একীকরণের শক্তিশালী ধারণা?

16

একটি ফাঁক যা আমি সর্বদা সচেতন ছিলাম যে আমি সত্যই বুঝতে পারি না তা হ'ল নন ইউনিফর্ম এবং ইউনিফর্ম গণনা জটিলতার মধ্যে যেখানে সার্কিট জটিলতা নন ইউনিফর্ম সংস্করণকে উপস্থাপন করে এবং ট্যুরিং মেশিনগুলি জিনিসগুলি অভিন্ন ছিল। আমি মনে করি "ইউনিফর্ম" হল অ্যালগরিদমের শ্রেণিকে সংযত করার একটি উপায়, যেমন এন + 1 ভেরিয়েবলের সমস্যার তুলনায় এন ভেরিয়েবলগুলির সাথে কোনও সমস্যার জন্য সম্পূর্ণ ভিন্ন সার্কিটকে মঞ্জুরি দেয় না।

আমার প্রশ্নগুলি হ'ল: 1) এটিতে কেবল সার্কিটের ক্ষেত্রে একতার বর্ণনার বর্ণনা রয়েছে এবং ২) একত্রে আরও শক্তিশালী রূপ নিয়ে আসা এবং এভাবে কী কার্যকর (বা সংযত) আলগোরিদিমগুলিতে আরও বেশি সীমাবদ্ধ ধারণা দেওয়া সম্ভব? পি?

দেরিতে স্পষ্টতা: প্রশ্ন ২-এ আমার উদ্দেশ্যটি একটি সীমাবদ্ধ শ্রেণিবদ্ধ অ্যালগরিদম সম্পর্কে যা "ব্যবহারিকভাবে" বহুভুজ সংক্রান্ত অ্যালগরিদমের শ্রেণীর মতোই ক্ষমতা রাখে।

cc.complexity-theory circuit-complexity

— গিল কালাই
সূত্র

"ব্যবহারিকভাবে একই ক্ষমতা আছে" এর অর্থটি কী আপনি ব্যাখ্যা করতে পারেন?

— এমএস দৌস্তি

আমার অর্থ হ'ল পিতে আমরা যে সমস্ত অ্যালগরিদমকে ব্যবহারিকভাবে মুখোমুখি করি তারা এই (অনুমান) সীমাবদ্ধ শ্রেণিতে থাকে। সুতরাং আমি বলতে চাই না যে এসসিটি বা এনসি-র মতো নির্দিষ্ট বহুবর্ষীয় ধরণের অ্যালগরিদম বাদ দেওয়ার জন্য (বা অনুমান করা) এমন ক্লাসগুলি নয় যা আমি উল্লেখ করছি are

— গিল কালাই

2

প্রশ্ন 2 এর জন্য, বহুবর্ষীয় আকারের LOGSPACE- ইউনিফর্ম সার্কিটগুলি দ্বারা গণনীয় ফাংশনগুলির শ্রেণিটি হ'ল পি এবং (আপনি এখনও লগস্পেসের তুলনায় ছোট কিছু জটিল ক্লাস সহ পি পেতে পারেন তবে আপনি যদি ইউনিফর্মটি সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত করেন।) সুতরাং কঠোর ইউনিফর্মের শর্ত আরোপ না করে সাধারণত বহু-কালীন অ্যালগরিদমের শক্তি হ্রাস করে।

— পিটার শর

8

আমি মনে করি আপনার প্রথম প্রশ্নের উত্তর নেতিবাচক: একটি সার্কিটের একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক ইনপুট থাকে এবং এইভাবে, আইএমও, আমরা কেবল একটি ইউনিফর্ম সার্কিটের পরিবর্তে কেবলমাত্র সার্কিটের "পরিবার" সম্পর্কে কথা বলতে পারি।

