সমস্ত ভার্টেক্স মিলের তুলনায় ন্যূনতম স্প্যানিং ট্রি

Question

আমি এই মিলে যাওয়া সমস্যার মধ্যে পড়েছিলাম যার জন্য আমি বহুবর্ষের সময় অ্যালগরিদম লিখতে অক্ষম।

যাক সঙ্গে প্রান্তবিন্দু সেট সম্পূর্ণ ভরযুক্ত গ্রাফ হতে এবং যথাক্রমে, যেখানে । এছাড়াও, এবং যথাক্রমে এবং এর ওজন ফাংশন হতে দিন ।$P, Q$$P_V$$Q_V$$|P_V| = |Q_V|=n$$w_P$$w_Q$$P$$Q$

কোনও জন্য আমরা নিম্নলিখিত ফ্যাশনে পরিবর্তন করি : যদি এবং with তারপরে । দ্বারা এই পরিবর্তিত গ্রাফটি এবং কে সর্বনিম্ন ছড়িয়ে পড়া গাছের ওজনের যোগফল হতে ।$f: P_V \to Q_V$$Q$$f(p) = q$$f(p^\prime) = q^\prime$$w_P(p, p^\prime) > w_Q(q, q^\prime)$$w_Q(q, q^\prime) = w_P(p, p^\prime)$$Q_f$$W(Q_f)$$Q_f$

সমস্যা: সমস্ত উপর মিনিমাইজ করুন ।$W(Q_f)$$f: P_V \to Q_V$

এই সমস্যাটি কতটা কঠিন? যদি "শক্ত" হয়: আনুমানিক অ্যালগরিদমের কী হবে?

Comments

আমরা কি ধরে নিতে পারি যে পি এবং কিউ এর ওজন পৃথকভাবে ত্রিভুজ বৈষম্যকে মেটায়? কারণ যদি তাই হয় তবে এগুলির প্রত্যেককে আলাদা আলাদাভাবে এমএসটি সন্ধান করা, এটি একটি আনুমানিক ভ্রমণকর্মী বিক্রয় পথে পরিণত করার জন্য একটি এলিউর সফর তৈরি করে এবং অনুরূপ পথের অবস্থানের সাথে উল্লম্বের সাথে মিলে যায় এমন একটি মিল বাছাই করা দেখে মনে হচ্ছে এটি আপনার সমস্যার 2-আনুমানিক হওয়া উচিত looks ।

— ডেভিড এপস্টিন

@ ডেভিড এপস্টিন: হ্যাঁ, ওজনগুলি ত্রিভুজ বৈষম্যকে মেটায়। আপনার ধারণা আকর্ষণীয় দেখায়, ধন্যবাদ!

— এমবি

Answer 1

(মন্তব্যগুলি থেকে সরানো) পি এবং কিউ ত্রিভুজ বৈষম্য পূরণ করে ধরে নিয়ে ধ্রুবক ফ্যাক্টর অনুমানের জন্য এখানে একটি ধারণা। আমি ভেবেছিলাম এটি একটি 2-প্রায় অনুমান দিতে পারে তবে আমি এখনই প্রমাণ করতে পারি এটি 4 এর একটি আনুমানিক অনুপাত।

(1) সমস্যা হিসাবে যেমন বলা হয়েছে, সম্মিলিত গ্রাফের প্রান্ত এর ওজন (চিঠিপত্রের পরে - এবং - নির্ধারণ করা হয়) হয়$pq$$p$$p'$$q$$q'$$\max\{P(pq),Q(p'q')\}$। পরিবর্তে, আসুন । এটা হল সবচেয়ে দুটি একটি গুণক হারায় কিন্তু সমস্যা সহজে বর্ণনা করার তোলে: আমরা এখন একটি spanning গাছ খোঁজার চেষ্টা করছেন , এবং একটি isomorphic Spanning বৃক্ষ , সর্বনিম্ন মোট ওজন সঙ্গে। মধ্যে চিঠিপত্রের এবং তারপর এই দুটি গাছ মধ্যে isomorphism দ্বারা দেওয়া হয়।$P(pq)+Q(p'q')$$P$$Q$$P$$Q$

(২) , সর্বনিম্ন বিস্তৃত গাছটি সন্ধান করুন এবং ওজনে দ্বিগুণ ওজনের পথ খুঁজে পাথ-দ্বিগুণকারী অলারের ভ্রমণ কৌশলটি ব্যবহার করুন। স্বাধীনভাবে একই জিনিস করুন । ফলাফল দুটি আইসোমরফিক গাছ (উভয় পাথ) যা তাদের গ্রাফের এমএসটিগুলির ওজনের দ্বিগুণ থেকে পৃথক পৃথকভাবে হয় এবং তাই সর্বনিম্ন আইসোমর্ফিক বিস্তৃত গাছ সমস্যার সমাধানের দ্বিগুণ ব্যয় এবং মূল সমস্যার ওজন থেকে চারগুণ বেশি are ।$P$$Q$

(৩) হ্যামিলটোনীয় পথ থেকে হ্রাসের মাধ্যমে আসল সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ। যাক গ্রাফ যা আপনি একটি হ্যামিল্টনিয়ান পথের অস্তিত্ব পরীক্ষা করতে ইচ্ছুক থেকে সংজ্ঞায়িত করা; সংজ্ঞায়িত করুন যখন একটি প্রান্ত এবং যখন কোন প্রান্ত নয়। পাথ গ্রাফ থেকে ঠিক একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা যাক । তারপরে মোট ব্যয়ের সমাধান রয়েছে যদি এবং কেবলমাত্র যদি গ্রাফ থেকে নির্ধারণ করা হত তবে হ্যামিলটনীয় পথ রয়েছে। সম্ভবত এটি কিছু স্থির ধ্রুবকের নীচে অগ্রহণযোগ্যতা প্রমাণ করতেও ব্যবহার করা যেতে পারে।$P$$P(pq)=1$$pq$$P$$2$$pq$$Q$$n-1$$P$

Comments

ধন্যবাদ, এটি একটি দুর্দান্ত উত্তর। (স্পষ্টতই, পরবর্তী 18 ঘন্টার মধ্যে আমি আপনাকে অনুদান দেওয়ার যোগ্য নই))

— এমবি

দুটি গাছ (অর্থাত্‍ পাথ) পাওয়ার জন্য - পাথ টিএসপি (প্রতিটি এবং চেষ্টা করুন ) এর জন্য q -প্রক্রোসিমেশন ব্যবহার সম্পর্কে কীভাবে ? arxiv.org/abs/1110.4604$(1+\sqrt{5})/2$$s$$t$$s$$p$

— ম্যাগনাস লাই হিটল্যান্ড

দ্বিতীয় চিন্তার বিষয়ে, এটি আপনাকে কেবল সর্বোত্তম পথের জন্য একটি অনুপাত দেবে, অবশ্যই, এমএসটি নয়। সুতরাং… কিছুই নয়;)

— ম্যাগনাস লাই হিটল্যান্ড