"সবচেয়ে খারাপ কেস" ব্যতীত অন্যান্য মামলার জটিলতা ক্লাস

10

আমাদের কী গড়পড়তা ক্লাস আছে, বলুন, গড়-কেস জটিলতা? উদাহরণস্বরূপ, সমস্যার জন্য কোনও (নামযুক্ত) জটিলতা বর্গ রয়েছে যা প্রত্যাশিত বহুপদী সময় সিদ্ধান্ত নিতে পারে?

অন্য একটি প্রশ্ন সর্বোত্তম কেস জটিলতা বিবেচনা করে , নীচে উদাহরণ দিয়ে:

(প্রাকৃতিক) সমস্যাগুলির এমন কোনও শ্রেণি রয়েছে যার সিদ্ধান্তে কমপক্ষে তাত্পর্যপূর্ণ সময় প্রয়োজন?

স্পষ্ট করতে, কিছু এক্সপ- অসম্পূর্ণ ভাষা । স্পষ্টতই, সমস্ত দৃষ্টান্তগুলির জন্য তাত্পর্যপূর্ণ সময় প্রয়োজন হয় না: এমন উদাহরণ রয়েছে যা বহু-কালীন সময়েও সিদ্ধান্ত নেওয়া যেতে পারে। সুতরাং, এর সর্বোত্তম কেস জটিলতা এক্সপোশনাল সময় নয়। $L$ $L$ $L$

সম্পাদনা: যেহেতু বেশ কয়েকটি অস্পষ্টতা দেখা দিয়েছে, তাই আমি আরও স্পষ্ট করার চেষ্টা করতে চাই। "বেস্ট কেস" জটিলতা বলতে আমি বোঝায় এমন জটিলতা শ্রেণি যার সমস্যার জটিলতা কিছু ফাংশন দ্বারা সীমাবদ্ধ । উদাহরণস্বরূপ, BestE কে ভাষার শ্রেণীরূপে সংজ্ঞায়িত করুন যা কিছু লিনিয়ার তদন্তের চেয়ে কম সময়ে সিদ্ধান্ত নেওয়া যায় না। প্রতীকীভাবে, একটি নির্বিচারে ট্যুরিং মেশিনকে বোঝাতে দিন এবং $M$ $c$ , , এবং প্রাকৃতিক সংখ্যার হতে: $n_0$ $n$

$L \in \mathbf{BestE} \Leftrightarrow$ $\quad (\exists c)(\forall M)[(L(M) = L) \Rightarrow (\exists {n_0})(\forall n > {n_0})(\forall x \in {\{0,1\}^n})[T(M(x)) \ge {2^{c|x|}}]]$

যেখানে আগে যে সময় নেয় তা বোঝায় $T(M(x))$ $M$ ইনপুট থামার । $x$

আমি স্বীকার করি যে এই জাতীয় শ্রেণীর সমস্যা সংজ্ঞায়িত করা খুব অদ্ভুত, যেহেতু আমাদের প্রতিটি টিউরিং মেশিনের প্রয়োজন $M$ , তার শক্তি নির্বিশেষে, কোনও লিনিয়ার এক্সফেনশনিয়ালের চেয়ে কম সময়ে ভাষা নির্ধারণ করতে পারে না।

তবুও লক্ষ্য করুন যে বহু-সময়-সমকক্ষ ( BestP ) প্রাকৃতিক, যেহেতু প্রতিটি টিউরিং মেশিনের জন্য সময় প্রয়োজন requiresকমপক্ষে তার ইনপুট পড়তে। $|x|$

পিএস: হতে পারে, "সমস্ত ট্যুরিং মেশিন জন্য" হিসাবে পরিমাণের পরিবর্তে $M$ কিছু পূর্বনির্ধারিত শ্রেণিতে সীমাবদ্ধ করতে হবে, যেমন বহু-কালীন ট্যুরিং মেশিন। এইভাবে, আমরা like এর মতো ক্লাসগুলি সংজ্ঞায়িত করতে পারি , এটি বহুগুণ-সময় ট্যুরিং মেশিনে সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য অন্তত চতুর্ভুজ সময় প্রয়োজন এমন ভাষার শ্রেণি। $\mathbf{Best(n^2)}$