আপনার দ্বিতীয় প্রশ্ন সম্পর্কে, আপনি লক্ষ করতে পারেন যে সেখানে "সার্কিটের সমান পরিবার" রয়েছে, যাদের বর্ণনাটি একটি ট্যুরিং মেশিন দ্বারা উত্পাদিত হয়েছে। অর্থাৎ দিন বর্তনী একটি অভিন্ন পরিবার হতে, এবং দিন একটি টুরিং মেশিন হও। এর পরে, প্রতিটি , , যেখানে বর্ণনায় উল্লেখ করে । $\{C_n\}$ $M$ $n$ $[C_n] = M(1^n)$ $[C_n]$ $C_n$

পি এর নীচে বেশ কয়েকটি জটিল ক্লাস রয়েছে, যা সার্কিটের ইউনিফর্ম পরিবার দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। উদাহরণ স্বরূপ:

হ'ল বহুগুণগেট এবং গভীরতাসহইউনিফর্মবুলিয়ান সার্কিটগুলিদ্বারা সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য সিদ্ধান্তের শ্রেণি। $\mathbf{NC}^i$ $O(\log^i n)$

— এমএস দৌস্তি
সূত্র

7

উপরের সাদেকের উত্তরের সাথে যুক্ত করে, যেহেতু পিতে থাকা সার্কিট ক্লাসগুলির দিকে নজর দেওয়া যায়, একজনও একইরকমের আরও এবং আরও নিয়ন্ত্রিত ধারণাগুলি দেখতে চাইতে পারেন।

সবচেয়ে সহজ এবং সর্বাধিক পরিচিত ধারণাটি হ'ল পি-ইউনিফর্মিটি, যা প্রয়োজন এমন একটি (ডিস্ট্রিমেন্টিক) ট্যুরিং মেশিন এম যা সার্কিট তৈরি করে $C_n$ সময় বহু (ঢ) (এই এছাড়াও সুরেশ আলোচনা) এ। অভিন্নতার আরও প্রতিবন্ধী সংস্করণগুলি এম এর ক্ষমতা আরও সীমাবদ্ধ করার চেষ্টা করে। উদাহরণস্বরূপ, লগস্পেস-অভিন্নতা রয়েছে, যেখানে এম এখন স্পেস ও (লগ (এন)) এ চালানো দরকার run

আমি সবচেয়ে সীমাবদ্ধ ধারণাটি জানি যা হ'ল ডলোগটাইম-ইউনিফর্মিটি, যা ছোট সার্কিট ক্লাসগুলির জন্য ব্যবহৃত হয়। এখানে, (এখন র্যান্ডম-অ্যাক্সেস) মেশিন এম এর সময় কেবলমাত্র O (লগ এন) রয়েছে এবং তাই সম্ভবত পুরো সার্কিটের বর্ণনাটি লিখতে পারে না। শর্ত আরোপ করা হ'ল আমি এবং এন প্রদত্ত, এম সময় ও (লগ এন) এর মধ্যে সার্কিটের বিবরণের ith বিটটি লিখতে পারেন।

আরও তথ্যের জন্য, নিম্নলিখিত কাগজটি দেখুন: ডেভিড এ মিক্স ব্যারিংটন, নীল ইমারম্যান, হাওয়ার্ড স্ট্রাবিং: এনসি¹-এর মধ্যে ইউনিফর্মিটি ¹ জে.কম্পট। Syst। সী। 41 (3): 274-306 (1990)।

— Srikanth
সূত্র

1

কাগজটির

— সুরেশ ভেঙ্কট

এম যদি ও (লগ এন) এ সার্কিটের বর্ণনার i-th বিট লিখতে চলেছে, তার মানে এই নয় যে যদি সার্কিটটি O (n) আকারের হয় তবে এটি মেশিনটিকে উত্পন্ন করার অনুমতি দেওয়ার সমতুল্য ও (এন লগ এন) এ পুরো সার্কিট?

