সঙ্গে পাটিগণিত সার্কিট

একটি সার্কিট বিবেচনা করুন যা এ ইনপুট সংখ্যা হিসাবে গ্রহণ করে এবং এতে , , এবং গেট রয়েছে $[0,1]$ $\max(x, y)$ $\min(x, y)$ $1 - x$ । সার্কিটের আউটপুট তখনএও একটি সংখ্যা। $\frac{x+y}{2}$ $[0,1]$

কেউ কি জানেন যে এই মডেলটি বা ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত মডেলটি অধ্যয়ন করা হয়েছে?

বিশেষত, আমি এই সার্কিটের জন্য সন্তুষ্টিজনিত সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করছি, যিনি এই সার্কিট দ্বারা প্রাপ্ত সর্বোচ্চ মানটি গণনা করতে যাচ্ছেন (এটি প্রকৃতপক্ষে সর্বাধিক অর্জন করে, কারণ এটি একটি কমপ্যাক্ট ডোমেনে ক্রমাগত ফাংশনকে প্রতিনিধিত্ব করে)।

মন্তব্য: এই মডেলটির আমার অধ্যয়নটি ভারী টেম্পোরাল লজিকসের মাধ্যমে, সুতরাং পরবর্তীগুলির সাথে সম্পর্কিত যে কোনও মডেলগুলিও কাজে আসবে।

arithmetic-circuits

— Shaull
সূত্র

অবশ্যই এই সমস্যাটি এনপি-হার্ড। (সন্তুষ্টির মাধ্যমে: আপনার

এবং

, যার সাহায্যে আপনি AND, OR, এবং না করতে পারেন)) সুতরাং, আপনার প্রশ্নটি এই এনপি-তে আছে কি না ? এই জাতীয় সার্কিটের একটি ইনপুট রয়েছে যা মান 1 প্রদান করে কিনা তা সিদ্ধান্ত প্রশ্ন এনপিতে মনে হয়, যেহেতু, যদি এই জাতীয় ইনপুট থাকে তবে 0/1 হয় one

x \lor y \equiv max {x, y}

$x\vee y \equiv \max\{x,y\}$

\neg x \equiv 1 - x

$\neg x \equiv 1 - x$

— নিল ইয়ং

যদি আমরা নির্ধারিতভাবে

জন্য

সম্ভাব্য সত্য মানের একটি বেছে নিই , যেখানে

হ'ল নোডের এমন এক জোড়া যা একটি

বা

নোডটি সার্কিটে প্রদর্শিত হয়, এটি রৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যায় পরিণত হয়, যা পি দ্রবণীয় Thus (এটি লুকাসিউইজিক যুক্তির সন্তুষ্টিজনিত সমস্যার একটি বৈকল্পিক, সুতরাং আপনি সম্পর্কিত তথ্যের জন্য গণিতের ফাজি লজিকের হ্যান্ডবুকের হ্যানিকোভের অধ্যায়টি দেখতে চাইতে পারেন))

\leq 2^{n}

$\le2^n$

x \leq y

$x\le y$

x, y

$x,y$

min (x, y)

$\min(x,y)$

max (x, y)

$\max(x,y)$

— এমিল জ্যাবেক

@ শুল: আমাকে আরও বিশদে এটি বর্ণনা করতে দিন। যাক

যে মিনিট বা সর্বোচ্চ গেটস (এখানে আছেন বর্তনী নোড হতে

বর্তনী আকার দ্বারা বেষ্টিত), এবং দিন

এবং

গেট ইনপুট নোড হতে

। প্রতি

একটি অতিরিক্ত বাধা বেছে নিন

বা

। আছে

{a_{i} : i < m}

$\{a_i:i<m\}$

m

$m$

b_{i}

$b_i$

c_{i}

$c_i$

a_{i}

$a_i$

i < m

$i<m$

b_{i} \leq c_{i}

$b_i\le c_i$

c_{i} \leq b_{i}

$c_i\le b_i$

2^{m}

$2^m$ যেমন পছন্দ। যখন যেমন একটি পছন্দ সংশোধন করা হয়েছে, আপনি প্রতিস্থাপন বর্তনী প্রক্রিয়া সহজ করতে

সঙ্গে

বা

যথাযথ হিসাবে, অত এটা রৈখিক সমীকরণ যার ভেরিয়েবল সমস্যার মূল ভেরিয়েবল আছে, এবং সংশ্লিষ্ট অতিরিক্ত ভেরিয়েবল একটি সিস্টেমের মধ্যে সক্রিয়। ..

