অভিন্ন পক্ষপাতদুষ্ট কয়েন থেকে নিকট-থেকে-ফেয়ার মুদ্রা টস পাওয়ার সর্বোত্তম উপায় কী?

Question

(ভন নিউমান একটি অ্যালগরিদম দিয়েছেন যা একটি নমনীয় পক্ষপাতিত্বকারী মুদ্রার অ্যাক্সেস দেওয়া ন্যায্য মুদ্রাকে সিমুলেট করে। বেষ্টিত।)

ধরুন আমাদের পক্ষপাতিত্বের সাথে অভিন্ন কয়েন রয়েছে । পক্ষপাতিত্ব হ্রাস করার সময় লক্ষ্য একটাই কয়েন টস সিমুলেট করা।$n$$\delta=P[Head]-P[Tail]$

সিমুলেশনটি নিম্নলিখিত অর্থে দক্ষ হতে হবে: বহুপদী সময়ে চলমান একটি অ্যালগরিদম এলোমেলো বিট দেখে এবং একক বিট আউটপুট দেয়। অ্যালগরিদমের পক্ষপাতটিকে হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেযেখানে প্রত্যাশা বন্টন দ্বারা সংজ্ঞায়িত অধিগৃহীত হয় IID বিট যেমন যে ।$n$$Bias(A)=|E[A=0]-E[A=1]|$$n$${x_1,\ldots,x_n}$$Prob[x_i=1]-Prob[x_i=0]=\delta$

বহুপদী সময়ে চলমান কোন অ্যালগরিদম এর সর্বনিম্ন পক্ষপাত রয়েছে ?$A$$Bias(A)$

এই প্রশ্নটি আমার কাছে খুব স্বাভাবিক বলে মনে হচ্ছে এবং এটি সম্ভবত আগে বিবেচনা করা হয়েছিল বলে খুব সম্ভবত।

এই সমস্যাটি সম্পর্কে কী জানা যায়? অ্যালগরিদমগুলির একটি দুর্বল শ্রেণি ( ইত্যাদিতে) বিবেচনা করা হলে কি কিছু জানা যায় ?$AC_0$

Answer 1

এন পক্ষপাতদুষ্ট কয়েন টস এবং মাথার সমতা অবলম্বন করে 1 এর কাছাকাছি পায়$\frac{1}{2}$ ।

[একটি প্রমাণের জন্য, একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল বিবেচনা করুন যা -1 যখন মাথা এবং 1 যখন লেজ থাকে, তারপরে একটি বিজোড় সংখ্যক মাথা থাকার সম্ভাবনা কেবল ]$E\left[\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\prod_i X_i\right] = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\delta^n$

সম্ভবত এটি নিম্নলিখিত কারণেও সর্বোত্তম। যাক এই বিট কোনো রচনা ফাংশন হবে। তারপর, বায়াস ( চ ) = Σ এস চ ( এস ) δ | এস | এবং সেরা এফটি প্যারিটি ফাংশন বলে মনে হচ্ছে (তাই না?)।$f$$\text{Bias}(f) = \sum_S \hat{f}(S) \delta^{|S|}$$f$

আপনি যদি কম জটিলতার সংমিশ্রণ ফাংশনে আগ্রহী হন, তবে সম্ভবত 'এনপি-র মধ্যে কঠোরতা প্রশস্তকরণ' সম্পর্কিত রায়ান ও'ডনেলের একটি কাগজ খুব প্রাসঙ্গিক হবে। সেখানে তিনি কঠোরতা প্রশস্তকরণের জন্য মনোোটোন রচনা ফাংশন ব্যবহার করেন এবং যে ক্রিয়াকলাপগুলি কাজ করে তাদের শব্দ সংবেদনশীলতা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

Comments

কেন আপনি দয়া করে বিশদভাবে বলতে পারেন কেন সমতাটি সর্বোত্তম ফাংশন হওয়া উচিত? (এছাড়াও, না যে এটা অনেক এসিম্পটোটিকভাবে গুরুত্বপূর্ণ, কিন্তু না যে হওয়া উচিত যেহেতু ফুরিয়ার সম্প্রসারণ মধ্যে ই [ X আমি ] = δ ?)। কাগজ পয়েন্টার জন্য ধন্যবাদ! $delta^{|S|}$$E[x_i]=\delta$

