শোর অপারেটরের একটি এক্সটেনশন

16

যে সমস্যাটিতে আমি বর্তমানে কাজ করছি, শব্দটি অপারেটরটির একটি বর্ধন স্বাভাবিকভাবেই ঘটে এবং আমি আগে থেকেই কাজ করেছি কিনা তা জানতে আগ্রহী ছিলাম। প্রথমে আসল-মূল্যবান বুলিয়ান ফাংশনগুলিতে আমি বেসিক শোর অপারেটর সংশোধন করি $T_{\varepsilon}$ । একটি ফাংশন দেওয়া হয়েছে $f: \{0,1\}^n \to \mathbb{R}$ এবং , st , , আমরা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছি $\varepsilon$ $p$ $0 \leq \varepsilon \leq 1$ $\varepsilon = 1 - 2p$ $T_{\varepsilon} \to \mathbb{R}$ $T_{\varepsilon} f(x) = E_{y \sim \mu_p} [f(x+y)]$

$\mu_p$ উপর বন্টন হয় একটি প্রতিটি বিট সেট দ্বারা প্রাপ্ত -বিট ভেক্টর হতে সম্ভাব্যতা সঙ্গে স্বাধীনভাবে এবং অন্যথায়। সমতুল্যভাবে, আমরা প্রতিটি বিট আলোকসম্পাতের যেমন এই প্রক্রিয়ার মনে করতে পারেন স্বাধীন সম্ভাব্যতা সঙ্গে । এখন এই শব্দটি অপারেটরের অনেকগুলি গুণাবলী রয়েছে, যার মধ্যে গুণক এবং সুন্দর ইজেনভ্যালু এবং ইগেনভেেক্টর ( যেখানে সমতা ভিত্তিতে অন্তর্ভুক্ত)। $y$ $n$ $1$ $p$ $0$ $x$ $p$ $T_{\varepsilon_1} T_{\varepsilon_2} = T_{\varepsilon_1 \varepsilon_2}$ $T_{\varepsilon}(\chi_S) = \varepsilon^{|S|} \chi_S$ $\chi_S$

এখন আমার আমার এক্সটেনশন সংজ্ঞায়িত করা যাক , যা আমি যেমন বোঝাতে । দেওয়া হয় । তবে এখানে আমাদের বিতরণ such এমন যে আমরা সম্ভাব্যতা সহ থেকে এর বিট এবং সম্ভাব্যতা দিয়ে থেকে এর বিটগুলি । ( এখন স্পষ্টভাবে উপর নির্ভরশীল এমন একটি বিতরণ যেখানে ফাংশনটি মূল্যায়ন করা হয়, এবং যদি $T_\varepsilon$ $R_{(p_1,p_2)}$ $R_{(p_1,p_2)} \to \mathbb{R}$ $R_{(p_1,p_2)} f(x) = E_{y \sim \mu_{p,x}} [f(x+y)]$ $\mu_{p,x}$ $1$ $x$ $0$ $p_1$ $0$ $x$ $1$ $p_2$ $\mu_{p,x}$ $x$ $p_1 = p_2$ তারপরে regular 'নিয়মিত' শব্দটি অপারেটর হ্রাস করে) $R_{(p_1,p_2)}$

আমি ভাবছিলাম, এই অপারেটর করেছে ইতিমধ্যে সাহিত্যে কোথাও ভালভাবে গবেষণা হয়েছে? নাকি এর প্রাথমিক বৈশিষ্ট্যগুলি সুস্পষ্ট? আমি কেবল বুলিয়ান বিশ্লেষণ দিয়েই শুরু করছি, সুতরাং এটি আমার চেয়ে তত্ত্বের সাথে আরও পরিচিত কোনও ব্যক্তির পক্ষে সোজা হতে পারে। বিশেষত আমি আগ্রহী যে ইগানভেেক্টর এবং ইগেনভ্যালুগুলির কিছু সুন্দর বৈশিষ্ট্য আছে, বা কোনও গুণক সম্পত্তি আছে কিনা। $R_{(p_1,p_2)}$

boolean-functions fourier-analysis

— আমির
সূত্র

14

আমি প্রশ্নের দ্বিতীয় অংশের উত্তর দেব।

আই। আইগেনভ্যালু এবং ইগেনফিউশনস

আসুন প্রথমে একটি মাত্রিক কেস । এটা তোলে চেক করতে সহজ যে অপারেটর দুই eigenfunctions আছে: এবং ইজেনভ্যালু এবং $n=1$ $R_{p_1,p_2}$ $1$