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

c_{i}

$c_i$

— এমিল জ্যাবেক

... সার্কিটের নোড।

বৈষম্যগুলি অন্তর্ভুক্ত করে উল্লেখ করুন যে অতিরিক্ত সীমাবদ্ধতা সন্তুষ্ট, অসম্পূর্ণতাগুলি

এর মূল ভেরিয়েবলের সাথে আবদ্ধ করে এবং একটি অসমতা উল্লেখ করে যে আউটপুট নোডের মান

। তারপর এই একটি রৈখিক অতিরিক্ত সীমাবদ্ধতার পছন্দ উপর নির্ভর করে প্রোগ্রাম, ও সার্কিট অর্জন মান

iff যুক্ত রৈখিক প্রোগ্রামটি সমাধান আছে যেমন যে সীমাবদ্ধতার একটি পছন্দ অস্তিত্ব আছে।

m

$m$

[0, 1]

$[0,1]$

\geq u

$\ge u$

\geq u

$\ge u$

— এমিল জ্যাবেক

আরও মনে রাখবেন যে একটি লিনিয়ার প্রোগ্রামের সর্বোত্তম মানটি বহুপ্রান্তের একটি শীর্ষে পাওয়া যায়। এর অর্থ হ'ল সর্বোত্তম সমাধানের ডিনোমিনিটারটি মাত্রা

ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে যার প্রবেশগুলি ধ্রুব আকারের পূর্ণসংখ্যার, এবং প্রতিটি সারিতে কেবল

ননজারো এন্ট্রি রয়েছে এবং যেমন

দ্বারা আবদ্ধ ।

O (n)

$O(n)$

O (1)

$O(1)$

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

— এমিল জ্যাবেক

উত্তর:

এই সার্কিট জন্য satisfiability সমস্যা (অর্থাত, একটি বর্তনী দেওয়া এবং , সিদ্ধান্ত নেন আছে কিনা একটি ইনপুট যেমন যে ) দ্বারা NP রয়েছে, এবং দ্বারা অতএব দ্বারা NP-সম্পূর্ণ নীল ইয়ং এর মন্তব্য এবং পিটার শর এর উত্তর। $C$ $u\in[0,1]$ $x$ $C(x)\ge u$

আমরা নিম্নোক্ত পদ্ধতিতে রৈখিক প্রোগ্রামিংয়ে সমস্যাটির একটি অ-নির্ধারিত হ্রাস তৈরি করতে পারি। যাক সব নোড হতে যে মিনিট বা সর্বোচ্চ দরজা আছে (এখানে , যেখানে সার্কিট আকার), এবং দিন এবং গেট ইনপুট নোড হতে । প্রতি , দুটি অতিরিক্ত বাধাগুলির মধ্যে একটি বেছে নিন বা $\{a_i:i<m\}$ $C$ $m\le n$ $n$ $b_i$ $c_i$ $a_i$ $i<m$ $b_i\le c_i$ (মোট সম্ভাব্য পছন্দ আছে)। যখন যেমন একটি পছন্দ সংশোধন করা হয়েছে, আমরা প্রতিটি প্রতিস্থাপন বর্তনী প্রক্রিয়া সহজ করতে সঙ্গে বা যথাযথ হিসাবে, এবং তার ফলে সার্কিট একটি সিস্টেম দ্বারা বর্ণনা করা যায় রৈখিক সমীকরণ যার ভেরিয়েবল বর্তনী মূল ইনপুট ভেরিয়েবল , এবং সার্কিটের নোডের সাথে সম্পর্কিত অতিরিক্ত ভেরিয়েবলগুলি। $c_i\le b_i$ $2^m$ $a_i$ $b_i$ $c_i$ $n$

আমরা বৈষম্যগুলিও অন্তর্ভুক্ত করে বলেছি যে অতিরিক্ত সীমাবদ্ধতা সন্তুষ্ট, অসম্পূর্ণতাগুলি মূল ইনপুট ভেরিয়েবলগুলিকে সাথে আবদ্ধ করে এবং একটি অসমতা উল্লেখ করে যে আউটপুট নোডের মান । তারপর এই আকারের একটি রৈখিক প্রোগ্রাম অতিরিক্ত সীমাবদ্ধতার পছন্দ উপর নির্ভর করে, ও সার্কিট অর্জন মান iff সেখানে যুক্ত রৈখিক প্রোগ্রামটি সমাধান আছে যেমন যে সীমাবদ্ধতার একটি পছন্দ বিদ্যমান। যেহেতু লিনিয়ার প্রোগ্রামিং পি তে রয়েছে, এটি দেখায় যে সমস্যাটি এনপিতে রয়েছে। $m$ $[0,1]$ $\ge u$ $O(n)$ $\ge u$

