প্রাকৃতিক প্রুফ এবং জ্যামিতিক জটিলতায় গঠনমূলকতা

25

সম্প্রতি, রায়ান Willams প্রমাণ প্রাকৃতিক প্রুফ মধ্যে Constructivity জটিলতা ক্লাস একটি বিচ্ছেদ আহরণ করা এড়ানো সম্ভব নয়: এবং । $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{TC}^{0}$

প্রাকৃতিক এমন একটি শর্ত যা সার্কিট জটিলতায় সমস্ত সংযুক্ত প্রমাণগুলি সন্তুষ্ট করে এবং আমরা সিদ্ধান্ত নিতে পারি যে (বা অন্য কোনও "হার্ড" জটিলতা শ্রেণিতে) লক্ষ্য ফাংশনটি একটি অ্যালগোরিদমের দ্বারা চালিত একটি "হার্ড" সম্পত্তি আছে কিনা? লক্ষ্য ফাংশনের সত্য সারণির দৈর্ঘ্যে বহু-সময়ে। $\mathsf{NEXP}$

অন্য দুটি শর্ত : অকেজো শর্তের জন্য যে "হার্ড" সম্পত্তি দরকার তার কোনও সার্কিট দ্বারা এবং বৃহত্তরতার শর্ত দ্বারা গুণ করা যায় না যে হার্ড সম্পত্তি খুঁজে পাওয়া সহজ। $\mathsf{TC}^0$

আমার প্রশ্নটি হ'ল:

এই ফলাফলের যেমন জ্যামিতিক জটিলতা তত্ত্ব (GCT) প্রধান বিচ্ছেদ সমস্যার সঙ্গে মোকাবিলা করতে অনুপলব্ধ করতে না বনাম , বনাম , অথবা বনাম ? $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{NC}$ $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{TC}^0$

তথ্যসূত্র:

রায়ান উইলিয়ামস, " ডেরাডোমাইজেশন বনাম প্রাকৃতিক প্রুফ "

— auyun
সূত্র

20

না, constructivity এর unavoidability স্পষ্টভাবে এখনও পাতার যেমন লোয়ার বাউন্ড সমস্যার ওপর হামলার একটি টেকসই পরিকল্পনা হিসাবে খোলা GCT বনাম । $NP$ $P/poly$

প্রথমত, এটি উল্লেখযোগ্য যে নির্মাণের উপর রায়ের ফলাফল মুলমুলির তথাকথিত "ফ্লিপ উপপাদ্য "গুলির সাথে স্বাদে খুব মিলে যায়, উদাহরণস্বরূপ, স্থায়ীভাবে যদি পলি-আকারের পাটিগণিত সার্কিট না থাকে তবে সেখানে একটি রয়েছে এলোমেলোচিত বহু-সময়ের গঠনমূলক সেট ( অনেক) ম্যাট্রিকের যেমন প্রতিটি ছোট সার্কিট এই ম্যাট্রিকগুলির মধ্যে একটিতে স্থায়ী থেকে পৃথক হয়। দেখুন স্পষ্ট প্রমাণের ফ্লিপ, প্রায়োগিক প্রতিবেদন, কম্পিউটার সায়েন্স বিভাগ, শিকাগো, সেপ্টেম্বর 2010 বিশ্ববিদ্যালয় Mulmuley দ্বারা। $\{M_1, \dotsc, M_{p(n)}\}$

দ্বিতীয়ত, জিসিটিতে প্রতিসাম্যতা-চরিত্রকরণের কেন্দ্রিকতা (ইতিমধ্যে সিউমান দ্বারা উল্লিখিত) রেগানের জরিপের পরে আরও স্পষ্ট হয়ে উঠেছে। যদি প্রতিসাম্যতা-বৈশিষ্ট্যটি জিসিটির পক্ষে অতীব গুরুত্বপূর্ণ হিসাবে দেখা যাচ্ছে যেহেতু এটি যাচ্ছে বলে মনে হয়, তবে এটি ইতিমধ্যে বৃহত্তর অবস্থার কাছাকাছি চলে যায়। প্রতিসম-চরিত্রকরণের সংজ্ঞা জন্য, পূর্ববর্তী প্রশ্নের ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত এই উত্তরটি দেখুন ।

