সীমানা ডিগ্রি সহ গ্রাফের মধ্যে ক্রোম্যাটিক সংখ্যাটি প্রায় x

12

আমি সীমানা ডিগ্রি সহ গ্রাফের ভার্টেক্স রঙিন করার জন্য কঠোরতার ফলাফল খুঁজছি।

একটি গ্রাফ , আমরা জানি যে কোনও এর জন্য একটি ফ্যাক্টরের মধ্যে আনুমানিক শক্ত hard যদি না [ 1 ]। তবে এর সর্বাধিক ডিগ্রি দ্বারা আবদ্ধ হলে কী হবে ? সেখানে ফর্মের কোন কঠোরতা অনুপাত হয় (কিছু জন্য এই ক্ষেত্রে)? $G(V,E)$ $\epsilon>0$ $\chi(G)$ $|V|^{1-\epsilon}$ $\textit{NP}=\textit{ZPP}$ $G$ $d$ $d^{1-\epsilon}$ $\epsilon$

একটি সহজ প্রশ্ন হ'ল: প্রান্তের ক্রোম্যাটিক-সংখ্যার হাইপারগ্রাফের সংখ্যার নিকটবর্তীকরণের দৃness়তা যখন তাদের প্রান্তের আকার দ্বারা আবদ্ধ হয় । এই ক্ষেত্রে আমরা কী কঠোরতা অনুপাতের আশা করতে পারি ? (যে কোন জন্য বলছি, ) $d$ $d^{1-\epsilon}$ $\epsilon >0$

তোমার মনোযোগের জন্য ধন্যবাদ!

— afshi7n
সূত্র

3

আপনি বিচ্ছিন্ন কোণে একটি শক্ত উদাহরণ প্যাড করতে পারেন

— সাশো নিকলভ

2

হ্যাঁ, তবে আপনি যে শক্ত উদাহরণটি শুরু করেছিলেন তার আকারের উপর যদি একটি সীমাবদ্ধ আবদ্ধ রাখেন তবে তা শক্ত হওয়া বন্ধ করে দেয়।

— ডেভিড এপস্টিন

1

@ সাশো বিচ্ছিন্ন উল্লম্বগুলি ক্রোম্যাটিক সংখ্যা বা সর্বোচ্চ ডিগ্রি না বাড়িয়ে কীভাবে সাহায্য করতে পারে?

— afshi7n

2

@ ডেভিড এপস্টেইন নিশ্চিত, এই প্যাডিংটি কেবলমাত্র কিছু প্রমাণ করে যদি

এবং

এখনও বহুত্বীয়ভাবে সম্পর্কিত হয়। ওপি, এটি হ'ল বিন্দুটি। আপনার সাথে একটি দৃষ্টান্ত দিয়ে শুরু

ছেদচিহ্ন (অধিকতম তাই সর্বোচ্চ ডিগ্রী

) যার জন্য আনুমানিক কঠিন

মধ্যে থেকে

।

বিচ্ছিন্ন উল্লম্ব যোগ করুন ।

থাকার বিষয়টি মতেই একই এবং সর্বোচ্চ ডিগ্রী থাকার বিষয়টি মতেই

। এটি পলটাইম, যদি

। সুতরাং কোনও পূর্ণসংখ্যার

n

$n$

d

$d$

d

$d$

d

$d$

χ

$\chi$

d^{1 - ϵ}

$d^{1-\epsilon}$

n - d

$n - d$

χ

$\chi$

d

$d$

N = d^{O (1)}

$N = d^{O(1)}$

k

$k$ সেখানে উপস্থিত সঙ্গে সর্বোচ্চ ডিগ্রী দৃষ্টান্ত

, যার জন্য এটা কঠিন সূক্ষ পরিমাপক

মধ্যে থেকে

d = n^{1 / k}

$d = n^{1/k}$

χ

$\chi$

d^{1 - ϵ}

$d^{1-\epsilon}$

— Sasho Nikolov

আপডেট:

একটি ফ্যাক্টরের মধ্যে আনুমানিক

করা এনপি-হার্ড

কোনও অতিরিক্ত অনুমান ছাড়াই।

χ (G)

$\chi(G)$

| V |^{1 - ϵ}

$|V|^{1-\epsilon}$

— সাইরিয়াক অ্যান্টনি

9

দায়ূদের মত নির্দিষ্ট, Khot এর কাগজ,, উপপাদ্য 1.6 "MaxClique, বর্ণীয় নম্বর এবং আনুমানিক গ্রাফ রঙ জন্য উন্নত Inapproximability ফলাফল", এটা দ্বারা NP-হার্ড রঙ হয় বলে -colorable গ্রাফ সঙ্গে জন্য রং পর্যাপ্ত বৃহত ধ্রুবক জন্য সর্বাধিক ডিগ্রি সহ গ্রাফগুলি । অন্য কথায়, ডিগ্রি গ্রাফের জন্য , এটি color রঙ করা শক্ত $K$ $2^{\Omega((\log K)^2)}$ $2^{2^{(\log K)^2}}$ $K$ $d$ রঙিন গ্রাফরঙের সাথে। $2^{\sqrt{\log\log d}}$ $\log d$