ξ (x) = (p_{1} + p_{2}) x - p_{1} = {\begin{cases} - p_{1}, & if x = 0, \\ p_{2}, & if x = 1. \end{cases}

$\xi(x) = (p_1+p_2)x - p_1 = \begin{cases} -p_1, &\text{ if } x =0,\\ p_2, &\text{ if } x =1. \end{cases}$

1

$1$

, যথাক্রমে।

1 - p_{1} - p_{2}

$1-p_1 - p_2$

এখন সাধারণ ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন। জন্য যাক । লক্ষ্য করুন যে হ'ল এর ইগানফানশন । প্রকৃতপক্ষে সমস্ত ভেরিয়েবল স্বাধীন, তাই আমাদের কাছে $S\subset \{1,\dots,n\}$ $\xi_S(x) = \prod_{i\in S} \xi(x_i)$ $\xi_S$ $R_{p_1,p_2}$ $x_i$

\begin{aligned} R_{p_{1}, p_{2}} (ξ (x)) & = R_{p_{1}, p_{2}} (\prod_{i \in S} ξ (x_{i})) = \prod_{i \in S} R_{p_{1}, p_{2}} (ξ (x_{i})) \\ = \prod_{i \in S} ((1 - p_{1} - p_{2}) ξ (x_{i})) = (1 - p_{1} - p_{2})^{| S |} ξ_{S} (x) . \end{aligned}

$\begin{align*} R_{p_1,p_2}(\xi(x)) &= R_{p_1,p_2}\left(\prod_{i\in S} \xi(x_i)\right) = \prod_{i\in S} R_{p_1,p_2}(\xi(x_i)) \\ &= \prod_{i\in S}\left((1-p_1 - p_2)\xi(x_i)\right) = (1-p_1 - p_2)^{|S|} \xi_S(x). \end{align*}$

আমরা পাই একজন eigenfunction হয় eigenvalue সঙ্গে প্রত্যেক জন্য । যেহেতু ফাংশন বিঘত পুরো স্থান, $\xi_S(x)$ $R_{p_1,p_2}$ $(1-p_1-p_2)^{|S|}$ $S\subset \{1,\dots,n\}$ $\xi_S(x)$ $R_{p_1,p_2}$ অন্য কোনও আইজেনফুনেশন নেই (যা এর লিনিয়ার সংমিশ্রণ নয় )। $\xi_S(x)$

২। গুণক সম্পত্তি

সাধারণভাবে, "গুণনশীল সম্পত্তি" জন্য না রাখা এর eigenbasis যেহেতু উপর নির্ভর করে এবং । তবে, আমাদের যেখানে $R_{p_1,p_2}$ $R_{p_1,p_2}$ $p_1$ $p_2$

R_{p_{1}, p_{2}}^{2} = R_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}},

$R_{p_1,p_2}^2 = R_{p_1',p_2'},$

এবং

। যে, প্রথম দয়া করে মনে রাখবেন যাচাই করতে

এবং

eigenfunctions একই সেট আছে

। আমাদের কাছে,

p_{1}^{'} = 2 p_{1} - (p_{1} + p_{2}) p_{1}

$p_1' = 2p_1- (p_1+p_2)p_1$

p_{2}^{'} = 2 p_{2} - (p_{1} + p_{2}) p_{2}

$p_2' = 2p_2- (p_1+p_2)p_2$

R_{p_{1}, p_{2}}

$R_{p_1,p_2}$

R_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}}

$R_{p_1',p_2'}$

{ξ_{S}}

$\{\xi_S\}$

থেকে

R_{p_{1}, p_{2}}^{2} (ξ_{S}) = (1 - p_{1} - p_{2})^{2 | S |} ξ_{S} = (1 - p_{1}^{'} - p_{2}^{'})^{| S |} ξ_{S} = R_{p_{1}^{'}, p_{2}^{'}} (ξ_{S})

$R_{p_1,p_2}^2(\xi_S) = (1-p_1-p_2)^{2|S|} \xi_S=(1-p_1'-p_2')^{|S|}\xi_S = R_{p_1',p_2'} (\xi_S)$

\begin{aligned} 1 - p_{1}^{'} - p_{2}^{'} & = 1 - p_{1} \cdot (2 - (p_{1} + p_{2})) - p_{2} \cdot (2 - (p_{1} + p_{2})) \\ = 1 - (p_{1} + p + 2) (2 - (p_{1} + p_{2})) \\ = 1 - 2 (p_{1} + p_{2}) + (p_{1} + p_{2})^{2} = (1 - p_{1} - p_{2})^{2} . \end{aligned}

$\begin{align*} 1-p_1'-p_2' &= 1 - p_1\cdot (2- (p_1+p_2)) - p_2\cdot (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - (p_1+p+2) (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - 2(p_1 +p_2) + (p_1 + p_2)^2 = (1-p_1-p_2)^2. \end{align*}$

তৃতীয়। বনমির সাথে সম্পর্ক — বেকনার অপারেটর

$\{0,1\}^n$ ${\mathbb R}$ $\delta = \frac{1}{2}\cdot \frac{p_1-p_2}{p_1+p_2}$

A_{δ} (f) = f (x_{1} + δ, \dots, x_{n} + δ) .