আরও মনে রাখবেন যে একটি লিনিয়ার প্রোগ্রামের সর্বোত্তম মানটি বহুপ্রান্তের একটি শীর্ষে পাওয়া যায়। এর অর্থ হ'ল সর্বোত্তম সমাধানের ডোনোমিনিটারটি মাত্রা এর বর্গক্ষেত্রের ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে যার প্রবেশগুলি ধ্রুব আকারের পূর্ণসংখ্যা এবং প্রতিটি সারিতে কেবল ননজারো এন্ট্রি রয়েছে এবং যেমন এটি দ্বারা আবদ্ধ । $O(n)$ $O(1)$ $2^{O(n)}$

প্রসেসশনাল ফাজি লজিকস (যেমন asukasiewicz যুক্তি হিসাবে) এবং সম্পর্কিত সিস্টেমগুলিতে সন্তোষজনকতার জটিলতার উপর এ জাতীয় হ্রাসগুলি প্রায়শই উপরের সীমাটি সরবরাহ করতে কার্যকর। (প্রকৃতপক্ষে, মূল সমস্যাটি লুকাসিউইকজে সন্তুষ্টির একটি সামান্য বৈকল্পিক, যা পরিবর্তে সহ সার্কিটের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ )) সম্পর্কিত ফলাফলগুলির একটি ওভারভিউতে পাওয়া যাবে গাণিতিক ফাজি লজিকের হ্যান্ডবুকের অধ্যায় X, খণ্ড। ২। $\min(1,x+y)$ $(x+y)/2$

— এমিল জেবেক
সূত্র

এই সমস্যাটি এনপি-হার্ড।

আপনি গেটস মিনি ( x , y ), সর্বাধিক ( x, y ) এবং 1− x দিয়ে 3-স্যাট পেতে পারেন ।

আমরা যা চাই তা হ'ল 3-স্যাট সমস্যাটি এমন একটি সার্কিটের জন্য হ্রাস করা যার জন্য আপনি 1 পেতে পারেন যদি সমস্ত ভেরিয়েবলগুলি সন্তুষ্টযোগ্য হয় তবে আপনি অন্যথায় 1 এর চেয়ে কম কিছু অর্জন করতে পারেন।

আমরা সর্বনিম্ন প্রচুর পরিমাণে মত প্রকাশের মাধ্যমে সমস্ত ভেরিয়েবলকে 0 বা 1 হতে বাধ্য করতে পারি এবং এই এক্সপ্রেশনগুলিকে সর্বাধিক ( এক্স , 1− এক্স ) অন্তর্ভুক্ত করতে পারি ।

এখন 3-স্যাট সমস্যা প্রতিটি দফা জন্য এক্স ∨ Y ∨ z- র , আমরা অভিব্যক্তি করা সর্বোচ্চ ( এক্স , Y , z- র কমপক্ষে)।

অ-সন্তুষ্টযোগ্য 3-স্যাট সমস্যার জন্য অনুকূল মানটি কী তা আমি জানি না, তবে এটি কঠোরভাবে 1 এর চেয়ে কম হবে।

— পিটার শোর
সূত্র

হ্যাঁ, উপরের মন্তব্যে ইঙ্গিত হিসাবে এনপি-কঠোরতা হ'ল "সহজ দিকনির্দেশনা"। প্রকৃতপক্ষে, আপনি যদি গড় গেটটি ব্যবহার না করেন তবে কেবল মিনিট এবং সর্বাধিক ব্যবহার করা যায় তবে সংশ্লিষ্ট বুলিয়ান সার্কিটটি সন্তুষ্টযোগ্য হলে সর্বোচ্চ মান 1 হয় এবং অন্যথায় 1/2 হয় (কেবল 1/2 প্লাগ করে সকলকে ভেরিয়েবল)। যাইহোক, উপরের মন্তব্যে সমস্যার সমাধান হয়েছিল।

— শাল

আপনি যা চেয়েছিলেন ঠিক তা নয়, এমন একটি প্রসঙ্গ যা একই রকম সার্কিট উপস্থিত হয়।

$1-x$

— যুবাল ফিল্ম
সূত্র

1 - x

$1-x$