— এম। আলাগান

1

এটি সমতুল্য বলে মনে হয় না। আপনি যা দেখিয়েছেন তা হল উপরের (ব্যারিংটন এট। আল।) ধারণাটি আপনি প্রস্তাবিত অভিন্নতার ধারণা হিসাবে কমপক্ষে শক্তিশালী। কনভার্স এটি পরিষ্কার নয়। বিশেষত, নিম্নলিখিতটি সত্য হলে তা আমার কাছে স্পষ্ট নয়:

আকারের সার্কিটের একটি পরিবারকে দেওয়া হয়েছে যা সময় অনুযায়ী টিএম দ্বারা উত্পাদিত হতে পারে

, একটি টিএম নিয়ে আসে, যা

প্রদত্ত এবং

, সময়

এ

এর

ম বিট উত্পন্ন করে । আসলে, আমি এটি সত্য বলে মনে করি না।

O (n)

$O(n)$

O (n \log n)

$O(n\log n)$

i

$i$

n

$n$

i

$i$

C_{n}

$C_n$

O (\log n)

$O(\log n)$

— শ্রীকান্ত

আমি সম্মত, একটি পাল্টা উদাহরণ একটি টিএম হবে যা

এবং

দেওয়া হয় ,

এ

বিট উত্পন্ন করে , শেষ বিট যার জন্য এটি নেবে

। ইঙ্গিতটির জন্য ধন্যবাদ :)

i

$i$

n

$n$

i

$i$

O (1)

$O(1)$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— এম। আলাগান

মুল বক্তব্যটি নয় যে সার্কিটের এক্স-ইউনিফর্মের পরিবারগুলি বিভিন্ন এক্সের জন্য একই সংখ্যক পরিবার দেয়, তবে সার্কিটের এক্স ইউনিফর্মী পরিবারগুলির দ্বারা যে ফাংশনগুলি গণনা করা যায় তা বিভিন্ন এক্সের জন্য একই

— পিটার শর

6

"সমন্বয়সাধন করা" সার্কিট এবং অভিন্ন কম্পিউটেশন এক উপায় জটিলতা সীমাবদ্ধ পদ্ধতি যে লাগে প্রয়োজন হয় ও পরামর্শ বর্তনী আউটপুট । পি এর ক্ষেত্রে, আমি বিশ্বাস করি যে উপরোক্ত কিছুগুলি করতে পারে এমন একটি পলিনমিয়াল টাইম জেনারেটর প্রয়োজন হলে পি সঠিকভাবে ক্যাপচার করবে। $n$ $C_n$

— সুরেশ ভেঙ্কট
সূত্র

সার্কিটের জন্য একটি লগস্পেস জেনারেটর পি

— পিটার শর

5

এটি সেখানে সার্কিটের ক্ষেত্রে এককতার বর্ণনা আছে?

$1$ $f(|x|)$ $f$

$FO$ $DLogTime$ $AC^0$ $FO$

আমার কাছে এটি মনে হচ্ছে যে এখানে মূল বক্তব্যটি হ'ল সার্কিটগুলির জন্য অভিন্নতা সংজ্ঞায়িত করার জন্য আমাদের ইউনিফর্ম গণনার কিছু মডেল প্রয়োজন, যদি সার্কিটগুলির বিবরণ এমনভাবে দেওয়া হয় যা অভিন্ন নয়, সার্কিটগুলি অদ্বিতীয় হতে পারে।

— Kaveh
সূত্র

1

এফও ডিএলগটাইমের সমান নয়, তবে লগ-টাইমের সাথে বিকল্প পরিবর্তন করে to

O (1)

$O(1)$ পরিবর্তনও। যাইহোক, সার্কিটের অনেক প্রাকৃতিক শ্রেণীর জন্য, ডিএলগটাইম-অভিন্নতা এবং এফও-অভিন্নতা মিলছে।

— এমিল জ্যাব্যাক 11:54-তে মনিকা

এমিল, আপনি সঠিক, ভুলটি দেখার জন্য ধন্যবাদ, এটি হওয়া উচিত

A l t T i m e (O (1), O (\lg n))

$AltTime(O(1),O(\lg n))$ ।

— কাভেঃ

4

1) সেখানে কি সার্কিটের বিচারে অভিন্নতার বর্ণনা রয়েছে?