— হৃশিকেশ

ওহ আমি দুঃখিত, আপনি ঠিক বলেছেন। অভিব্যক্তিটি ভুল ছিল এবং এখন এটি সংশোধন করেছে। আমি optimality প্রমাণ না থাকে (হতে পারে এটি অনুকূল নয়) কিন্তু কারনেই আমি অনুমিত ছিল যাতে এটা সত্য হতে তাহলে অভিব্যক্তি বদলে ছিল যেহেতু এটি তখন একটি উত্তল সংমিশ্রণ। $\sum_S \hat{f}(S)^2 \delta^{|S|}$

— রামপ্রসাদ

সম্ভবত এটি কিছুটা আলো ফেলতে পারে। কোশি-কালো মাধ্যমে আমরা জানি যে । অপ্টিমাইজ করার একটি উপায়হ'লউপরের সীমাটিকে যথাসম্ভব ন্যূনতম করা হবে এবং এটি তখন ঘটে যখন ফাংশনএফপ্যারিটি ফাংশন হয় এবং সেই ক্ষেত্রে আমরা যে পরিমাণে আগ্রহী তার সাথে উপরের সীমাটিও মেলে। যাইহোক, এটা ক্ষেত্রে হতে পারে যে ফুরিয়ার কোফিসিয়েন্টস এর ভেক্টর সম্পূর্ণরূপে করার লম্ব হয়δ-vector যে ক্ষেত্রে LHS মাত্র শূন্য হয়! There এরকোন বিশেষ মান আছেযার জন্য আমরা এই জাতীয় উদাহরণ জানি? $\sum_{S} \hat{f}(S) \leq \sqrt{\sum_{S:\hat{f}(S)\neq 0} \delta^{2|S|}}$$f$$\delta$$\delta$

— রামপ্রসাদ

আসলে, যদি এক কিছু অ তুচ্ছ একঘেয়েমি ফাংশন নিতে ছিল , তারপর এ δ = - 1 প্রত্যাশা সম্ভাব্যতা চ ( এক্স 1 , ⋯ , x এন ) = 1 0 এবং δ = 1 হয় 1 । অতএব, কিছু মধ্যবর্তী δ এর জন্য , এটি মান 1 নিতে হবে$f$$\delta = -1$$f(x_1,\cdots, x_n) = 1$$\delta=1$$1$$\delta$ । অত: পর এটা আশা যে প্রতি জন্য ঠিক নাδ, সমতা ফাংশন অনুকূল নয়। $\frac{1}{2}$$\delta$

— রামপ্রসাদ

আপনি আরও বিস্তারিতভাবে শেষ মন্তব্য ব্যাখ্যা করতে পারেন? চ এর জটিলতা বিষয় disregarding, আপনার উপসংহার সত্য নয় শুধুমাত্র যদি একটি জন্য δ ≥ $E[f]=1/2$ যেহেতু সমতাδথেকেδnঅবধিগ্রহণ করে? $\delta \geq \frac{1}{2^{1/n}}$$\delta$$\delta^n$

— হৃশিকেশ

Answer 2

পক্ষপাতিত্ব জানা বা অজানা তা আপনি বলবেন না। ভন নিউমানের অ্যালগরিদমের যাদুটি এটি উভয় ক্ষেত্রেই কাজ করে।

মনে করুন এটি জানা গেল। এরপরে সর্বোত্তম উত্তরটি পক্ষপাতিত্বের সংখ্যা-তাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্যগুলির উপর সমালোচনামূলকভাবে নির্ভর করে। পি = 2/3 নেওয়া যাক। মুদ্রাটি দু'বার টস করুন এবং ফলাফলটি টিটি হলে পরীক্ষার পুনরাবৃত্তি করে এইচএইচ থেকে 0 এবং TH এবং এইচটি 1 তে মানচিত্র করুন। তারপরে 0 এবং 1 সমান সম্ভাবনা রয়েছে এবং ভন নিউমানের অ্যালগরিদমের সাথে পুনরাবৃত্তি হওয়ার সুযোগ 5/9 এর পরিবর্তে কেবল 1/9 হয়। অথবা এটি আপনার শর্তে বলতে গেলে, যদি আপনার পুনরাবৃত্তির সীমা 2 হয় তবে আপনি কেবলমাত্র ফলাফলগুলির একটিটিকে পক্ষপাতিত্ব করুন 1/9 দ্বারা।