পিএস 2: একজনও সার্কিট-জটিলতার অংশটিকে বিবেচনা করতে পারে, যেখানে আমরা কোনও ভাষা নির্ধারণের জন্য সর্বনিম্ন সার্কিটের আকার / গভীরতা বিবেচনা করি।

cc.complexity-theory complexity-classes

— এমএস দৌস্তি
সূত্র

কেবলমাত্র স্যাট উদাহরণ রয়েছে যা সহজ, এর অর্থ এই নয় যে এর প্রত্যাশিত সময়টি বহুবচনীয়। আমি নিশ্চিত না যে আমি আপনার প্রশ্নটি বুঝতে পেরেছি ..

— লেভ রেইজিন

@ লাইভ রেইজিন: আমার অর্থ এই নয় যে স্যাট প্রত্যাশিত বহু সময়ের মধ্যে রয়েছে। আমার অর্থ যেহেতু স্যাটের সহজ দৃষ্টান্ত রয়েছে তাই আমরা বলতে পারি না যে এর "সেরা কেস" জটিলতা শক্ত।

— এমএস দৌস্তি

ওহ, আমি দেখছি, গড় ক্ষেত্রে জটিলতা এবং সেরা কেস জটিলতা দুটি পৃথক প্রশ্ন! কোনওভাবেই আমি আমার প্রথম পড়াতে এটি মিস করেছি - আমার ভুল।

— লেভ রেইজিন

আমি আপনার সেরা সংজ্ঞা সংজ্ঞা দিতে পারছি না। এম এবং এক্স তাদের মাপের বাইরে বসে আছে ... এছাড়াও, আপনি কি

চান না যে ইনপুটগুলি

?

M

$M$

L

$L$

— রায়ান উইলিয়ামস

@ রায়ান: ত্রুটি চিহ্নিত করার জন্য ধন্যবাদ। আমি এটা সংশোধন করেছি।

— এমএস দৌস্তি

13

যদিও আমি আপনার সংজ্ঞাগুলি পুরোপুরি পার্স করতে পারি না, আপনার অবশ্যই জানা উচিত যে আরও শক্তিশালী সময়ের স্তরক্রমগুলি বিশেষত "প্রায় সর্বত্র" সময়ক্রমক্রমগুলি হিসাবে পরিচিত।

এখানে আনুষ্ঠানিক প্রতিবেদন: প্রত্যেক সময় বেঁধে জন্য , একটি ভাষা সম্পত্তি যে প্রতি নির্ণায়ক অ্যালগরিদম যে সঠিকভাবে চিনতে সঙ্গে সময় চেয়ে এসিম্পটোটিকভাবে বৃহত্তর চলবে সব কিন্তু finitely অনেক ইনপুট উপর, যথেষ্ট সময় জন্য । $T(n)$ $L \in TIME[T(n)]$ $L$ $t(n)$ $t(n)$

"পর্যাপ্ত পরিমাণে ছোট" অর্থ । $t(n) \log t(n) \leq o(T(n))$

ধরা যাক আমরা উদাহরণের জন্য বেছে এবং একটি কঠিন ভাষা পেয়েছি । তারপরে, সঠিকভাবে চিনতে পারে এমন কোনও অ্যালগরিদমের জন্য একটি নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য পেরিয়ে সমস্ত ইনপুটগুলিতে কমপক্ষে সময় নিতে হবে । এটি আপনার ক্লাসের সেরা সেরা ক্লাসে যা খুঁজছেন তা মনে হচ্ছে। $T(n)=2^n$ $L$ $L$ $2^n/n^2$

রেফারেন্স:

জন জি। গেস্কে, ডাং টি হুইন, জোয়েল আই সিফেরাস: প্রায়-সর্বত্র-কমপ্লেক্সের সেটগুলি এবং পৃথক পৃথক পৃথক-সময়-জটিলতা ক্লাস ইনফের উপর একটি নোট। Comput। 92 (1): 97-104 (1991)

— রায়ান উইলিয়ামস
সূত্র

খুব ভাল, ধন্যবাদ। আমি মনে করি আপনি আমার প্রশ্নটি বেশ ভালভাবে বুঝতে পেরেছেন, এবং আপনার প্রবর্তনামূলক বাক্য "আমি আপনার সংজ্ঞাগুলিকে পুরোপুরি বিশ্লেষণ করতে পারছি না" এটি কেবল আপনার বিনয়ের লক্ষণ :)

