এনসি = পি পরিণতি?

জটিলতা চিড়িয়াখানাটি EXP এ এন্ট্রিতে নির্দেশ করে যে যদি L = P হয় তবে PSPACE = এক্সপি P যেহেতু NPSPACE = Savitch দ্বারা PSPACE, যতটা আমি বলতে পারেন অন্তর্নিহিত প্যাডিং যুক্তি হল যে দেখানোর জন্য প্রসারিত

(NL = P) \Rightarrow (PSPACE = EXP) .

$(\text{NL} = \text{P}) \Rightarrow (\text{PSPACE} = \text{EXP}).$ আমরা এটাও জানি যে রাজ্জোর রিসোর্স-বাউন্ডড অল্টারনেটিং হায়ারার্কির মাধ্যমে এল

⊆ $\subseteq$ এনএল

⊆ $\subseteq$ এনসি

⊆ $\subseteq$ পি।

যদি এনসি = পি, এটি পিএসপিএসি = এক্সপি অনুসরণ করে?

রিচার্ড লিপটনের চেতনায় এই প্রশ্নের আলাদা ব্যাখ্যা: পি-র কিছু সমস্যা সমান্তরাল হতে পারে না, এর চেয়ে কোনও ক্ষতিকারক-সময় পদ্ধতির বহুপক্ষীয় স্থানের চেয়ে বেশি প্রয়োজন হয় না?

আমি এনসি = পি এর অন্যান্য "বিস্ময়কর" পরিণতিতেও আগ্রহী হব (যত ভাল এর সম্ভাবনা তত বেশি)।

সম্পাদনা: রায়ের উত্তর আরও একটি প্রশ্নের দিকে নিয়ে যায়: পিএসপিএসিই = এক্সপি গ্যারান্টি হিসাবে পরিচিত দুর্বল অনুমানটি কী?

ডাব্লু সাভিচ। ননডিটারেস্টোনিক এবং ডিটারমিনিস্টিক টেপ জটিলতার মধ্যে সম্পর্ক, কম্পিউটার এবং সিস্টেম সায়েন্সেস জার্নাল 4 (2): 177-192, 1970।
ডাব্লুএল রাজ্জো। ইউনিফর্ম সার্কিট জটিলতায়, কম্পিউটার এবং সিস্টেম সায়েন্সেস জার্নাল 22 (3): 365-383, 1971।

সম্পাদনা (2014): আপডেট করা পুরাতন চিড়িয়াখানা লিঙ্ক এবং অন্যান্য সমস্ত শ্রেণীর জন্য লিঙ্ক যুক্ত হয়েছে।

cc.complexity-theory conditional-results

— আন্দ্রেস সালামন
সূত্র

যেহেতু আমি নিশ্চিত যে এনসি কী তা আমি জানি না এমন একমাত্র আমিই নই, এখানে একটি লিঙ্ক দেওয়া হয়েছে: en.wikedia.org/wiki/NC_%28 কমপ্লেক্সেটি ২৯৯

— এমিল

@ অ্যান্ড্রাস: আর একটি ফলাফল যা সম্ভবত আপনি ইতিমধ্যে জানেন, তবে এখনও উল্লেখ করা হয়নি, তা হ'ল

স্তরক্রমটি ধসে পড়বে, যেহেতু

রেডাকশনগুলির অধীনে

সম্পূর্ণ সমস্যা রয়েছে। NC $\mathsf{NC}$

P $\mathsf{P}$

L $\mathsf{L}$

— জোশুয়া গ্রাচো

উত্তর:

হ্যাঁ। টুরিং মেশিন পর্যায়ক্রমে দ্বারা স্বীকৃত ভাষায় বর্গ হিসেবে দেখা যেতে পারে যে ব্যবহার স্থান এবং সময়। (এটি প্রথম রাজ্জো দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল।) এমন এক শ্রেণি যেখানে বিকল্প টিউরিং মেশিনগুলি স্থান ব্যবহার করে তবে সময় নিতে পারে। জন্য সংক্ষিপ্ততা আসুন এই শ্রেণীর কল দিন $NC$ $O(\log n)$ $(\log n)^{O(1)}$ $P$ $O(\log n)$ $n^{O(1)}$ এবং । $ATISP[(\log n)^{O(1)},\log n] = NC$ $ASPACE[O(\log n)] = P$

ধরুন, দুটি ক্লাস সমান। প্রতিস্থাপন করা হচ্ছে সঙ্গে উপরে (অর্থাত, প্রয়োগের মান অনুবাদ lemmas), একটি গ্রহণ করে $n$ $2^n$

। $TIME[2^{O(n)}] = ASPACE[O(n)] = ATISP[n^{O(1)}, n] \subseteq ATIME[n^{O(1)}] = PSPACE$