$A_{\delta}(f) = f(x_1 + \delta, \dots, x_n + \delta).$

f

$f$

A [f]

$A[f]$ । আমাদের আছে,

{আর}_{{পি}_{1}, {পি}_{2}} (চ) = {একজন}_{δ}^{- 1} {টি}_{ε} {একজন}_{δ} (চ),

$R_{p_1,p_2}(f) = A_{\delta}^{-1} T_{\varepsilon}A_{\delta}(f),$ কোথায়

ε = 1 - p_{1} - p_{2}

$\varepsilon = 1 - p_1 - p_2$ । নোট করুন যে I এবং II অংশগুলি বনামির formula বেকনার অপারেটরের এই সূত্র এবং বৈশিষ্ট্যগুলি অনুসরণ করে।

— Yury
সূত্র

ইউরি, উত্তরের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ! আমার সাথে কাজ করার জন্য এটি একটি ভাল সূচনা পয়েন্ট; হাইপার সংক্রামক অসমতার অ্যানালগগুলি থাকলে আমার এখনই কাজ করতে সক্ষম হওয়া উচিত। আমি আরও আকর্ষণীয় বিশ্লেষণ পেলে এখানে ফিরে পোস্ট করবে।

— আমির

এটি সত্যের পরে খুব দীর্ঘ, তবে আমি আগ্রহী যে আপনি কীভাবে তৃতীয় অংশটি বেকার বনামি অপারেটরের সাথে সম্পর্কিত করেছেন?

— আমির

(a) It is sufficient to check the identity for

f = 1

$f=1$ and

f = x_{i}

$f=x_i$ . If it holds for

1

$1$ and

x_{i}

$x_i$ , then it's easy to see that it holds for all characters. By linearity, it holds for all functions. (b) Alternatively, from I,

T_{ε}

$T_\varepsilon$ and

R_{p_{1}, p_{2}}

$R_{p_1,p_2}$ have the same set of eigenvalues; eigenvector

\prod_{i \in S} x_{i}

$\prod_{i\in S} x_i$ of

T

$T$ “corresponds” to eigenvector

\prod_{i \in S} ξ (x_{i})

$\prod_{i\in S} \xi(x_i)$ of

R

$R$ . Thus

R (f) = A^{- 1} T A (f)

$R(f) = A^{-1} T A(f)$ where A is a linear map that maps

ξ (x)

$\xi(x)$ to

x

$x$ .

— Yury

3

আমরা অবশেষে এর হাইপারকন্ট্র্যাকটিভ বৈশিষ্ট্য বিশ্লেষণ করতে সক্ষম হয়েছি $R_{p_1, p_2}$ ( http://arxiv.org/abs/1404.1191 ), এর প্রধান ফুরিয়ার বিশ্লেষণ বন্ধ করে দেওয়া $R_{p,0}$ আহলবার্গ, ব্রোম্যান, গ্রিফিথস এবং মরিস লিখেছেন ( http://arxiv.org/abs/1108.0310 )।

সংক্ষিপ্তসার হিসাবে, পক্ষপাতদুষ্ট অপারেটরের প্রভাব $R_{p,0}$ একটি ফাংশন উপর $f$ পক্ষপাতদুষ্ট পরিমাপের স্থানে একসম্মত শোর অপারেটর হিসাবে বিশ্লেষণ করা যেতে পারে। এটি হাইপারকন্ট্র্যাকটিভিটির একটি দুর্বল রূপ দেয় যা কীভাবে নির্ভর করে $\ell_2$ এর আদর্শ $f$ পক্ষপাতদুষ্ট পরিমাপের পছন্দটিতে স্যুইচ করার সময় পরিবর্তিত হয় $\mu$ নির্ভরশীল $p$ ।

— আমির
সূত্র

আপনি এই উত্তরটি 'গ্রহণ' করতে চাইতে পারেন যাতে প্রশ্নটি পপিং না হয়ে থাকে (অস্বীকৃতি: আমি লিঙ্কিত কাগজের একজন লেখক)

— সুরেশ ভেঙ্কট