম্মিলনীয় এবং বিশ্লেষণমূলক বাক্যগুলি সমতুল্য, কারণ ব্যতিক্রমী অংশগুলিতে খুব বেশি অতিরিক্ত গোপনীয়তা থাকতে পারে না যাতে তাদের তাত্পর্যকে অবদান ঘন ক্ষেত্রে যেমন ইউনিয়ন করতে পারে। সুতরাং এই গ্রাফগুলির একটি "দ্বিপক্ষীয় সম্প্রসারণকারীদের সংঘ দ্বারা প্রায় অনুমান" ব্যাখ্যা রয়েছে।

$L_p$

Comments

এছাড়াও, থ্রেড নেক্রোমেন্সির জন্য ক্ষমাপ্রার্থনা - এটি আমার বর্তমান আলোকিত পর্যালোচনার সাথে সামঞ্জস্য করার জন্য ঘটেছিল এবং আমি ভেবেছিলাম যে আমি যা পেয়েছি তা ভাগ করব।

— GMB