এটি সমস্ত তথ্য তত্ত্ব এবং কোডিং তত্ত্বের সাথে নিবিড়ভাবে সম্পর্কিত। যখন পি আরও জটিল সংখ্যক এবং ডিনোমিনেটরের সাথে ভগ্নাংশ হয়, তখন সেরা অ্যালগরিদমের জন্য 2 এর চেয়ে বেশি দীর্ঘ ব্লকের দৈর্ঘ্যের প্রয়োজন হয় আপনি কোনও শানন-স্টাইলের অস্তিত্ব যুক্তিটি ব্যবহার করে দেখতে পারেন যে প্রদত্ত পক্ষপাতের জন্য একটি পদ্ধতি রয়েছে যা সর্বোত্তম হিসাবে উপযুক্ত আপনি চান তবে ব্লকের দৈর্ঘ্য খুব বড় হতে পারে।

পেরেস তার গবেষণাপত্রে ভন নিউম্যানের র্যান্ডম বিটস উত্তোলনের পদ্ধতিটি প্রমাণ করেছেন যে ভন নিউমানের অ্যালগরিদমের একটি সংস্করণ শ্যানন সীমাটি নির্বিচারে ভালভাবে যেতে পারে। এই অঞ্চলে অনেক কাজ তথ্য তাত্ত্বিক এবং পরিসংখ্যানবিদদের দ্বারা সম্পন্ন হয়েছে বলে মনে হয়, তাই আমি কোনও জটিলতা-তাত্ত্বিক ত্রুটিযুক্ত কোনও কাগজ সম্পর্কে ভাবতে পারি না যা আপনাকে আপনার প্রশ্নের সরাসরি উত্তর দেবে।

একটি মজা সম্পর্কিত সমস্যা রয়েছে যা বিপরীতটি জিজ্ঞাসা করে: আপনার যদি ন্যায্য বিটের উত্স থাকে তবে আপনি কীভাবে দক্ষতার সাথে কিছু অ-পাওয়ার-টু-সেট সেট করে একটি অভিন্ন বিতরণ তৈরি করবেন? আপনার প্রশ্নের অনুরূপ সমস্যার পুনরাবৃত্তি-সীমাবদ্ধ সংস্করণটি ন্যায্য মুদ্রার এন টস দিয়ে এনট্রপি (অর্থাত্ বিতরণকে যতটা সম্ভব ইউনিফর্ম করুন) সর্বাধিক করতে বলে।

Comments

আমার কাছে এটি ঘটেছে যে চলমান সময়কে কোনও পক্ষপাতের সাপেক্ষে (কাগজটি কী করে) ল্যাংরেঞ্জ দ্বিগুণ বলে চলমান সময়ের সাপেক্ষে পক্ষপাতের বিষয়টিকে অনুকূল করা। সুতরাং, আমি মনে করি যে কাগজটি আসলে আপনার প্রশ্নের উত্তর দেয়!

— প্রতি ভোগেনসেন

Answer 3

আমি নীচের সাধারণীকরণ আকারে প্রশ্নটি ভাবতে পছন্দ করি: আমাদের কাছে hight n এর একটি সম্পূর্ণ বাইনারি ট্রি রয়েছে, যেখানে প্রতিটি নোডের সংখ্যার এক যোগফল নির্ধারিত হয়। তাদের কাছাকাছি সংখ্যা?