তাহলে তারপর পাশাপাশি, যেহেতু আছে মধ্যে -complete ভাষায় । $TIME[2^{O(n)}] \subseteq PSPACE$ $EXP = PSPACE$ $EXP$ $TIME[2^{O(n)}]$

সম্পাদনা: যদিও উপরের উত্তরটি সম্ভবত আরও শিক্ষাগত, এখানে একটি সহজ যুক্তি রয়েছে: ইতিমধ্যে " পললগ স্পেসে রয়েছে" এবং মানক অনুবাদ থেকে অনুসরণ করেছে। $EXP = PSPACE$ $P$ দ্রষ্টব্য " পললগ স্পেসে রয়েছে" চেয়ে অনেক দুর্বল অনুমান । $P$ $NC = P$

আরও বিশদ: যেহেতু সার্কিট পরিবারগুলির কিছু ধ্রুবকের জন্য গভীরতা , এই জাতীয় প্রতিটি সার্কিট পরিবার স্পেসে মূল্যায়ন করা যেতে পারে । অত: পর । সুতরাং বোঝা $NC$ $(\log n)^c$ $O((\log n)^c)$ $NC \subseteq \bigcup_{c > 0} SPACE[(\log n)^c]$ $P = NC$ । অনুবাদ (প্রতিস্থাপন প্রয়োগ করা হচ্ছে সঙ্গে ) অর্থ । অসম্পূর্ণ ভাষারঅস্তিত্বযুক্তিটি শেষ করে। $P \subseteq \bigcup_{c > 0} SPACE[(\log n)^c]$ $n$ $2^n$ $TIME[2^{O(n)}] \subseteq PSPACE$ $EXP$ $TIME[2^{O(n)}]$

আপডেট: অ্যান্ড্রিয়াসের অতিরিক্ত প্রশ্নের উদ্দেশ্যে, আমি বিশ্বাস করি যে এরকম কিছু প্রমাণ করা সম্ভব হওয়া উচিত: iff for all , প্রতিটি বহুবচীয়ভাবে স্পষ্ট ভাষায় সময় দ্রবণযোগ্য বহুভুজ স্থান। (Polynomially বিক্ষিপ্ত মানে হচ্ছে সেখানে সর্বাধিক আছে দৈর্ঘ্যের স্ট্রিং সবার জন্য, ভাষায় $EXP=PSPACE$ $c$ $n^{O(\log^c n)}$ $poly(n)$ $n$ $n$ ।) সত্য হয়, তাহলে প্রমাণ সম্ভবত Hartmanis, Immerman লাইনের বরাবর যেতে হবে, এবং Sewelson এর প্রমাণ প্রতিটি polynomially বিক্ষিপ্ত ভাষা iff মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করা হয় । (দ্রষ্টব্য, পল্লগ স্পেসে সময় এখনও বোঝানোর জন্য যথেষ্ট ) $NE = E$ $NP$ $P$ $n^{O(\log^c n)}$ $PSPACE=EXP$

— রায়ান উইলিয়ামস
সূত্র

Thanks for the nice answer. Dexter Kozen's Theory of Computation has a nice "uniform" notation for Ruzzo's classes on page 69:

STA(f,g,h) $STA(f,g,h)$ where

f $f$ bounds space,

g $g$ bounds time, and

h $h$ bounds alternations. Then

NC=STA(logn,∗,(logn)O(1)) $\text{NC} = STA(\log n, {*}, (\log n)^{O(1)})$ while

P=STA(logn,∗,∗) $\text{P} = STA(\log n, {*}, {*})$ which really highlights the construction.

— András Salamon

Note that I am saying

NC=STA(logn,(logn)O(1),∗) $NC = STA(\log n, (\log n)^{O(1)}, *)$ in the above. However I think these are the same. A machine which takes polynomial time and

O(logn) $O(\log n)$ space but makes only

(logn)O(1) $(\log n)^{O(1)}$ alternations can be turned into another alternating machine which takes only

(logn)O(1) $(\log n)^{O(1)}$ time and

O(logn) $O(\log n)$ space. (The other direction is obvious.) The idea is to insert more alternations so that each polynomial time existential phase and universal phase is "sped up" to run in only

(logn)O(1) $(\log n)^{O(1)}$ time and

O(logn) $O(\log n)$ space, along the lines of Savitch's theorem.

— Ryan Williams

what we need is some kind of greasemonkey script that automatically links something like "\NP" to the entry in the zoo.

— Suresh Venkat

(I've seen Ryan's answer, but I just wanted to provide another perspective, which was too long to fit into a comment.)

In the $L = P \Rightarrow PSPACE = EXP$ proof, all that you need to know about L, informally, is that when blown up by an exponential, L becomes PSPACE. The same proof goes through for NL, because NL blown up by an exponential also becomes PSPACE.