— এমএস দৌস্তি

2

প্রদত্ত আমি সঠিকভাবে অনুমান করেছি, আপনার সংজ্ঞাটি এমন কিছু হওয়া উচিত: "বেস্টই L ইফেফ (f উপস্থিত সি) (ora ফোরাল এম) [(এল (এম) = এল) \ রাইটারো (\ বিদ্যমান n_0) (ora ফোরেল এন) > n_0) (\ forall x \ in \ {0,1 \} ^ n) [টি (এম (এক্স))> 2 ^ {সি | x |।)] ""

— রায়ান উইলিয়ামস

হ্যাঁ, আপনি ঠিক বলেছেন। আমি শেষ মুহুর্তে সংজ্ঞাটি সম্পাদনা করেছি, এবং কিছু পরিমাণকে ভুল জায়গায় রেখেছি mis আমি আপনার সংজ্ঞা উপর ভিত্তি করে প্রশ্ন সংশোধন।

— এমএস দৌস্তি

12

বেশ কয়েকটি ক্লাস রয়েছে যেগুলি গড়-কেস জটিলতার বিভিন্ন ধারণা মোকাবেলার চেষ্টা করে। জটিলতা চিড়িয়াখানাতে, আপনার আগ্রহী হতে পারে এমন কয়েকটি ক্লাস হ'ল:

AvgP

HeurP

DistNP

(দ্বারা NP, পি-samplable)

অরোরার / বারাক অনেকগুলি, একই ধরণের ক্লাস (ডিএইচপি 18) কভার করে, ডিএসপি, ডিস্টএনপি এবং স্যাম্পএনপি সংজ্ঞায়িত করে।

এই শ্রেণীর সকলের মধ্যে সঠিক সম্পর্কটি ইম্পাগলিয়াজোর পাঁচটি ওয়ার্ল্ড দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছিল, যা আগে অন্য প্রশ্নে জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল ।

যতক্ষণ পর্যন্ত "সেরা কেস" জটিলতার প্রশ্ন, আমি নিশ্চিত না আপনি কী বোঝাতে চেয়েছেন তা আমি বেশ বুঝতে পেরেছি। আপনি কি এক্সপি খুঁজছেন ?

আপনার যদি বোঝা যায় জটিলতার ক্লাসগুলি সমস্ত ক্ষেত্রে সবচেয়ে ভাল কেস রানের সময় হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় তবে এটি খুব ভাল জটিলতা কোনও পূর্বরূপ পরিমাপ করে না, যেহেতু আপনি কেবল যে কোনও সমস্যার তুচ্ছ ঘটনা দেখছেন looking

— ড্যানিয়েল আপন
সূত্র

অনেক ভালো করেছ! প্রশ্নের গড় জটিলতার অংশটির জন্য আমার এটির প্রয়োজন ছিল। "সেরা-কেস" অংশটি সম্পর্কে, আমি লক্ষ্য করেছি যে প্রশ্নের মূল বক্তব্যটি অস্পষ্ট ছিল। আমার খারাপ! আমি এটিকে অনেক সম্পাদনা করেছি, তাই দয়া করে এটি আবার পড়তে বিবেচনা করুন।

— এমএস দৌস্তি

5

[রায়ান উইলিয়ামসের উত্তরের উপর বিস্তৃত হওয়া এবং আপনার জন্য কিছু অনুসন্ধানের শব্দ যুক্ত করা] আপনার সর্বোত্তম কেস জটিলতার ধারণার ইতিমধ্যে একটি নাম রয়েছে: প্রায়-সর্বত্র (ক) কঠোরতা বা দ্বি-প্রতিরোধ ক্ষমতা। ( রায়ের উদাহরণ -বি-ইমিউনিটিটির)। যদি একটি জটিলতা বর্গ হয়, তাহলে একটি ভাষা হয় -immune যদি কোন অসীম উপসেট যেমন যে । হয় -bi-ইমিউন উভয় এবং তার সম্পূরক $TIME[T(n)]$ $\mathcal{C}$ $L$ $\mathcal{C}$ $L' \subseteq L$ $L' \in \mathcal{C}$ $L$ $\mathcal{C}$ $L$ হয় -immune। উদাহরণস্বরূপ, এটি দেখাতে হবে যে আপনার সংজ্ঞা কঠিন নয় বর্গ সমতূল্য -bi-ইমিউন সেট। $\overline{L} = \Sigma^* \backslash L$ $\mathcal{C}$ $\mathbf{BestE}$ $E$