আমাদের কাছে প্যারামিটার এবং কিউ = 1 - পি সহ পক্ষপাতী মুদ্রা থাকলে নোডের মান p i q n - i থাকবে ।$p$$q=1-p$$p^i q^{n-i}$

অন্যান্য উত্তরে যেমন উল্লেখ করা হয়েছে, বেশিরভাগ পাইরেটিকাল উদ্দেশ্যে বিটের সমতা নেওয়া ভাল। পক্ষপাত হবে ।$\sum_{i} {\binom{n}{i} parity(x) p^i q^{n-i}} = \sum_{i} {\binom{n}{i} (-p)^i q^{n-i}} = (q-p)^n$

সাধারণভাবে, যদি আমরা যথেষ্ট কম্পিউটিং সম্পদ আছে (বলতে র্যান্ডম বিট সংখ্যা), আমরা সম্ভাব্য সর্বোত্তম ভাবে নোড পার্টিশন করতে পারেন।$PSpace$

সম্পাদনা "এটি মূলত শ্যানন কোডিং সমস্যা" " (প্রতি ভোগেনসেনকে ধন্যবাদ।) সম্পাদনার শেষ

$AC^0$

(এই উত্তরে ত্রুটি থাকতে পারে, আমি বিশদটি পরীক্ষা করে দেখিনি))

Comments

"আমরা কীভাবে পাতাগুলি দুটি সেটে বিভক্ত করতে পারি যে সেগুলির সংখ্যার যোগফল?" এটি মূলত শ্যানন কোডিং সমস্যা। শ্যানন-ফানো অ্যালগরিদম টপ-ডাউন এবং সম্ভাবনা-ওজনযুক্ত উপাদানগুলির একটি সেট দিয়ে শুরু হয় এবং সম-সম্ভাব্য দ্বিখণ্ডনের জন্য জিজ্ঞাসা করে। এটি পুনরাবৃত্তভাবে প্রয়োগ করা একটি অবিচ্ছেদ্য উপসর্গবিহীন কোড দেয়। হাফম্যান অ্যালগরিদম নীচের অংশে রয়েছে: এটি সিঙ্গলটন গাছ দিয়ে শুরু হয় এবং বার বার ঘনিষ্ঠ সম্ভাবনার সাথে জোড়া সংযুক্ত করে। আপনি যদি গাণিতিক কোডিং সম্পর্কে জানেন তবে এটি যথাযথভাবে পরামর্শ দেয় যে একবারে একের চেয়ে একবারে একাধিক ফেয়ার বিট উত্পন্ন করা ভাল।

— প্রতি ভোগেনসেন

Answer 4

আপনি পক্ষপাতদুষ্ট মুদ্রার বাইরেও অনেকগুলি এলোমেলো বিট পেতে পারেন, পণ্য বন্টন (http://sites.google.com/site/arielgabizon1/) এর অধীনে গ্যাবিজনের কাগজ ডেরান্ডোমাইজিং অ্যালগরিদমগুলি দেখুন can

Answer 5

সম্পর্কিত প্রশ্ন, বিভিন্ন সাইট: একটি এলোমেলো বিট ক্রম সাদা করা

Answer 6

আপনি যদি চান যে কোনও সংখ্যক মুদ্রা টসসকে পক্ষপাতদুষ্ট মুদ্রা দিয়ে পক্ষপাতহীন করা হয়, তবে পক্ষপাত অপসারণের সহজ উপায়টি প্রতিটি অন্যান্য টসের ফলাফলকে বিপরীত।

Comments

এটি অবশ্যই অভিন্ন র্যান্ডম ক্রমের ফলাফল করবে না result মুদ্রার পক্ষপাতিত্ব 1 এ যাওয়ার সাথে সীমাবদ্ধ কেসটি কল্পনা করুন - আপনি কেবল বিটগুলির একটি ডিস্ট্রিমেন্টিক অলটারনেটিং ক্রম পান।

— অ্যারন রথ

যে কৌশল কৌশলগতভাবে ফলাফলগুলি পুনরুদ্ধার করে তা এনট্রপিকে সংরক্ষণ করবে, সুতরাং এটি নন-সর্বাধিক এনট্রপি (পক্ষপাত) থেকে সর্বাধিক এনট্রপি (নিরপেক্ষ) রূপান্তর করতে পারে না can't

— প্রতি ভোগেনসেন