আরও ভাল ডিগ্রি সীমাবদ্ধ করার জন্য, আপনি সম্ভবত ট্র্যাভিসানের কাগজ "সীমাবদ্ধ ডিগ্রির উদাহরণগুলির জন্য অপ্টিমাইজেশান সমস্যার জন্য অ-আনুষঙ্গিকতার ফলাফল" থেকে ধারণাগুলি ব্যবহার করতে পারেন। মূল পর্যবেক্ষণটি হ'ল এফজিএলএসএস হ্রাস দ্বারা উত্পাদিত গ্রাফটি সম্পূর্ণ দ্বিদলীয় অনুচ্ছেদের সংমিশ্রণ, এবং তাদের প্রত্যেককে একটি পৃথক বিভাজনকারী প্রতিস্থাপন করতে পারে যা অনেক স্পারসার ars চ্যান http://eccc.hpi-web.de/report/2012/110/ , উপপাদ্য 1.4 / পরিশিষ্ট ডি এর মতো অনেক ফলাফলে একইরকম ধারণা ব্যবহৃত হয়

আমি মনে করি এটি আপনাকে for এর মতো কিছু দেয় $2^{\sqrt{c\log d}}$ $d$ $d^{c}$ $0<c<1$

মাইকের উল্লিখিত কাগজের সাথে আবদ্ধ ডিগ্রি খোতার মতো, সাউন্ডনেস কেসের তাত্পর্যপূর্ণ। অবশ্যই উপরের স্পারসিফিকেশন পদ্ধতির এছাড়াও এটিকে উন্নতি করে তবে সম্ভবত আপনার উদ্দেশ্যটির জন্য আরও ভাল ধ্রুবক দেয় না।

— sangxia
সূত্র

2^{Ω (\log \log d)}

$2^{\Omega(\log \log d)}$

2^{2^{Ω (\sqrt{\log \log d})}}

$2^{2^{\Omega(\sqrt{\log \log d})}}$

\log d / 2^{\sqrt{\log \log d}}

$\log d / 2^{\sqrt{\log \log d}}$

\log d / (\log \log d)^{3}

$\log d / (\log\log d)^3$

d^{c}

$d^c$

d

$d$

1

d^{c}

$d^c$

8

$3$

$\Delta$ $3$ $\Delta$ $4$

— ভিবি লে
সূত্র

8

খোটের FOCS'01 কাগজে সীমাবদ্ধ ডিগ্রি গ্রাফের বর্ণের জন্য একটি অকার্যকর ফলাফল রয়েছে, "ম্যাক্সিক্লিক, ক্রোম্যাটিক নম্বর এবং আনুমানিক গ্রাফ রঙের জন্য উন্নত অক্ষমতার ফলাফল" - এটি সম্ভবত আপনার চেয়ে দুর্বল, তবে কমপক্ষে এটি সঠিক দিকে রয়েছে।

$k$ $k$ $2^{k^{O(\log k)}}$ $\exp((\log k)^2/25)$ $d$ $O(\log d)$

— ডেভিড এপস্টিন
সূত্র

\log d

$\log d$

কেন খোটকে জিজ্ঞাসা করবেন না?

— চন্দ্র চেকুরি

1

@ চন্দ্র সবেমাত্র একটি ইমেল পাঠিয়ে তাঁকে জিজ্ঞাসা করলেন, পরামর্শের জন্য ধন্যবাদ! আমি যদি আবার শুনি তবে এখানে আপডেট করব।

— afshi7n

k^{\log k / 25}

$k^{\log k/25}$

\exp ((k \log k) / 25)

$\exp((k\log k)/25)$

2^{k^{1 / 3}}

$2^{k^{1/3}}$

k^{(\log k) / 25}

$k^{(\log k)/25}$

\exp ((k \log k) / 25)

$\exp((k\log k)/25)$

4

এই ফলাফলটি সহায়ক হতে পারে:

$\Delta$ $k=$ $\Delta - \sqrt\Delta +1$ $k\ge 3$

টি। এমডেন-ওয়েইনার্ট, এস। হুগার্ডি, বি ক্রেটার, অনন্য কল্যাণযোগ্য গ্রাফ এবং বৃহত্তর ঘেরের রঙিন গ্রাফের কঠোরতা, কম্বিন। Probab। Comput। 7 (4) (1998) 375–386

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি
সূত্র