(Asideতিহাসিক একদিকে: প্রতিরোধের ধারণাটি 1944 সালে কম্পিউটার দ্বারা কম্পিউটারে সংশোধন তত্ত্বে প্রথম বিকশিত হয়েছিল , পি এমনকি সংজ্ঞায়িত হওয়ার অনেক আগে Post পোস্টটি আসলে "সাধারণ সেট" হিসাবে বিবেচিত হয় - একটি সেট যদি এর পরিপূরক প্রতিরোধক হয় তবে এটি সহজ। একটি গণনাযোগ্যতা তাত্ত্বিকের কাছে, "ইমিউন" শব্দের অর্থ সাধারণত "গণনাযোগ্য সেটগুলিতে অনাক্রম্যতা।" সেই সেটিংয়ে অনাক্রম্যতা "সিই সেটগুলিতে প্রতিরোধ ক্ষমতা" সমান, কারণ প্রতিটি অসীম সিলে একটি অসীম গণনাযোগ্য থাকে I আমি বিশ্বাস করি পোস্টের কাগজটিও প্রথম পরিচয় করিয়েছিল এক-এক কমানোর ধারণা, তবে আমি এর শপথ করতে পারি না))

— জোশুয়া গ্রোচো
সূত্র

আসলে, তার সংজ্ঞা শুধুমাত্র হয়েছে

এ ইনপুট গ্রহণ

, নেই ইনপুট প্রত্যাখ্যান না

... সরবরাহিত আপনি শর্ত করা

সঠিক স্থানে।

M

$M$

L

$L$

L

$L$

M (x) = 1

$M(x)=1$

— রায়ান উইলিয়ামস

অনেক ধন্যবাদ জোশুয়া আপনার উত্তর রায়ান এর পরিপূরক। কেবল একটি সম্পাদনা: সি-ইমিউনিটির সংজ্ঞা অনুসারে একটি "প্রাইম" অনুপস্থিত (এটি পড়তে হবে: কোনও অসীম উপসেট

যেমন

)

L^{'}

$L'$

L^{'} \in C

$L' \in C$

— এমএস দৌস্তি

1

@ সাদেক: স্থির, ধন্যবাদ। @ রায়ান: সত্য (বা এটি কয়েক ঘন্টা আগে ছিল: তিনি তখন থেকেই সংজ্ঞাটি আপডেট করেছেন)। তাহলে এটি দ্বি-প্রতিরোধের পরিবর্তে অনাক্রম্যতা হবে। যেভাবেই হোক, প্রধানত আমি "প্রতিরোধ ক্ষমতা" কীওয়ার্ডটি নির্দেশ করতে চেয়েছিলাম।

— জোশুয়া গ্রাচো

2

সমস্যাগুলি নয়, অ্যালগোরিদম সম্পর্কে কথা বলার সময় বিভিন্ন ক্ষেত্রে আরও তাত্পর্যপূর্ণ হয়। অন্যদিকে, জটিলতা ক্লাসগুলি অ্যালগরিদম নয়, সমস্যা সম্পর্কিত। অতএব, জটিলতা শ্রেণি সর্বদা যে কোনও অ্যালগরিদমের পক্ষে সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতি হিসাবে সংজ্ঞা হয়।

জটিলতায়, আপনার লক্ষ্য হ'ল প্রদত্ত সমস্যার যে কোনও উদাহরণ সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় সংখ্যার সংস্থানটি জানা। অতএব, আপনি জানেন যে কোনও প্রদত্ত উদাহরণ এবং অ্যালগরিদমের জন্য আপনার সেই সংস্থানগুলি এবং আরও কিছু প্রয়োজন হবে না।