একটি প্রমাণ যে প্রতিসাম্য-চরিত্রায়ন আয়তন লঙ্ঘন করে, বিভাগ 3.4.3 মধ্যে "সিমেট্রি-চরিত্রায়ন Razborov-Rudich বাধা এড়াতে" দেখুন আমার থিসিস (লজ্জাহীন স্ব প্লাগ, কিন্তু আমি অন্য যে কোনো স্থানে যেখানে এই নিচে লেখা আছে সম্পূর্ণরূপে তাই জানি না) । আমি সন্দেহ করি এটি গঠনমূলকতা লঙ্ঘনও করেছে, তবে এটি সেখানে একটি মুক্ত প্রশ্ন হিসাবে রেখে গেছে। (এর আগে ৩ য় অধ্যায়ে জিসিটিতে ফ্লিপ উপপাদ্যের একটি সংক্ষিপ্তসার রয়েছে এবং কীভাবে তারা প্রতিসাম্যতা-বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে সম্পর্কিত))

(আমি এটি আকর্ষণীয় বলে মনে করি যে প্রতিসম বৈশিষ্ট্য - আমাদের সন্দেহ যে খুব সম্পত্তি আমরা জিসিটি ব্যবহার করব যা রাজবোরভ - রুডিচ-এর আশেপাশে পাওয়া যায়, এটি ফ্লিপ উপপাদাগুলি প্রমাণ করার জন্য ব্যবহৃত হয়, যা মূলত বলে দেয় যে গঠন প্রয়োজন)।)

পরিশেষে, এটি উল্লেখ করার মতো যে, দীর্ঘ সময় ধরে জিসিটি লক্ষ্য করে বনাম এবং অন্যান্য বুলিয়ান সমস্যাগুলি সমাধান করা, এই মুহুর্তে জিসিটি-র বেশিরভাগ কাজ এইগুলির বীজগণিত এনালগগুলিতে মনোনিবেশ করা হয়েছে, যেমন জটিল সংখ্যার উপরে, এবং সেখানে রজবোরোভ - রাদিচ (যা আমি জানি) এর এখনও কোনও বীজগণিত অ্যানালগ নেই। $NP$ $P/poly$

— জোশুয়া গ্রোচো
সূত্র

4

জোশ: আমার সামান্য বোধগম্যতা হল যে মুলমুলির ফর্মটির "স্থায়ীভাবে পলিসাইজ সার্কিটের ফলস্বরূপ বহিরাগত-সময়ের বাধা বোঝায়" পিআইটি-র জন্য আরও একটি অতিরিক্ত অবতারণা হাইপোথিসিসের প্রয়োজন হয়। (তবে এটি একটি আকর্ষণীয় প্রশ্ন: আমরা যদি ইতিমধ্যে ধরে নিই যে স্থায়ীভাবে ছোট সার্কিট নেই?) আপনার থিসিসের পয়েন্টারের জন্য ধন্যবাদ!

— রায়ান উইলিয়ামস

1

@ রায়ানউইলিয়ামস: হ্যাঁ, এটি সঠিক is আমি উত্তরটি এখনই আপডেট করব "র্যান্ডমাইজড পলি টাইম" বলার জন্য।

— জোশুয়া গ্রাচো

17

আমাকে প্রথমে একটি সম্ভাব্য ভুল বোঝাবুঝি সংশোধন করতে দিন: দুর্ভাগ্যক্রমে আমরা এখনও জানি না যে । আমার অতি সাম্প্রতিক নিম্ন সীমানা হ'ল । $NEXP \not\subset TC^0$ $NEXP \cap coNEXP \not\subset ACC$

এখন, আপনার প্রশ্নের উত্তর নেই no এটি এখনও খুব সম্ভব যে জিসিটি ভিত্তিক কৌশলগুলি কে থেকে পৃথক করতে পারে । $P$ $NP$