[আপনি ডিক লিপটনের ব্লগে যে প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করেছিলেন একই প্রশ্নের উত্তর আমার এটি সম্পাদিত সংস্করণ। কেভেট: আমি বিশেষজ্ঞ নই।]

হ্যাঁ (আমার মনে হয়), কমপক্ষে দুটি ভিন্ন ধরণের:

ক) সার্কিটগুলি সমস্যা ইনপুট আকারে বহুজনিত সময়ে একটি ট্যুরিং মেশিন দ্বারা উত্পন্নযোগ্য হয় (যেমন কিছু অন্যান্য জবাব হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে)। (আমি মনে করি এটি ধারণার প্রমিত সংজ্ঞা।)

এটি এমন কোনও সার্কিট পরিবারকে কভার করে যা আমরা ইউনিফর্ম বলতে চাইতে পারি, কিন্তু পি-কাল ধারণার সংজ্ঞা হিসাবে এটি সার্কিট পরিবারগুলির সংজ্ঞাটি কেবল টুরিং মেশিনের সংজ্ঞাতে হ্রাস করে, যা আপনি চান তা নাও হতে পারে।

খ) যদি কোনও 1-মাত্রিক সেলুলার অটোমেটন থাকে যা সমস্যার সমাধানের ক্ষেত্রে সমস্যার ইনপুটটি বিকশিত করে (কোনও সিদ্ধান্ত সমস্যার জন্য, সমাধানটি ইনপুটযুক্ত কোষগুলির সাথে সম্পর্কিত একটি নির্দিষ্ট কক্ষে একক বিট হবে, যা একটি স্থিতিশীল অবস্থা) সিএর), ইনপুট আকারে বহুবর্ষীয় সময়ে, তখন এটি এমন একটি সার্কিটের সাথে সামঞ্জস্য হয় যা একটি সাধারণ উপায়ে পর্যায়ক্রমিক হয় (টাইম-ইউনিট প্রতি সেল প্রতি একক পুনরাবৃত্তি ইউনিট), এবং যার রাজ্যে কেবল চতুর্ভুজ বৃহত্তর অঞ্চলে আপেক্ষিক সমাধান সময়।

এটি অত্যন্ত বিশেষ ধরণের ইউনিফর্ম সার্কিট পরিবার, তবে পি তে সমস্ত সমস্যা সমাধানের পক্ষে যথেষ্ট, যেহেতু একটি টুরিং মেশিন সহজেই 1 ডি সিএ হিসাবে এনকোড করা যায় can (এটি পূর্ববর্তী উত্তরে উল্লিখিত ডলগটাইম-অভিন্নতার সংজ্ঞাটিও পূরণ করে বলে মনে হয়))

(এটি লিপটনের ব্লগে গওয়ার্সের জবাবগুলিতে উল্লিখিত সার্কিট হিসাবে ট্যুরিং মেশিনগুলির এনকোডিংগুলির সাথে মিল - বাস্তবে, তাদের মধ্যে একটি সম্ভবত অভিন্ন)

টুরিং মেশিনকে 1 ডি সিএ হিসাবে এনকোড করার একটি উপায়: প্রতিটি কক্ষে আমরা টেপ রাষ্ট্রকে এক পর্যায়ে প্রতিনিধিত্ব করি, টুরিং মেশিনের মাথাটি যদি এখানে থাকে তবে তা এখানে রয়েছে (যার মানটি এখানে না থাকলে কিছু যায় আসে না) , এবং একটুখানি এখন এখানে মাথা আছে কিনা তা বলছে। স্পষ্টতই, প্রতিটি টি সময়ে সময়ে কেবল তার আশেপাশের রাজ্যের উপর নির্ভর করে সময় টি -1, যা আমাদের কেবল সিএ হিসাবে কাজ করার জন্য প্রয়োজন all