Similarly, when NC is blown up by an exponential, you do get PSPACE. I like to see this in terms of circuits: NC is the class of polynomial size circuits with polylog depth. When blown up, this becomes exponential size circuits with polynomial depth. One can show that this is exactly PSPACE, once the appropriate uniformity conditions are added in. I guess if NC is defined with L-uniformity, then this will get PSPACE-uniformity.

The proof should be easy. In one direction, take a PSPACE-complete problem like TQBF and express the quantifiers using AND and OR gates of exponential size. In the other direction, try traversing the polynomial depth circuit recursively. The stack size will be polynomial, so this can be done in PSPACE.

Finally, I came up with this argument when I saw the question (and before reading Ryan's answer), so there might be bugs. Please point them out.

— Robin Kothari
সূত্র

One correction: NC has circuits of polynomial size and polylog depth, but this is still only polynomial depth after translation.

— Ryan Williams

@Ryan: You're right. I'll fix that.

— Robin Kothari

Here's a little more detail from the perspective of simulating time-space bounded Alternating Turing machine.

Suppose that $P = NC$ .

Since $NC = ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n)))$ , we get

P = A T I S P ((log (n)) O (1), O (log (n))) .

$P = ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n))).$

Now, consider the linear time universal simulation problem $LinU$ where we are given an encoding on a Turing machine $M$ and an input string $x$ of length $n$ and we want to know if $M$ accepts $x$ in at most $n$ steps.

We know that $LinU \in P$ . Therefore, there exists a constant $c$ (sufficiently large) such that

(*) L i n U \in A T I S P (log c (n), c log (n)) .

$(*) \; LinU \in ATISP(\log^c(n), c\log(n)).$

As a result of a padding argument (a little tricky see comments), we have

(1) D T I M E (n) \subseteq A T I S P (log c (n), c log (n)) .

$(1) \; DTIME(n) \subseteq ATISP(\log^c(n), c\log(n)).$

Extending the padding argument, we get

(2) D T I M E (n k) \subseteq A T I S P (k c log c (n), k c log (n)) .

$(2) \; DTIME(n^k) \subseteq ATISP(k^c\log^c(n), kc\log(n)).$

(3) D T I M E (2 n k) \subseteq A T I S P (k c n k c, k c n k) .

$(3) \; DTIME(2^{n^k}) \subseteq ATISP(k^cn^{kc}, kcn^{k}).$

Further, there are known results about the simulation of Alternating time-space bounded Turing machines. In particular, we know that

A T I S P (log c (n), c log (n)) \subseteq D S P A C E (O (log c + 1 (n))) .

$ATISP(\log^c(n), c\log(n)) \subseteq DSPACE(O(\log^{c+1}(n))).$

Therefore, we (essentially) have the following for all natural numbers $k$ :

(2 *) D T I M E (n k) \subseteq D S P A C E (k c + 1 log c + 1 (n))

$(2^{*}) \; DTIME(n^k) \subseteq DSPACE(k^{c+1}\log^{c+1}(n))$

(3 *) D T I M E (2 n k) \subseteq D S P A C E (n k (c + 1)) .

$(3^{*}) \; DTIME(2^{n^k}) \subseteq DSPACE(n^{k(c+1)}).$

From $(3^{*})$ , we would get that $EXP = PSPACE$ .

====================After Thought===================

It is important to notice that $P = NC$ implies

A T I S P ((log (n)) O (1), O (log (n))) = A T I S P (log c (n), O (log (n)))

$ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n))) = ATISP(\log^c(n), O(\log(n)))$ for some constant

c $c$ .

Any comments or corrections are welcomed. :)

— Michael Wehar
সূত্র

@MichaelWehar Do we know

$NC^k\subsetneq PSPACE$ at any fixed

$k$ ? In particular do we know

$NC^2\subsetneq PSPACE$ and therefore

$NC\neq PSPACE$ ?

— T....

@MichaelWehar I do not know but I have never seen anywhere that

$NC\neq PSPACE$ . In fact a comment in cstheory.stackexchange.com/questions/39046/… says

$P-uniform NC^1=PSPACE$ is possible. I have posted a clarification query in cstheory.stackexchange.com/questions/40689/…. Do you think you can take a look?

— T....

@Turbo Thank you very much for the kind reply!! It may depend on the kind of uniform. For example,

$NC = ATISP((\log(n))^{O(1)}, O(\log(n)))$ might only hold for Logspace-uniform NC. Let me think about it and get back to you. :)

— Michael Wehar

@Turbo Thank you for the follow-up!! I really think you should read the definition at the bottom of page 370 from: sciencedirect.com/science/article/pii/0022000081900386

— Michael Wehar

@Turbo Thanks for all of your follow-ups!! I highly recommend that you read the paper that I linked because in it, it says that most of these notions of uniform

$NC$ are equivalent. The paper however does not consider

$P$ -uniform

$NC$ which could possibly be different as I have no way of proving that it is the same.

— Michael Wehar