এ সম্পর্কে আরও কয়েকটি মন্তব্য: জিসিটি এবং প্রাকৃতিক প্রুফগুলির মধ্যে সম্পর্ক অতীতে আলোচনা করা হয়েছে (এমনকি মূল জিসিটি কাগজগুলিতে নিজেও)। জিসিটি পদ্ধতির মাধ্যমে কোনটি "গঠনবাদ" বা "বৃহত্তরতা" লঙ্ঘিত হবে সে বিষয়ে conক্যমত্য রয়েছে বলে মনে হয় না, মুলমুলি এবং সোহনি এক পর্যায়ে যুক্তি দিয়েছিলেন যে, যদি জিসিটি চালানো যেতে পারে তবে তা বৃহত্তরতা লঙ্ঘন করা উচিত। প্রাসঙ্গিক রেফারেন্সের জন্য, জিসিটির বিষয়ে রিগানের ওভারভিউয়ের বিভাগ 6 দেখুন । যাইহোক, আমার যোগ করা উচিত যে এই ওভারভিউটি ইতিমধ্যে 10 বছর পুরানো, এবং এরপরে থেকে যথেষ্ট পরিমাণে কাজটি জিসিটিতে চলে গেছে; আমি এ বিষয়ে কোনও সংশোধিত / নতুন মতামত আছে কিনা তা নিশ্চিত নই। (সম্ভবত জোশ গ্রোচো চিম ইন করতে পারেন?)

— রায়ান উইলিয়ামস
সূত্র

14

সংক্ষিপ্ত উত্তরটি হ'ল না ।

জ্যামিতিক কমপ্লেক্সিটি থিওরি পদ্ধতির নির্দিষ্ট কিছু অত্যন্ত বিরল সম্পত্তিকে টার্গেট করা হয়েছে, যা মুলমুলি যুক্তিটি দিয়েছেন যে রাজবরোভ এবং রুডিচ সংজ্ঞায়িত হিসাবে "বৃহত্তর" নয়। আনুষ্ঠানিক যুক্তি দেখানোর জন্য, জোশুয়া গ্রাচোর থিসিসটি দেখুন , বিভাগ ৩.৪.৩ প্রতিসাম্যতা-বৈশিষ্ট্যটি রাজবরোভ ud রুডিচ বাধা এবং তার উত্তর এড়িয়ে চলে ।

নিম্নলিখিত অনুচ্ছেদটি পি পি বনাম এনপি এবং জ্যামিতিক কমপ্লেক্সিটি থিওরি থেকে কেতন মুলমুলিয়ে ( জেএসিএম 2011 বা পান্ডুলিপি ), বিভাগ 4.3 একটি উচ্চ স্তরের পরিকল্পনা থেকে এসেছে :

স্থায়ী এবং নির্ধারকের প্রতিসাম্য দ্বারা চিহ্নিতকরণের বৈশিষ্ট্যটি স্পষ্টভাবে এই পদক্ষেপগুলি সম্পাদন করা লক্ষ্য। আমরা পরে সুস্পষ্ট অর্থ কী তা নির্দিষ্ট করে দেব; cf. হাইপোথিসিস ৪.6। এই পদ্ধতির পক্ষে এই ধারণাটি অত্যন্ত কঠোর যে এটি কেবলমাত্র অত্যন্ত বিরল হার্ড ফাংশনগুলির জন্যই কাজ করে যা তাদের প্রতিসাম্য দ্বারা চিহ্নিত। এই চরম অনড়তা প্রাকৃতিক প্রমাণ বাধা [রাজবরোভ এবং রুডিচ 1997] বাইপাস করার জন্য যা প্রয়োজন তার চেয়ে অনেক বেশি।

যেহেতু গঠনমূলকতা এবং বিশালতার উভয় শর্তই প্রাকৃতিক প্রমাণের জন্য প্রয়োজনীয় (যেখানে দরকারীতা অন্তর্নিহিত), যা প্রমাণ করে যে গঠনতন্ত্র অনিবার্য নয় এই ধরণের পদ্ধতির রায় দেওয়ার জন্য যথেষ্ট নয় (যদিও এটি একটি বড় পদক্ষেপ)।

— siuman
সূত্র