অ্যালগরিদম বিশ্লেষণে, আপনার লক্ষ্য হ'ল সমস্যাটির যে কোনও পরিস্থিতিতে আপনার অ্যালগরিদমের কোনও উত্সের জন্য উপরের আবদ্ধ রয়েছে তা নিশ্চিত করা। একটি তুচ্ছ বাউন্ড হ'ল সমস্যার জটিলতা শ্রেণি, যেহেতু কোনও কার্যকর (যেটি একজাতীয় পদক্ষেপ নেয়) অ্যালগরিদম তার চেয়ে বেশি সময় নেয় না। যাইহোক, আপনি অ্যালগোরিদমের সুনির্দিষ্ট দিক দিয়ে সেই সীমাটি উন্নত করতে পারেন।

উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক আপনি মার্জোর্ট বিশ্লেষণ করছেন। সমাধানটি দেওয়া হয়েছে, আপনি এটি বহুবারের সময়ে নিশ্চিত করতে পারেন, সুতরাং বাছাইটি এনপিতে রয়েছে। তবে বিশ্লেষণ করে আপনি এটিকে নিচে নামিয়ে আনতে পারেন $\Theta$ (n * লগন) এ

সর্বোত্তম ক্ষেত্রে হিসাবে, প্রতিটি সংস্থার জন্য প্রয়োজনীয় সংখ্যার কম সংখ্যক সংস্থান খুঁজে পাওয়া তুচ্ছ। ধরুন যে ইনপুটটি দৈর্ঘ্যের হে (এন) এবং দৈর্ঘ্যের ও (এম) এর আউটপুট। তারপরে নীচের টিএম এম সর্বদা সর্বোত্তম ক্ষেত্রে O (n) + O (m) তে চালিত হন:

এম {ইনপুট, উদাহরণস্বরূপ, সমাধান}

প্রদত্ত উদাহরণটি মেশিনে এনকোড হওয়া উদাহরণের সাথে তুলনা করুন।
যদি তারা সমান হয় তবে এনকোডযুক্ত সমাধানটি ফিরিয়ে দিন।
অন্যথায়, একটি নিষ্ঠুর শক্তি অনুসন্ধান করুন।

— chazisop
সূত্র

-1

$O(1)$

— উমর
সূত্র

1

আমি মনে করি না যে সমস্যাটির জন্য একটি সঠিক অ্যালগরিদম হিসাবে গণ্য। তবে, আপনার অ্যালগরিদমটি সংশোধন করা যেতে পারে যাতে এটি পূর্বে পরীক্ষা করে থাকে যে পূর্বনির্ধারিত (ও (1) সময়ে) আপনি যে নির্দিষ্ট উদাহরণটির সাথে ইনপুট সমান কিনা তা পরীক্ষা করে। যদি এটি হয় তবে এটি পূর্বনির্ধারিত উত্তরকে আউটপুট করে। যদি তা না হয় তবে আপনি প্রদত্ত উদাহরণটি কোনও উপায়ে সমাধান করুন। এটির কথা চিন্তা করে, কোনও সঠিক অ্যালগরিদম প্রতিটি উদাহরণের জন্য ও (1) সময়ে চলমান , যদি আমরা বিভিন্ন উদাহরণের জন্য ও-স্বরলিপি পিছনে বিভিন্ন ধ্রুবক নিতে পারি। যে কারণে আক্ষরিক অর্থে "সেরা ক্ষেত্রে জটিলতা" কার্যকর নয়।

— Tsuyoshi Ito

আপনি যদি ডিটারমিনিস্টিক, অ-সম্ভাব্য গণনার কথা বলছেন তবে দুটি উদাহরণের এনকোডিং সমান কিনা তা পরীক্ষা করতে লিনিয়ার সময় (ও (এন) সময়) লাগবে: ইনপুট এনকোডিংয়ের এন বিটগুলি স্ক্যান করে এটি যাচাই করে যাচাই করুন প্রোগ্রামড এনকোডিং হিসাবে, না?

— ড্যানিয়েল আপন

2

@ ড্যানিয়েল: হ্যাঁ, তবে উদাহরণগুলির মধ্যে একটি যদি স্থির হয় তবে এটি কেবল ধ্রুবক সময় নেয়, যেখানে ধ্রুবকটি নির্দিষ্ট উদাহরণের দৈর্ঘ্যের উপর নির্ভর করে।

— Tsuyoshi Ito